利用导数求曲线的切线和公切线

利用导数求曲线的切线和公切线利用导数求曲线的切线和公切线 一一 求切线方程求切线方程 例例 1 1 已知曲线已知曲线 f x xf x x3 3 2x 2x2 2 1 1 1 1 求在点求在点 P P 1 01 0 处的切线 处的切线 l l1 1的方程 的方程 2 2 求过点求过点 Q Q 2 12 1 与已知曲线 与已知曲线 f x f x 相切的直线相切的直线 l l2 2的方程的方程 提醒 注意是在某个点处还是过某个点 提醒 注意是在某个点处还是过某个点 2 2 有关切线的条数有关切线的条数 例例 2 2 20142014 北京 已知函数北京 已知函数 f f x x 2x 2x3 3 3x 3x 求 求 f f x x 在区间 在区间 2 2 1 1 上的最大值 上的最大值 若过点 若过点 P P 1 1 t t 存在 存在 3 3 条直线与曲线条直线与曲线 y fy f x x 相切 求 相切 求 t t 的取值范围 的取值范围 问过点 问过点 A A 1 1 2 2 B B 2 2 1010 C C 0 0 2 2 分别存在几条直线与曲线 分别存在几条直线与曲线 y fy f x x 相切 只需写出结论 相切 只需写出结论 解答解答 解 解 由 由 f f x x 2x 2x3 3 3x 3x 得得 f f x x 6x 6x2 2 3 3 令令 f f x x 0 0 得 得 x x 或或 x x f f 2 2 10 10 f f f f f f 1 1 1 1 f f x x 在区间 在区间 2 2 1 1 上的最大值为上的最大值为 设过点 设过点 P P 1 1 t t 的直线与曲线 的直线与曲线 y fy f x x 相切于点 相切于点 x x0 0 y y0 0 则则 y y0 0 2 2 3x 3x0 0 且切线斜率为 且切线斜率为 k 6k 6 3 3 切线方程为切线方程为 y yy y0 0 6 6 3 3 x xx x0 0 t y t y0 0 6 6 3 3 1 x1 x0 0 即 即 4 4 6 6 t 3 0 t 3 0 设 设 g g x x 4x 4x3 3 6x 6x2 2 t 3 t 3 则则 过点过点 P P 1 1 t t 存在 存在 3 3 条直线与曲线条直线与曲线 y fy f x x 相切 相切 等价于 等价于 g g x x 有 有 3 3 个不同的零点个不同的零点 g g x x 12x 12x2 2 12x 12x 12x 12x x 1x 1 g g 0 0 t 3 t 3 是是 g g x x 的极大值 的极大值 g g 1 1 t 1 t 1 是是 g g x x 的极小值 的极小值 g g 0 0 0 0 且且 g g 1 1 0 0 即 即 3 3 t t 1 1 当过点过点当过点过点 P P 1 1 t t 存在 存在 3 3 条直线与曲线条直线与曲线 y fy f x x 相切时 相切时 t t 的取值范围的取值范围 是 是 3 3 1 1 过点 过点 A A 1 1 2 2 存在 存在 3 3 条直线与曲线条直线与曲线 y fy f x x 相切 相切 过点过点 B B 2 2 1010 存在 存在 2 2 条直线与曲线条直线与曲线 y fy f x x 相切 相切 过点过点 C C 0 0 2 2 存在 存在 1 1 条直线与曲线条直线与曲线 y fy f x x 相切 相切 例例 3 3 已知函数 已知函数 f f x x lnax lnax a 0a 0 a Ra R 当 当 a 3a 3 时 解关于时 解关于 x x 的不等式 的不等式 1 e1 ef f x x g g x x 0 0 若 若 f f x x g g x x x 1x 1 恒成立 求实数 恒成立 求实数 a a 的取值范围 的取值范围 当 当 a 1a 1 时 记时 记 h h x x f f x x g g x x 过点 过点 1 1 1 1 是否存在函数 是否存在函数 y hy h x x 图象的切线 若存在 有多少条 若不存在 说明理由 图象的切线 若存在 有多少条 若不存在 说明理由 解答解答 解 解 I I 当 当 a 3a 3 时 原不等式可化为 时 原不等式可化为 1 e1 eln3x ln3x 0 0 等价于等价于 解得 解得 x x 故解集为 故解集为 对对 x 1x 1 恒成立 所以恒成立 所以 令令 可得可得 h h x x 在区间 在区间 1 1 上单调递减 上单调递减 故故 h h x x 在 在 x 1x 1 处取到最大值 故处取到最大值 故 lna hlna h 1 1 0 0 可得 可得 a 1a 1 故故 a a 的取值范围为 的取值范围为 1 1 假设存在这样的切线 设切点 假设存在这样的切线 设切点 T T x x0 0 切线方程 切线方程 y 1 y 1 将点 将点 T T 坐标代入得 坐标代入得 即即 设设 g g x x 则 则 x x 0 0 g g x x 在区间 在区间 0 0 1 1 2 2 上是增函数 在区间 上是增函数 在区间 1 1 2 2 上是减函数 上是减函数 故故 g g x x 极大 极大 g g 1 1 1 1 0 0 故 故 g g x x 极 小 极 小 g g 2 2 ln2 ln2 0 0 又又 g g 12 6 1 ln4 3 12 6 1 ln4 3 0 0 由由 g g x x 在其定义域上的单调性知 在其定义域上的单调性知 g g x x 0 0 仅在 仅在 1 1 内有且仅有一根 内有且仅有一根 方程方程 有且仅有一解 故符合条件的切线有且仅有一条 有且仅有一解 故符合条件的切线有且仅有一条 作业作业 1 1 20172017 莆田一模 已知函数莆田一模 已知函数 f f x x 2x 2x3 3 3x 1 3x 1 g g x x kx 1 lnx kx 1 lnx 1 1 设函数 设函数 当 当 k k 0 0 时 讨论时 讨论 h h x x 零点的个数 零点的个数 2 2 若过点 若过点 P P a a 4 4 恰有三条直线与曲线 恰有三条直线与曲线 y fy f x x 相切 求 相切 求 a a 的取值范的取值范 围 围 3 3 切线与切线之间的关系切线与切线之间的关系 例例 4 4 20182018 绵阳模拟 已知绵阳模拟 已知 a a b b c Rc R 且满足 且满足 b b2 2 c c2 2 1 1 如果存在两 如果存在两 条互相垂直的直线与函数条互相垂直的直线与函数 f f x x ax bcosx csinx ax bcosx csinx 的图象都相切 则的图象都相切 则 a a c c 的取值范围是的取值范围是 23abc 则23bc b b2 2 c c2 2 1 1 sin cosba 设 235sin bc 故故 a a c c 例例 5 5 已知函数已知函数 f f x x lnx a lnx a x 1x 1 g g x x e ex x 其中 其中 e e 为自然对数的为自然对数的 底数 底数 设 设 求函数 求函数 t t x x 在 在 m m m 1 m 1 m m 0 0 上的 上的 最小值 最小值 过原点分别作曲线 过原点分别作曲线 y fy f x x 与 与 y gy g x x 的切线 的切线 l l1 1 l l2 2 已知两切线的斜 已知两切线的斜 率互为倒数 率互为倒数 求证 求证 a 0a 0 或或 解答解答 解 解 令令 t t x x 0 0 得得 x x 1 1 令 令 t t x x 0 0 得得 x x 1 1 所以 函数所以 函数 t t x x 在 在 0 0 1 1 上是减函数 在 上是减函数 在 1 1 上是增函数 上是增函数 当当 m 1m 1 时 时 t t x x 在 在 m m m 1 m 1 m m 0 0 上是增函数 上是增函数 当当 0 0 m m 1 1 时 函数时 函数 t t x x 在 在 m m 1 1 上是减函数 在上是减函数 在 1 1 m 1 m 1 上是增函数 上是增函数 t t x x min min t t 1 1 e e 设 设 l l2 2的方程为的方程为 y ky k2 2x x 切点为 切点为 x x2 2 y y2 2 则 则 x x2 2 1 1 y y2 2 e k e k2 2 e e 由题意知 切线 由题意知 切线 l l1 1的斜率的斜率 切线切线 l l1 1的方程为的方程为 设 设 l l1 1与曲线与曲线 y fy f x x 的切点为 的切点为 x x1 1 y y1 1 又又 y y1 1 lnx lnx1 1 a a x x1 1 1 1 消去 消去 y y1 1 a a 后整理得后整理得 令令 则 则 m m x x 在 在 0 0 1 1 上单调递减 在 上单调递减 在 1 1 上单调递增 上单调递增 若若 x x1 1 0 0 1 1 而而 在 在单调递减 单调递减 若若 x x1 1 1 1 m m x x 在 在 1 1 上单调递增 且 上单调递增 且 m m e e 0 0 x x1 1 e e 综上 综上 a 0a 0 或或 作业作业 2 2 20172017 黄山二模 已知函数黄山二模 已知函数 f f x x axax2 2 x 1 x 1 e ex x f f 0 0 1 1 讨论函数 讨论函数 f f x x 的单调性 的单调性 2 2 若 若 g g x x e e x xf f x x lnx lnx h h x x e ex x 过 过 O O 0 0 0 0 分别作曲线 分别作曲线 y gy g x x 与 与 y hy h x x 的切线 的切线 l l1 1 l l2 2 且 且 l l1 1与与 l l2 2关于关于 x x 轴对称 求证 轴对称 求证 a a 四 求公切线的方程四 求公切线的方程 例例 6 6 20182018 安阳一模 已知函数安阳一模 已知函数 g g x x 3elnx 3elnx 其中 其中 e e 为自然对数的底数 为自然对数的底数 讨论函数 讨论函数 f f x x 的单调性 的单调性 试判断曲线 试判断曲线 y fy f x x 与 与 y gy g x x 是否存在公共点并且在公共点处有公切 是否存在公共点并且在公共点处有公切 线 若存在 求出公切线线 若存在 求出公切线 l l 的方程 若不存在 请说明理由 的方程 若不存在 请说明理由 解答解答 解 解 由 由 得 得 令令 f f x x 0 0 得 得 当当且且 x 0 x 0 时 时 f f x x 0 0 当 当时 时 f f x x 0 0 f f x x 在 在 0 0 上单调递减 在 上单调递减 在上单调递减 在上单调递减 在上上 单调递增 单调递增 假设曲线 假设曲线 y fy f x x 与 与 y gy g x x 存在公共点且在公共点处有公切线 且切 存在公共点且在公共点处有公切线 且切 点横坐标为点横坐标为 x x0 0 0 0 则则 即 即 其中 其中 2 2 式即 式即 记记 h h x x 4x 4x3 3 3e 3e2 2x ex e3 3 x x 0 0 则 则 h h x x 3 3 2x e2x e 2x e2x e 得得 h h x x 在 在上单调递减 在上单调递减 在上单调递增 上单调递增 又又 h h 0 0 e e3 3 h h e e 0 0 故方程故方程 h h x x0 0 0 0 在 在 0 0 上有唯一实数根 上有唯一实数根 x x0 0 e e 经验证也满足 经验证也满足 1 1 式 式 于是 于是 f f x x0 0 g g x x0 0 3e 3e f f x x0 0 g g x x0 0 3 3 曲线曲线 y gy g x x 与 与 y gy g x x 的公切线 的公切线 l l 的方程为的方程为 y 3e 3y 3e 3 x ex e 即即 y 3xy 3x 作业作业 3 3 已知函数 已知函数 f f x x lnx lnx g g x x 2 2 x x 0 0 1 1 试判断当 试判断当 f f x x 与 与 g g x x 的大小关系 的大小关系 2 2 试判断曲线 试判断曲线 y fy f x x 和 和 y gy g x x 是否存在公切线 若存在 求出公切线 是否存在公切线 若存在 求出公切线 方程 若不存在 说明理由 方程 若不存在 说明理由 3 3 试比较 试比较 1 1 21 1 2 1 2 31 2 3 1 2012 20131 2012 2013 与 与 e e4021 4021的大小 并写 的大小 并写 出判断过程 出判断过程 五五 与公切线有关的参数取值范围问题与公切线有关的参数取值范围问题 例例 7 7 已知函数 已知函数 f f x x blnx blnx g g x x ax ax2 2 x x a Ra R 若曲线 若曲线 f f x x 与 与 g g x x 在公共点 在公共点 A A 1 1 0 0 处有相同的切线 求实数 处有相同的切线 求实数 a a b b 的值 的值 当 当 b 1b 1 时 若曲线时 若曲线 f f x x 与 与 g g x x 在公共点 在公共点 P P 处有相同的切线 求证 处有相同的切线 求证 点点 P P 唯一 唯一 若 若 a a 0 0 b 1b 1 且曲线 且曲线 f f x x 与 与 g g x x 总存在公切线 求正实数 总存在公切线 求正实数 a a 的最的最 小值 小值 解答解答 解 解 f f x x g g x x 2ax 1 2ax 1 曲线曲线 f f x x 与 与 g g x x 在公共点 在公共点 A A 1 1 0 0 处有相同的切线 处有相同的切线 解得 解得 a b 1a b 1 设 设 P P x x0 0 y y0 0 则由题设有 则由题设有 lnxlnx0 0 ax ax0 02 2 x x0 0 又在点又在点 P P 有共同的切线 有共同的切线 f f x x0 0 g g x x0 0 a a 代入 代入 得得 lnxlnx0 0 x x0 0 设设 h h x x lnx lnx x x 则 则 h h x x x x 0 0 则 则 h h x x 0 0 h h x x 在 在 0 0 上单调递增 所以 上单调递增 所以 h h x x 0 0 最多只有最多只有 1 1 个实根 个实根 从而 结合 从而 结合 1 1 可知 满足题设的点 可知 满足题设的点 P P 只能是只能是 P P 1 1 0 0 当 当 a a 0 0 b 1b 1 时 时 f f x x lnx lnx f f x x f f x x 在点 在点 t t lntlnt 处的切线方程为 处的切线方程为 y lnt y lnt x tx t 即 即 y y x lnx 1x lnx 1 与与 y axy ax2 2 x x 联立得 联立得 axax2 2 1 1 x lnt 1 0 x lnt 1 0 曲线曲线 f f x x 与 与 g g x x 总存在公切线 总存在公切线 关于关于 t t t t 0 0 的方程 的方程 4a 4a lnt 1lnt 1 0 0 即即 4a 4a 1 lnt1 lnt 总有解 总有解 若若 t t e e 则 则 1 lnt1 lnt 0 0 而 而 0 0 显然 显然 不成立 所以 不成立 所以 0 0 t t e e 从而 方程 从而 方程 可化为 可化为 4a 4a 令令 H H t t 0 0 t t e e 则 则 H H t t 当当 0 0 t t 1 1 时 时 h h t t 0 0 当 当 1 1 t t e e 时 时 h h t t 0 0 即即 h h t t 在 在 0 0 1 1 上单调递减 在 上单调递减 在 1 1 e e 上单调递增 上单调递增 h h t t 在 在 0 0 e e 上的最小值为 上的最小值为 h h 1 1 4 4 要使方程 要使方程 有解 只须 有解 只须 4a 44a 4 即 即 a 1a 1 正实数正实数 a a 的最小值为的最小值为 1 1 例例 8 8 20172017 韶关模拟 韶关模拟 已知函数已知函数 f f x x ae aex x a 0a 0 g g x x x x2 2 若曲线 若曲线 c c1 1 y fy f x x 与曲线 与曲线 c c2 2 y gy g x x 存在公切线 求 存在公切线 求 a a 最大值 最大值 当 当 a 1a 1 时 时 F F x x f f x x bg bg x x cx 1 cx 1 且 且 F F 2 2 0 0 若 若 F F x x 在 在 0 0 2 2 内有零点 求实数 内有零点 求实数 b b 的取值范围 的取值范围 解答解答 解 解 设公切线 设公切线 l l 与与 c c1 1切于点 切于点 x x1 1 a a 与 与 c c2 2切于点 切于点 x x2 2 f f x x ae aex x g g x x 2x 2x 由 由 知知 x x2 2 0 0 代入代入 2x 2x2 2 即 即 x x2 2 2x 2x1 1 2 2 由由 知知 a a 设 设 g g x x g g x x 令令 g g x x 0 0 得 得 x 2x 2 当 当 x x 2 2 时时 g g x x 0 0 g g x x 递增 递增 当当 x x 2 2 时 时 g g x x 0 0 g g x x 递减 递减 x 2 x 2 时 时 g g x x max max g g 2 2 a amax max F F x x f f x x bg bg x x cx 1 e cx 1 ex x bx bx2 2 cx 1 cx 1 F F 2 2 0 F 0 F 0 0 又 又 F F x x 在 在 0 0 2 2 内有零点 内有零点 F F x x 在 在 0 0 2 2 至少有两个极值点 至少有两个极值点 即即 F F x x e ex x 2bx c 2bx c 在 在 0 0 2 2 内至少有两个零点 内至少有两个零点 F F x x e ex x 2b 2b F F 2 2 e e2 2 4b 2c 1 0 4b 2c 1 0 c c 当当 b b 时 在 时 在 0 0 2 2 上 上 e ex x e e0 0 1 2b 1 2b F F x x 0 0 F F x x 在 在 0 0 2 2 上单调增 上单调增 F F x x 没有两个零点 没有两个零点 当当 b b 时 在 时 在 0 0 2 2 上 上 e ex x e e2 2 2b 2b F F x x 0 0 F F x x 在 在 0 0 2 2 上单调减 上单调减 F F x x 没有两个零点 没有两个零点 当当 b b 时 令时 令 F F x x 0 0 得 得 x ln2bx ln2b 因当因当 x x ln2bln2b 时 时 F F x x 0 0 x x ln2bln2b 时 时 F F x x 0 0 F F x x 在 在 0 0 ln2bln2b 递减 递减 ln2bln2b 2 2 递增 递增 所以所以 x ln2bx ln2b 时 时 F F x x 最小 最小 F F ln2bln2b 4b 2bln2b 4b 2bln2b 设设 G G b b F F ln2bln2b 4b 2bln2b 4b 2bln2b 令令 G G b b 2 2ln2b 0 2 2ln2b 0 得得 2b e2b e 即 即 b b 当 当 b b 时时 G G b b 0 0 当 当 b b 时 时 G G b b 0 0 当当 b b 时 时 G G b b 最大 最大 G G e e 0 0 G G b b f f ln2bln2b 0 0 恒成立 恒成立 因因 F F x x e ex x 2bx c 2bx c 在 在 0 0 2 2 内有两个零点 内有两个零点 解得 解得 b b 综上所述 综上所述 b b 的取值范围 的取值范围 作业作业 4 4 已知函数 已知函数 f f x x a a x x blnx blnx a a b Rb R g g x x x x2 2 1 1 若 若 a 1a 1 曲线 曲线 y fy f x x 在点 在点 1 1 f f 1 1 处的切线与 处的切线与 y y 轴垂直 求轴垂直 求 b b 的的 值 值 2 2 若 若 b 2b 2 试探究函数 试探究函数 f f x x 与 与 g g x x 在其公共点处是否有公切线 若存 在其公共点处是否有公切线 若存 在 研究在 研究 a a 的个数 若不存在 请说明理由 的个数 若不存在 请说明理由 六 公切线的条数问题六 公切线的条数问题 例例 9 9 已知函数 已知函数 f f x x lnx lnx g g x x e ex x 1 1 确定方程 确定方程 f f x x 实数根的个数 实数根的个数 2 2 我们把与两条曲线都相切的直线叫作这两条曲线的公切线 试确定曲线 我们把与两条曲线都相切的直线叫作这两条曲线的公切线 试确定曲线 y fy f x x y gy g x x 公切线的条数 并证明你的结论 公切线的条数 并证明你的结论 解答解答 解 解 1 1 由题意得 由题意得 lnx lnx 1 1 即 即 lnx 1 lnx 1 分别作出分别作出 y lnx 1y lnx 1 和和 y y 的函数图象 由图象可知 的函数图象 由图象可知 y lnx 1y lnx 1 和和 y y 的的 函数图象有两个交点 函数图象有两个交点 方程方程 f f x x 有两个实根 有两个实根 2 2 解 曲线 解 曲线 y fy f x x y gy g x x 公切线的条数是 公切线的条数是 2 2 证明如下 证明如下 设公切线与设公切线与 f f x x lnx lnx g g x x e ex x的切点分别为 的切点分别为 m m lnmlnm n n e en n m nm n f f x x g g x x e ex x 化简得 化简得 m 1m 1 lnm m 1lnm m 1 当当 m 1m 1 时 时 m 1m 1 lnm m 1lnm m 1 不成立 不成立 当当 m 1m 1 时 时 m 1m 1 lnm m 1lnm m 1 化为化为 lnm lnm 由 由 1 1 可知 方程 可知 方程 lnm lnm 有两个实根 有两个实根 曲线曲线 y fy f x x y gy g x x 公切线的条数是 公切线的条数是 2 2 条 条 作业作业 5 5 已知函数 已知函数 f f x x x x2 2 2 2 1 a1 a x 4ax 4a g g x x a 1a 1 2 2 则 则 f f x x 和 和 g g x x 图象的公切线条数的可能值是 图象的公切线条数的可能值是 作业作业 1 1 解答解答 解 解 1 1 f f x x 2x 12x 1 x 1x 1 2 2 0 0 x x 或或 1 1 x x 是是 h h x x 的零点 的零点 g g x x k k k k 0 0 g g x x 0 0 g g x x 在 在 1 1 上单调递减 上单调递减 g g x x 的最大值为 的最大值为 g g 1 1 k 1 k 1 k k 1 1 g g 1 1 0 0 g g x x 在 在 1 1 上无零点 上无零点 k 1k 1 g g 1 1 0 0 g g x x 在 在 1 1 上有 上有 1 1 个零点 个零点 1 1 k k 0 0 g g 1 1 0 0 g g e e1 k 1 k ke ke1 k 1 k k k 0 0 g g x x 在 在 1 1 上有 上有 1 1 个个 零点 零点 综上所述 综上所述 k k 1 1 时 时 h h x x 有 有 1 1 个零点 个零点 1 k 1 k 0 0 时 时 h h x x 有两个零点 有两个零点 2 2 设切点 设切点 t t f f t t f f x x 6x 6x2 2 6x 6x 切线斜率切线斜率 f f t t 6t 6t2 2 6t 6t 切线方程为切线方程为 y fy f t t 6t6t2 2 6t 6t x tx t 切线过切线过 P P a a 4 4 4 f 4 f t t 6t6t2 2 6t 6t a ta t 4t 4t3 3 3t 3t2 2 6t 6t2 2a 6ta 5 0 a 6ta 5 0 由题意 方程由题意 方程 有有 3 3 个不同的解 个不同的解 令令 H H t t 4t 4t3 3 3t 3t2 2 6t 6t2 2a 6ta 5a 6ta 5 则 则 H H t t 12t 12t2 2 6t 12at 6a 0 6t 12at 6a 0 t t 或或 a a a a 时 时 H H t t 0 0 H H t t 在定义域内单调递增 在定义域内单调递增 H H t t 不可能有两个零点 不可能有两个零点 方程方程 不可能有两个解 不满足题意 不可能有两个解 不满足题意 a a时 在 时 在 a a 上 上 H H t t 0 0 函数单调递增 在 函数单调递增 在 a a 上 上 H H t t 0 0 函数单调递减 函数单调递减 H H t t 的极大值为 的极大值为 H H 极小 极小 值为值为 H H a a a a时 在 时 在 a a 上 上 H H t t 0 0 函数单调递增 在 函数单调递增 在 a a 上 上 H H t t 0 0 函数单调递减 函数单调递减 H H t t 的极大值为 的极大值为 H H a a 极小 极小 值为值为 H H 要使方程要使方程 有三个不同解 则有三个不同解 则 H H H H a a 0 0 即 即 2a 72a 7 a 1a 1 2a2a2 2 5a 5 5a 5 0 0 a a 或或 a a 1 1 作业作业 2 2 解答解答 解 由已知得解 由已知得 f f x x ax ax2 2 2a 12a 1 x ex ex x f f 0 0 0 0 所以 所以 f f x x axax2 2 x 1 x 1 e ex x 1 1 f f x x ax ax2 2 2a 12a 1 x ex ex x x x ax 2a 1ax 2a 1 e ex x 若若 a a 0 0 当 当或或 x x 0 0 时 时 f f x x 0 0 当 当时 时 f f x x 0 0 所以所以 f f x x 的单调递增区间为 的单调递增区间为 单调递减区间为 单调递减区间为 若若 a 0a 0 f f x x x 1x 1 e ex x f f x x xe xex x 当 当 x x 0 0 时 时 f f x x 0 0 当 当 x x 0 0 时 时 f f x x 0 0 所以所以 f f x x 的单调递增区间为 的单调递增区间为 0 0 单调递减区间为 单调递减区间为 0 0 若若 当 当或或 x x 0 0 时 时 f f x x 0 0 当 当时 时 f f x x 0 0 所以所以 f f x x 的单调递增区间为 的单调递增区间为 单调递减区间为 单调递减区间为 若若 故 故 f f x x 的单调递减区间为 的单调递减区间为 若若 当 当或或 x x 0 0 时 时 f f x x 0 0 当 当时 时 f f x x 0 0 所以所以 f f x x 的单调递增区间为 的单调递增区间为 单调递减区间为 单调递减区间为 当当 a a 0 0 时 时 f f x x 的单调递增区间为 的单调递增区间为 单调递减区间 单调递减区间 为为 当当 a 0a 0 时 时 f f x x 的单调递增区间为 的单调递增区间为 0 0 单调递减区间为 单调递减区间为 0 0 当当时 时 f f x x 的单调递增区间为 的单调递增区间为 单调递减区间为 单调递减区间为 当当时 时 f f x x 的单调递减区间为 的单调递减区间为 当当时 时 f f x x 单调递增区间为 单调递增区间为 单调递减区间为 单调递减区间为 0 0 2 2 证明 证明 g g x x e e x xf f x x lnx e lnx e x x axax2 2 x 1 x 1 e ex x lnx ax lnx ax2 2 x 1 lnx x 1 lnx 设设 l l2 2的方程为的方程为 y ky k2 2x x 切点为 切点为 x x2 2 y y2 2 则 则 所以 所以 x x2 2 1 1 y y2 2 e e k k2 2 e e 由题意知由题意知 k k1 1 k k2 2 e e 所以 所以 l l1 1的方程为的方程为 y exy ex 设 设 l l1 1与与 y gy g x x 的切点为 的切点为 x x1 1 y y1 1 则则 又又 即 即 令 令 在定义域上 在定义域上 u u x x 0 0 所以 所以 0 0 上 上 u u x x 是单调递增函数 是单调递增函数 又又 所以 所以 即 即 令令 则 则 所以 所以 故故 作业作业 3 3 解答解答 解 解 1 1 证明 设 证明 设 F F x x f f x x g g x x 则 则 F F x x 由由 F F x x 0 0 得 得 x 3x 3 当 当 0 0 x x 3 3 时 时 F F x x 0 0 当当 x x 3 3 时时 F F x x 0 0 可得 可得 F F x x 在区间 在区间 0 0 3 3 单调递减 在区间 单调递减 在区间 3 3 单调递增 单调递增 所以所以 F F x x 取得最小值为 取得最小值为 F F 3 3 ln3 1 ln3 1 0 0 F F x x 0 0 即 即 f f x x g g x x 2 2 假设曲线 假设曲线 f f x x 与 与 g g x x 有公切线 切点分别为 有公切线 切点分别为 P P x x0 0 lnxlnx0 0 和 和 Q Q x x1 1 2 2 因为因为 f f x x g g x x 所以分别以所以分别以 P P x x0 0 lnxlnx0 0 和 和 Q Q x x1 1 2 2 为切线的切线方程为 为切线的切线方程为 y y lnx lnx0 0 1 1 y y 2 2 令令 即 即 2lnx2lnx1 1 3 ln33 ln3 0 0 令令 h h x x 2lnx 2lnx1 1 3 ln33 ln3 所以由所以由 h h x x 0 0 得 得 x x1 1 3 3 显然 当显然 当 0 0 x x1 1 3 3 时 时 h h x x 0 0 当 当 x x1 1 3 3 时 时 h h x x 0 0 所以所以 h h x x min min ln3 1 ln3 1 0 0 所以方程所以方程 2lnx2lnx1 1 3 ln33 ln3 0 0 无解 无解 故二者没有公切线 故二者没有公切线 所以曲线所以曲线 y fy f x x 和 和 y gy g x x 不存在公切线 不存在公切线 3 3 1 1 21 1 2 1 2 31 2 3 1 2012 20131 2012 2013 e e4021 4021 理由 由 理由 由 1 1 可得 可得 lnxlnx 2 2 x x 0 0 可令可令 x 1 nx 1 n n 1n 1 可得 可得 lnln 1 n1 n n 1n 1 2 2 2 2 2 3 2 3 则则 lnln 1 1 21 1 2 ln ln 1 2 31 2 3 ln ln 1 2012 20131 2012 2013 2 2012 32 2012 3 1 1 4024 3 4024 3 40214021 即有 即有 1 1 21 1 2 1 2 31 2 3 1 2012 20131 2012 2013 e e4021 4021 作业作业 4 4 解答解答 解 解 f f x x x x blnx blnx f f x x 1 1 由于曲线由于曲线 y fy f x x 在点 在点 1 1 f f 1 1 处的切线垂直于 处的切线垂直于 y y 轴 轴 故该切线斜率为故该切线斜率为 0 0 即 即 f f 1 1 0 0 即 即 1 1 b 01 1 b 0 b 2 b