2017届高三数学一轮复习-专题突破训练-立体几何-文

1 专题突破训练立体几何专题突破训练立体几何 一 选择 填空题一 选择 填空题 1 2015 年全国 I 卷 九章算术 是我国古代内容极为丰富的数学名著 书中有如下问题 今有委米依垣内角 下周八尺 高五尺 问 积及为米几何 其 意思为 在屋内墙角处堆放米 如图 米堆为一个圆锥的四分之一 米堆底部的弧长为 8 尺 米堆的高为 5 尺 米堆的体积和堆放的米 各为多少 已知 1 斛米的体积约为 1 62 立方尺 圆周率约为 3 估算出堆放的米有 A 斛 B 斛 C 斛 D 斛14223666 2 2015 年全国 I 卷 圆柱被一个平面截去一部分后与半球 半径 为 组成一个几何体 该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示 若该几何体的表面积为r 则 1620 r A B C D 1248 3 2014 年全国 I 卷 如图 网格纸的各小格都是正方形 粗实线画出 的事一个几何体的三视图 则这个几何体是 A 三棱锥 B 三棱柱 C 四棱锥 D 四棱柱 4 2013 年全国 I 卷 某几何体的三视图如图 1 3 所示 则该几何体的 体积为 图 1 3 A 16 8 B 8 8 C 16 16 D 8 16 5 佛山市 2015 届高三二模 已知 均为直线 为平面 下面关于直线与平面abc 关系的命题 1 任意给定一条直线与一个平面 则平面内必存在与垂直的直线 a 2 内必存在与相交的直线 a a 3 必存在与 都垂直的直线 a b ab 4 若不垂直 则不垂直 c a b acab 其中真命题的个数为 A 1 B 2 C 3 D 4 6 广州市 2015 届高三一模 已知某锥体的正视图和侧视图如图 2 其体积为 则该锥 2 3 3 体的俯视图可以是 7 华南师大附中 2015 届高三三模 某三棱锥的三视图如下图所示 则该三棱锥的四个面中 面积最大的面的面积是 A 2 B C D 1 37 2 8 惠州市 2015 届高三 4 月模拟 已知某几何体的三视图如上图所示 则该几何体的体积为 A 1 2 B 1 C 3 2 D 3 9 茂名市 2015 届高三二模 已知平面平面 点 作直线 l AAl 现给出下列四个判断 1 与 相交 2 3 ACl AClAC AC 4 则可能成立的个数为 AC A 1 B 2 C 3 D 4 10 梅州市2015届高三一模 若某几何体的三视图如右图所示 则此几何体的体积等于 A 30 B 12 C 24 D 4 11 深圳市 2015 届高三二模 已知直线 平面 则下列能推出的条件是 l A B C D l l l l 12 湛江市 2015 届高三二模 一个几何体的三视图如图 正视图和侧视图都是由一个半圆和一 个边长为的正方形组成 俯视图是一个圆 则这个几何体的表面积2是 A 5 B 6 C 7 D 9 13 深圳市 2015 届高三二模 某几何体的三视图如图 3 所示 其中俯视图为半径为的四分之2 一个圆弧 则该几何体的体积为 14 珠海市 2015 届高三二模 是空间两条直线 是空间两个平面 则 lm A 则 B 则 ml l m lm l m C 则 D 则 l mlm l ml m 15 潮州市 2015 届高三上期末 已知某几何体的三视图如图所示 则该几何体的体积是 3 A B C D 2 3 3 2 3 2 3 2 3 2 32 二 解答题二 解答题 1 2015 年全国 I 卷 如图四边形ABCD为菱形 G为AC与BD交点 BEABCD 平平 I 证明 平面平面 AEC BED II 若 三棱锥的体积为 求该三棱锥的侧面积 120ABC AEEC EACD 6 3 2 2014年全国 I 卷 如图 三棱柱中 侧面为菱形 的中点为 且平面 111 CBAABC CCBB 11 CB1O AOCCBB 11 I 证明 1 ABCB II 若 1 ABAC 1 60 1 BCCBB 求三棱柱的高 111 CBAABC 3 2013 年全国 I 卷 如图 1 5 所示 三棱柱 ABC A1B1C1中 CA CB AB AA1 BAA1 60 1 证明 AB A1C 2 若 AB CB 2 A1C 求三棱柱 ABC A1B1C1的体积 6 图 1 5 4 佛山市 2015 届高三二模 如图 4 平面 ABCD 平面 PAB 且四边形 ABCD 为正方形 PAB 为正三角形 M 为 PD 的中点 E 为线段 BC 上的动点 1 若 E 为 BC 的中点 求证 AM 平面 PDE 2 若三棱锥 A PEM 的体积为 求正方形 ABCD 的边长 3 3 5 广州市 2015 届高三一模 如图 4 在边长为的菱形中 点 4ABCD60DAB E 分别是边 的中点 沿将 翻折到 连接FCDCBACEFO EFCEFPEF 得到如图 5 的五棱锥 且 PA PB PDPABFED 10PB 1 求证 平面 BD POA 2 求四棱锥的体积 PBFED A D P C C B E M 图 4 4 6 华南师大附中 2015 届高三三模 如图 111111 ABCDEFABC D E F 是底面半径为 1 的圆柱的内接正六棱柱 底面是正六边形 侧棱垂直 于底面 过 FB 作圆柱的截面交下底面于 已知 11 C E 1 13FC 1 证明 四边形是平行四边形 11 BFE C 2 证明 1 FBCB 3 求三棱锥的体积 1 AABF 7 惠州市 2015 届高三 4 月模拟 如图所示 在所有棱长都为的三棱柱中 2a 111 ABCABC 侧棱 点为棱的中点 1 AAABC 底面DAB 1 求证 平面 1 AC 1 CDB 2 求四棱锥的体积 111 CADB A 8 茂名市 2015 届高三二模 右图为一简单组合体 其底面为正ABCD 方形 PD 平面ABCD ECPD 且 为线段的中点 22PDADEC NPB 1 证明 NEPD 2 求四棱锥的体积 BCEPD 9 梅州市 2015 届高三一模 如图 ABC 是等腰直角三角形 ACB 90 AC 2a D E 分别为 AC AB 的中点 沿 DE 将 ADE 折起 得到如图所示的四棱锥 ABCDE F 是 的中点 A B 1 求证 平面 平面 BCDE A DE 2 求证 EF 平面 A CD 2 求四棱锥体积的最大值时 ABCDE 10 深圳市 2015 届高三二模 如图 5 是边长为的等边三角形 是等腰直角三角形 平面ABC 4ABD ADBD 平面 且平面 ABC ABDEC ABC2EC 1 证明 平面 DEABC 2 证明 AD BE 11 湛江市 2015 届高三二模 在边长为的正方形中 分别是 的中点 4CDA FC CD 分别是 的中点 将该正方形沿 折叠 使 三点重合 A CFA FAF CD 构成一个三棱锥 如图所示 证明 平面 1 FA 证明 平面 2A F 求四棱锥的体积 3F A A BC D A1 B1C1 D C A B E 图 5 5 12 珠海市 2015 届高三二模 如图为一多面体 ABCDFEABAD ABCD 四边形为平行四边形 224CDABAD BEFDBDDF 3 BDF DFBC 1 求证 平面平面 BCE BEFD 2 求点到面的距离 BDCE 13 清远市 2015 届高三期末 在等腰直角 BCP 中 BC PC 4 BCP 90 A 是边 BP 的中点 现沿 CA 把 ACP 折起 使 PB 4 如图 1 所示 1 在三棱锥 P ABC 中 求证 直线 PA 平面 ABC 2 在三棱锥 P ABC 中 M N F 分别是 PC BC AC 的中点 Q 为 MN 上任取一点 求证 直线 FQ 平面 PAB 14 汕头市 2015 届高三期末 如图 已知平面 四边形为矩形 四边形FA CDA FA 为直角梯形 CDA D90 A CDA DFCD2A A 4A 求证 平面 1F AC 求证 平面 2CA C 求三棱锥的体积 3CF 15 汕尾市 2015 届高三期末 如图 4 在三棱柱 中 侧面均为正方形 111 ABCABC 1111 ABB A ACC A 1 ABAC 点是棱的中点 90BAC D 11 BC 1 求证 平面 1 AD 11 BBC C 2 求证 平面 AB 1 ADC 3 求三棱锥的体积 11 CACD V 参考答案参考答案 一 选择 填空题一 选择 填空题 1 答案 B 解析 试题分析 设圆锥底面半径为 r 则 所以米堆的体积为 1 2 38 4 r 16 3 r 故堆放的米约为 1 62 22 故选 B 2 1116 3 5 433 320 9 320 9 考点 本题主要考查圆锥的性质与圆锥的体积公式 2 答案 B 解析 试题分析 由正视图和俯视图知 该几何体是半球与半个圆柱的组合体 圆柱的半径与球的半径 都为 r 圆柱的高为 2r 其表面积为 16 22 1 4222 2 rrrrrr 22 54rr 20 解得 r 2 故选 B 3 答案 B 解析 根据所给三视图易知 对应的几何体是一个横放着的三棱柱 选 B 4 A 解析 该空间几何体的下半部分是一个底面半径为 2 母线长为 4 的半圆柱 上半部分是 一个底面边长为 2 高为 4 的正四棱柱 这个空间几何体的体积是 4 4 2 2 4 16 8 1 2 5 B F E DC BA 第 18 题图 6 6 C 7 C 8 C 解析 由三视图易知 该几何体是底面积为 3 2 高为 3 的三棱锥 由锥体的体积公式得 133 3 322 V 9 D 10 C 11 D 12 C 13 82 14 D 1515 C C 二 解答题二 解答题 1 答案 I 见解析 II 3 2 5 试题解析 I 因为四边形 ABCD 为菱形 所以 AC BD 因为 BE 平面 ABCD 所以 AC BE 故 AC 平面 BED 又 AC 平面 AEC 所以平面 AEC 平面 BED II 设 AB 在菱形 ABCD 中 由 ABC 120 可得 AG GC GB GD x 3 2 x 2 x 因为 AE EC 所以在AEC 中 可得 EG RtD 3 2 x 由 BE 平面 ABCD 知EBG 为直角三角形 可得 BE D 2 2 x 由已知得 三棱锥 E ACD 的体积 故 2 3 1166 32243 E ACD VAC GD BEx x 从而可得 AE EC ED 6 所以 EAC 的面积为 3 EAD 的面积与ECD 的面积均为 DD5 故三棱锥 E ACD 的侧面积为 3 2 5 考点 线面垂直的判定与性质 面面垂直的判定 三棱锥的体积与表面积的计算 逻辑推理能力 运算求解能力 2 解析 I 连结 则 O 为与的交点 因为侧面为菱形 所以 1 BC 1 BC 1 BC 11 BBC C 1 BC 又平面 故 平面 由于平面 1 BC AO 11 BBC C 1 BCAO 1 BC ABOAB ABO 故 6 分 1 BC AB II 作OD BC 垂足为D 连结AD 作OH AD 垂足为H 由于BC AO BC OD 故BC 平面AOD 所以OH BC 又OH AD 所以OH 平面ABC 因为 所以 为等边三角形 又 1 60 1 BCCBB 1 CBB BC 1 可得OD 由于 所以 3 4 1 ABAC 由 OH AD OD OA 且 得OH 1 11 22 OABC 22 7 4 ADODOA 21 14 又O为B1C的中点 所以点B1 到平面ABC 的距离为 故三棱柱ABC A1B1C1 的高为 21 7 21 7 12 分 3 解 1 取 AB 的中点 O 联结 OC OA1 A1B 因为 CA CB 所以 OC AB 由于 AB AA1 BAA1 60 故 AA1B 为等边三角形 所以 OA1 AB 因为 OC OA1 O 所以 AB 平面 OA1C 7 H F E P O D B A 又 A1C 平面 OA1C 故 AB A1C 2 由题设知 ABC 与 AA1B 都是边长为 2 的等边三角形 所以 OC OA1 3 又 A1C 则 A1C2 OC2 OA 故 OA1 OC 62 1 因为 OC AB O 所以 OA1 平面 ABC OA1为三棱柱 ABC A1B1C1的高 又 ABC 的面积 S ABC 故三棱柱 ABC A1B1C1的体积 V S ABC OA1 3 3 4 5 1 证明证明 点 分别是边 的中点 EFCDCB 1 分BDEF 菱形的对角线互相垂直 ABCD 2 分BDAC 3 分EFAC 4 分EFAO EFPO 平面 平面 AO POAPO POAAOPOO 平面 5 分EF POA 平面 6 分BD POA 2 解解 设 连接 AOBDH BO 60DAB 为等边三角形 7 分ABD 8 分4BD 2BH 2 3HA 3HOPO 在 R t 中 9 分BHO 22 7BOBHHO 在 中 10 分PBO 222 10 BOPOPB 11 分POBO 平面 平面 POEF EFBOO EF BFEDBO BFED 平面 12 分PO BFED 梯形的面积为 13 分BFED 1 3 3 2 SEFBDHO 四棱锥的体积 14 分PBFED 11 3 333 33 VS PO 6 8 7 解 1 连结 设与交于点 1 分 1 BC 1 BC 1 BCE 则点是的中点 连结 2 分E 1 BCDE 因为点为的中点 DAB 所以是的中位线 DE 1 ABC 所以 4 分 1 ACDE 因为平面 面 5 分DE 1 CDB 1 AC 1 CDB 所以 平面 6 分 1 AC 1 CDB 2 取线段中点 连结 7 分 11 ABM 1 C M 点为线段中点 1111 C AC B M 11 AB 9 分 1 C M 11 AB 又平面 1 A A ABC 即平面 平面 1 A A 111 C AB 1 C M 111 C AB 11 分 1 A A 1 C M 1 A A 11 AB 1 A 平面 则是四棱锥的高 12 分 1 C M 11 ADB A 1 C M 111 CADB A 111 3 C ADB A 1 2a a 2a V 3a 3a 32 14 分 8 解 1 连结与交于点 则为的中ACBDFFBD 点 连结 为线段的中点 NFNPB 且 3 分 NFPD 2 1 PDNF 又且 ECPDPDEC 2 1 且 四边形为平行四 NFEC NFEC NFCE 边形 5 分 即 6 分 NEFC NEAC 又 平面 面 PD ABCDAC ABCDACPD 7 分 NEACNEPD 2 平面ABCD 平面PDCE PD PD 平面PDCE 平面 9 分ABCD BCCD 平面平面 平面 PDCE ABCDCD BC ABCD 平面 PDCE 10 分BC 是四棱锥的高 11 分BCBPDCE 11 3 23 22 SPDECDC 梯形PD C E 12 分 四棱锥的体积 14 分BCEPD 11 3 22 33 B CEPDPDCE VSBC 梯形 9 1 证明 90ACBCACB 分别为的中点 ED ABAC 2 2 分 分DE BC DCDE 沿将折起后 DEADE DADE DCADEDCDDA 平面 4 4 分 分 BCDEDE平面 BCDEDCA平面平面 2 证明 取中点 连接 CA GGFDG A BC D A1 B1 C1 E 9 则由中位线定理可得 5 5 分分DEBCBCDE 2 1 同理 GFBCBCGF 2 1 所以 DEGF DEGF 从而四边形是平行四边形 7 7 分分 DEFG EF DG 又面 平面 EF CDA DG CDA 平面 9 9 分分 EF CDA 3 在平面内作于点 CDA CDHA H 由 1 BCDEDCA平面平面 CDBCDEDCA 平面平面 故底面 即就是四棱锥的高 1111 分分 HA BCDEHA BCDEA 由知 点和重合时 四棱锥的体积取最大值 1212 分分ADHA HDBCDEA 是等腰直角三角形 ABC 90 ACBaAC2 2 1 2 aBCDEaBCaCDADDA 得 2 1 2 2 1 3 1 3 1 3 aaaaaDASV BCDEBCDEA 所以四棱锥的体积的最大值为 1414 分分BCDEA 2 1 3 a 10 证明 1 取AB的中点O 连结DO CO 1 分 QABD 是等腰直角三角形 ADBD DOAB 1 2 2 DOAB 2 分 又Q平面ABD 平面ABC 平面ABDI平面ABCAB DO 平面ABC 3 分 由已知得EC 平面ABC DOEC 4 分 又2ECDO 四边形DOCE为平行四边形 5 分 DEOC 6 分 而DE 平面ABC OC 平面ABC DE平面ABC 7 分 2 QO为AB的中点 ABC 为等边三角形 OCAB 8 分 由 1 知DO 平面ABC 而OC 平面ABC 可得DOOC 9 分 Q DOABO I OC 平面ABD 10 分 而AD 平面ABD OCAD 11 分 又Q DEOC DEAD 12 分 而BDAD DEBDD I AD 平面BDE 13 分 又BE 平面BDE AD BE 14 分 说明 本题主要考察空间点 线 面的位置关系 考查空间想象能力 运算能力和逻辑推理能 力 11 D C A B E O 10 12 证明 取中点 连接CDGBG ABCD224CDABAD ABGD2ABGDAD ABAD 四边形是正方形 分 ABGD 2 2BD GBCD 2BGGDGC 且 2 分 2 2BC 0 45ADBBDCBCD BDBC DFBC BDDFD 平面 4 分 BC BDFE 平面 BC BCE 平面平面 6 分 BCE BEFD 解 由 知平面 BC BDFE 7 分 BDEBDEC SBCV 3 1 由得 且 8 3 BDF 3 2 DBE22 BEBD32 3 2 sin 2 1 BEBDSDBE 分 又 2 2BC 9 分 3 64 3 1 BDEBDEC SBCV 设点到面的距离为 由等体积法 10 分BDCEh 11 分 3 64 3 1 3 1 hSSBCV DCEBDEBDEC 在 易得 13 分中DCE 624 DECEDC 60 DCE S 14 分 10 104 h 13 解 1 在三棱锥 P ABC 中 依题意可知 2 分ACPA PA AB