2016年山东高考数学(文科)试题及答案

2016 年普通高等学校招生全国统一考试 山东卷 年普通高等学校招生全国统一考试 山东卷 数学 文科 数学 文科 本试卷分第本试卷分第 卷和第卷和第 卷两部分 共卷两部分 共 4 页 满分页 满分 150 分 考试用时分 考试用时 120 分钟 分钟 考试结束后 将将本试卷和答题卡一并交回 考试结束后 将将本试卷和答题卡一并交回 注意事项 注意事项 1 答卷前 考生务必用答卷前 考生务必用 0 5 毫米黑色签字笔将自己的姓名 座号 考生号 毫米黑色签字笔将自己的姓名 座号 考生号 县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上 县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上 2 第第 卷每小题选出答案后 用卷每小题选出答案后 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑 如需改动 用橡皮擦干净后 在选涂其他答案标号 答案写在试卷上无效 黑 如需改动 用橡皮擦干净后 在选涂其他答案标号 答案写在试卷上无效 3 第第 卷必须用卷必须用 0 5 毫米黑色签字笔作答 答案必须写在答题卡各题目指定毫米黑色签字笔作答 答案必须写在答题卡各题目指定 区域内相应的位置 不能写在试卷上 如需改动 先划掉原来的答案 然后再区域内相应的位置 不能写在试卷上 如需改动 先划掉原来的答案 然后再 写上新的答案 不能使用涂改液 胶带纸 修正带 不按以上要求作答的答案写上新的答案 不能使用涂改液 胶带纸 修正带 不按以上要求作答的答案 无效 无效 4 填空题直接填写答案 解答题应写出文字说明 证明过程或演算步骤填空题直接填写答案 解答题应写出文字说明 证明过程或演算步骤 参考公式 参考公式 如果事件如果事件 A B 互斥 那么互斥 那么 P A B P A P B 第第 I I 卷 共卷 共 5050 分 分 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 10 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 50 分 在每小题给出的分 在每小题给出的 四个选项中 只有一项是符合题目要求的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 1 设集合 则 1 2 3 4 5 6 1 3 5 3 4 5 UAB U AB A B C D 2 6 3 6 1 3 4 5 1 2 4 6 2 若复数 其中 i 为虚数单位 则 2 1i z z A 1 i B 1 i C 1 i D 1 i 3 某高校调查了 200 名学生每周的自习时间 单位 小时 制成了如图所示的频率分布直方图 其中 自习时间的范围是 17 5 30 样本数据分组为 17 5 20 20 22 5 22 5 25 25 27 5 27 5 30 根据直方图 这 200 名学生中每周的自习时间不少于 22 5 小时的人数是 A 56 B 60 C 120 D 140 4 若变量 x y 满足则 x2 y2的最大值是 2 239 0 xy xy x A 4 B 9 C 10 D 12 5 一个由半球和四棱锥组成的几何体 其三视图如图所示 则该几何体的体积为 A B 12 33 12 33 C D 12 36 2 1 6 6 已知直线 a b 分别在两个不同的平面 内 则 直线 a 和直线 b 相交 是 平面 和平面相交 的bb A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 7 已知圆 M 截直线所得线段的长度是 则圆 M 与圆 N 22 20 0 xyaya 0 xy 2 2 的位置关系是 22 1 1xy 1 A 内切 B 相交 C 外切 D 相离 8 中 角 A B C 的对边分别是 a b c 已知 则 A ABC 22 2 1sin bc abA A B C D 3 4 3 4 6 9 已知函数 f x 的定义域为 R 当 x 0 时 f x x3 1 当 1 x 1 时 f x f x 当 x 时 f x 1 2 1 2 f x 则 f 6 1 2 A 2 B 1 C 0 D 2 10 若函数的图象上存在两点 使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直 则称具 yf x yf x 有 T 性质 下列函数中具有 T 性质的是 A B C D sinyx lnyx exy 3 yx 第第 II 卷 共卷 共 100 分 分 二 填空题 本大题共 5 小题 每小题 5 分 共 25 分 11 执行右边的程序框图 若输入 n 的值为 3 则输出的 S 的值为 12 观察下列等式 22 2 4 sin sin 1 2 333 2222 2 3 4 4 sin sin sin sin 2 3 55553 2222 2 3 6 4 sin sin sin sin 3 4 77773 2222 2 3 8 4 sin sin sin sin 4 5 99993 照此规律 2222 2 3 2 sin sin sin sin 21212121 n nnnn 13 已知向量 a 1 1 b 6 4 若 a ta b 则实数 t 的值为 14 已知双曲线 E 1 a 0 b 0 矩形 ABCD 的四个顶点在 E 上 AB CD 的中点为 E 的 2 2 x a 2 2 y b 两个焦点 且 2 AB 3 BC 则 E 的离心率是 15 已知函数 f x 其中 m 0 若存在实数 b 使得关于 x 的方程 f x b 有三个 2 24 x xm xmxm xm 不同的根 则 m 的取值范围是 三 解答题 本大题共 6 小题 共 75 分 16 本小题满分 12 分 某儿童乐园在 六一 儿童节退出了一项趣味活动 参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次 每次转动后 待转盘停止转动时 记录指针所指区域中的数 设两次记录的数分别为 x y 奖励规则如下 若 则奖励玩具一个 3xy 若 则奖励水杯一个 8xy 其余情况奖励饮料一瓶 假设转盘质地均匀 四个区域划分均匀 小亮准备参加此项活动 I 求小亮获得玩具的概率 II 请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小 并说明理由 17 本小题满分 12 分 设 2 2 3sin sin sincos f xxxxx I 求得单调递增区间 f x II 把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍 纵坐标不变 再把得到的图象向左平移 yf x 个单位 得到函数的图象 求的值 3 yg x 6 g 18 本小题满分 12 分 在如图所示的几何体中 D 是 AC 的中点 EF DB I 已知 AB BC AE EC 求证 AC FB II 已知 G H 分别是 EC 和 FB 的中点 求证 GH 平面 ABC 19 本小题满分 12 分 已知数列的前 n 项和 是等差数列 且 n a 2 38 n Snn n b 1nnn abb I 求数列的通项公式 n b II 令 求数列的前 n 项和 1 1 2 n n n n n a c b n c n T 20 本小题满分 13 分 设 f x xlnx ax2 2a 1 x a R 令 g x f x 求 g x 的单调区间 已知 f x 在 x 1 处取得极大值 求实数 a 的取值范围 21 本小题满分 14 分 已知椭圆 C a b 0 的长轴长为 4 焦距为 2 2 2 2 2 1 2 I 求椭圆 C 的方程 过动点 M 0 m m 0 的直线交 x 轴与点 N 交 C 于点 A P P 在第一象限 且 M 是线段 PN 的中点 过点 P 作 x 轴的垂线交 C 于另一点 Q 延长线 QM 交 C 于点 B i 设直线 PM QM 的斜率分别为 k k 证明 为定值 ii 求直线 AB 的斜率的最小值 2016 年普通高等学校招生全国统一考试 山东卷 年普通高等学校招生全国统一考试 山东卷 数学 文科 数学 文科 第第 I I 卷 共卷 共 5050 分 分 一 选择题一 选择题 1 答案 A 2 答案 B 3 答案 D 4 答案 C 5 答案 C 6 答案 A 7 答案 B 8 答案 C 9 答案 D 10 答案 A 第第 II 卷 共卷 共 100 分 分 二 填空题二 填空题 11 答案 1 12 答案 4 1 3 nn 13 答案 5 14 答案 2 15 答案 3 三 解答题 本大题共 6 小题 共 75 分 16 答案 小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率 5 16 解析 试题分析 用数对表示儿童参加活动先后记录的数 写出基本事件空间与点集 x y 一一对应 得到基本事件总数为 14 14Sx yxN yNxy 16 n 事件包含的基本事件共有个 即 计算即得 A5 1 1 1 2 1 3 2 1 3 1 记 为事件 为事件 8xy B38xy C 知事件包含的基本事件共有个 得到B6 63 168 P B 事件包含的基本事件共有个 得到C5 5 16 P C 比较即知 试题解析 用数对表示儿童参加活动先后记录的数 则基本事件空间与点集 x y 一一对应 因为中元素个数是所以基本事件总 14 14Sx yxN yNxy S4 416 数为16 n 记 为事件 3xy A 则事件包含的基本事件共有个 即 A5 1 1 1 2 1 3 2 1 3 1 所以 即小亮获得玩具的概率为 5 16 P A 5 16 记 为事件 为事件 8xy B38xy C 则事件包含的基本事件共有个 即B6 2 4 3 3 3 44 2 4 3 4 4 所以 63 168 P B 则事件包含的基本事件共有个 即C5 1 4 2 2 2 3 3 2 4 1 所以 5 16 P C 因为 35 816 所以 小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率 考点 古典概型 17 答案 的单调递增区间是 或 f x 5 1212 kkkZ 5 1212 kkkZ 3 解析 试题分析 化简得 2 2 3sinsinsincosf xxxxx 2sin 231 3 f xx 由即得 222 232 kxkkZ 5 1212 kxkkZ 写出的单调递增区间 f x 由平移后得进一步可得 f x2sin 231 3 x 2sin31 g xx 6 g 试题解析 由 2 2 3sinsinsincosf xxxxx 2 2 3sin1 2sin cosxxx 3 1 cos2sin21xx sin23cos231xx 2sin 231 3 x 由得 222 232 kxkkZ 5 1212 kxkkZ 所以 的单调递增区间是 f x 5 1212 kkkZ 或 5 1212 kkkZ 由 知 f x2sin 231 3 x 把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍 纵坐标不变 yf x 2 得到的图象 y 2sin31 3 x 再把得到的图象向左平移个单位 得到的图象 3 y2sin31x 即 2sin31 g xx 所以 2sin313 66 g 考点 1 和差倍半的三角函数 2 三角函数的图象和性质 3 三角函数的图象和性质 18 答案 证明 见解析 见解析 解析 试题分析 根据 知与确定一个平面 连接 得到 BDEF EFBDDEACDE 从而平面 证得 ACBD ACBDEFFBAC 设的中点为 连 在 中 由三角形中位线定理可得线线平行 证得FCIHIGI CEF CFB 平面平面 进一步得到平面 GHIABC GHABC 试题解析 证明 因 所以与确定一个平面 连接 因为为BDEF EFBDDEEECAE 的中点 所以 同理可得 又因为 所以平面 ACACDE ACBD DDEBD ACBDEF 因为平面 FBBDEFFBAC 设的中点为 连 在中 是的中点 所以 又 所FCIHIGI CEF GCEEFGI DBEF 以 在中 是的中点 所以 又 所以平面平面DBGI CFB HFBBCHI IHIGI GHI 因为平面 所以平面 ABC GHGHI GHABC I F E H G B D C A 考点 1 平行关系 2 垂直关系 19 答案 13 nbn 2 23 n n nT 解析 试题分析 由题意得 解得 得到 322 211 bba bba 3 4 1 db13 nbn 由 知 从而 1 1 2 1 3 33 66 n n n n n n n c 2 1 242322 3 1432 n n nT 利用 错位相减法 即得 2 23 n n nT 试题解析 由题意当时 当时 所以2 n56 1 nSSa nnn 1 n11 11 Sa 设数列的公差为 由 即 解之得 所以56 nand 322 211 bba bba db db 3217 211 1 1 3 4 1 db 13 nbn 由 知 又 即 1 1 2 1 3 33 66 n n n n n n n c nn ccccT 321 2 1 242322 3 1432 n n nT 所以 以上两式两边相减得 2 1 242322 32 2543 n n nT 2221432 23 2 1 12 12 4 4 3 2 1 22222 3 nn n nn n nnnT 所以 2 23 n n nT 考点 1 等差数列的通项公式 2 等比数列的求和 3 错位相减法 20 答案 当时 函数单调递增区间为 0a g x 0 当时 函数单调递增区间为 单调递减区间为 0a g x 1 0 2a 1 2a 1 2 a 解析 试题分析 求导数 ln22 fxxaxa 可得 ln22 0 g xxaxa x 从而 112 2 ax gxa xx 讨论当时 当时的两种情况即得 0a 0a 由 知 分以下情况讨论 当时 当时 当时 当 10f 0a 1 0 2 a 1 2 a 时 综合即得 1 2 a 试题解析 由 ln22 fxxaxa 可得 ln22 0 g xxaxa x 则 112 2 ax gxa xx 当时 0a 时 函数单调递增 0 x 0gx g x 当时 0a 时 函数单调递增 1 0 2 x a 0gx g x 时 函数单调递减 1 2 x a 0gx g x 所以当时 函数单调递增区间为 0a g x 0 当时 函数单调递增区间为 单调递减区间为 0a g x 1 0 2a 1 2a 由 知 10f 当时 单调递减 0a 0fx f x 所以当时 单调递减 0 1x 0fx f x 当时 单调递增 1 x 0fx f x 所以在 x 1 处取得极小值 不合题意 f x 当时 由 知在内单调递增 1 0 2 a 1 1 2a fx 1 0 2a 可得当当时 时 0 1x 0fx 1 1 2 x a 0fx 所以在 0 1 内单调递减 在内单调递增 f x 1 1 2a 所以在 x 1 处取得极小值 不合题意 f x 当时 即时 在 0 1 内单调递增 在 内单调递减 1 2 a 1 1 2a fx 1 所以当时 单调递减 不合题意 0 x 0fx f x 当时 即 当时 单调递增 1 2 a 1 01 2a 1 1 2 x a 0fx f x 当时 单调递减 1 x 0fx f x 所以 f x 在 x 1 处取得极大值 合题意 综上可知 实数 a 的取值范围为 1 2 a 考点 1 应用导数研究函数的单调性 极值 2 分类讨论思想 21 答案 i 见解析 ii 直线 AB 的斜率的最小值为 22 1 42 xy 6 2 解析 试题分析 分别计算 a b 即得 i 设 0000 0 0P xyxy 由 M 0 m 可得 00 2 2 P xmQ xm 得到直线 PM 的斜率 直线 QM 的斜率 证得 00 2mmm k xx 00 23 mmm k xx ii 设 1122 A x yB xy 直线 PA 的方程为 y kx m 直线 QB 的方程为 y 3kx m 联立 22 1 42 ykxm xy 整理得 222 214240kxmkxm 应用一元二次方程根与系数的关系得到 2222 21 2222 000 2222322 1812118121 mmkm xx kxkxkkx 2222 21 2222 000 62228612 1812118121 k mmkkm yy