2019届北京市高三数学理模拟试卷

数学 理科 2018 5 第第 卷卷 选择题 共 40 分 一 选择题 本大题共 8 小题 每小题 5 分 共 40 分 在每小题列出的四个选项中 选 出 符合题目要求的一项 1 若集合 则下列结论中正确的是 01 Axx 2 20 Bx xx A AB B AB R C AB D BA 2 若复数满足 则z 1i 1z z A 1i 22 B 1i 22 C 1i 22 D 1i 22 3 下列函数中 既是偶函数又在区间上单调递减的是 0 1 A 1 y x B 2 yx C 2 x y D cosyx 4 某正四棱锥的正 主 视图和俯视图如图所示 该正四棱锥的 侧面积是 A 12 B 4 10 C 12 2 D 8 5 5 向量在正方形格中的位置如图所示 若向量与 a b c abc 共线 则实数 A 2 B 1 C 1 D 2 6 已知点 若椭圆上存在点 使得 为等边三角 0 0 A 2 0 B 22 1 2 xy W m CABC 形 则椭圆的离心率是W A 1 2 B 2 2 C 6 3 D 3 2 7 函数 则 是 使 的 2 1f xxa 0a 0 1 1 x 0 0f x A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 8 在直角坐标系中 对于点 定义变换 将点xOy x y x y 变换为点 使得 其中 这样变 a b tan tan xa yb 2 2 a b 换就将坐标系内的曲线变换为坐标系内的曲线 xOyaOb 则四个函数 1 2 0 yx x 2 2 0 yxx 3 e 0 x yx 在坐标系内的图象 变换为坐标系内 4 ln 1 yx x xOyaOb 的四条曲线 如图 依次是 A B C D 第第 卷卷 非选择题 共 110 分 二 填空题 本大题共 6 小题 每小题 5 分 共 30 分 9 已知圆的参数方程为 为参数 则圆的面积为 圆心到直C 2cos sin x y CC 线 的距离为 340lxy 10 的展开式中的系数是 24 1 x x 2 x 11 在 中 则 ABC3a 2b 3 A cos2B 12 设等差数列的前项和为 若 则数列的通项公式可以是 n an n S 1 1a 23 SS n a 13 设不等式组 表示的平面区域为 若直线上存在区域上的 1 3 25 x xy xy D0axy D 点 则 实数的取值范围是 a 14 地铁某换乘站设有编号为 A B C D E 的五个安全出口 若同时开放其中的两个 安全出口 疏散 1000 名乘客所需的时间如下 安全出口编号A BB CC DD EA E 疏散乘客时间 s 120220160140200 则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是 三 解答题 本大题共 6 小题 共 80 分 解答应写出必要的文字说明 证明过程或演算步 骤 15 本小题满分 13 分 已知函数 1tan sin2f xxx 求的定义域 f x 若 且 求的值 0 2f 16 本小题满分 14 分 如图 梯形所在的平面与等腰梯形所在的ABCDABEF 平面互相垂直 ABCDEFABAD 2CDDAAFFE 4AB 求证 平面 DFBCE 求二面角的余弦值 CBFA 线段上是否存在点 使得平面 CEGAG BCF 请说明理由 17 本小题满分 13 分 在某地区 某项职业的从业者共约 8 5 万人 其中约 3 4 万人患有某种职业病 为了解 这种职业病与某项身体指标 检测值为不超过 6 的正整数 间的关系 依据是否患有职业 病 使用分层抽样的方法随机抽取了 100 名从业者 记录他们该项身体指标的检测值 整 理得到如下统计图 求样本中患病者的人数和图中 a b 的值 在该指标检测值为 4 的样本中随机选取 2 人 求这 2 人中有患病者的概率 III 某研究机构提出 可以选取常数 若一名从业者该项身体指标检 0 0 5 Xnn N 测值大于 则判断其患有这种职业病 若检测值小于 则判断其未患有这种 0 X 0 X 职业病 从样本中随机选择一名从业者 按照这种方式判断其是否患有职业病 写 出使得判断错误的概率最小的的值及相应的概率 只需写出结论 0 X 18 本小题满分 14 分 已知直线与抛物线相切于点 1l ykx 2 4C yx P 求直线 的方程及点的坐标 lP 设在抛物线上 为的中点 过作轴的垂线 分别交抛物线和直线QCAPQAyC 于 记 的面积为 的面积为 证明 lMNPMN 1 SQAM 2 S 12 SS 19 本小题满分 13 分 已知函数 曲线在处的切线经过点 ln x f xax x yf x 1x 2 1 求实数的值 a 设 求在区间上的最大值和最小值 1b f x 1 b b 20 本小题满分 13 分 数列 的各项均为整数 满足 且 n A 12 2 n aaan 1 1 2 i ain 其中 123 1231 22220 nnn nn aaaaa 1 0a 若 写出所有满足条件的数列 3n 3 A 求的值 1 a 证明 12 0 n aaa 西城区高三模拟测试 数学 理科 参考答案及评分标准 2018 5 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 8 8 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 4040 分分 1 C 2 A 3 D 4 B 5 D 6 C 7 A 8 A 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 6 6 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 3030 分分 9 10 11 6 5 6 1 3 12 答案不唯一 13 14 D2n 1 3 2 注 第注 第 9 9 题第一空题第一空 3 3 分 第二空分 第二空 2 2 分分 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 6 小题 共小题 共 8080 分分 其他正确解答过程 请参照评分标准给分其他正确解答过程 请参照评分标准给分 15 本小题满分 13 分 解 因为函数的定义域是 tanyx 2 xxkk RZ 所以的定义域为 f x 2 xxkk RZ 4 分 1tan sin2f xxx sin 1 sin2 cos x x x 5 分 2 sin22sinxx 6 分 sin2cos21xx 7 分 2sin 2 1 4 x 8 分 由 得 2f 2 sin 2 42 9 分 因为 所以 0 7 2 444 10 分 所以 或 2 44 3 2 44 11 分 解得 或 舍去 4 2 13 分 16 本小题满分 14 分 解 因为 且 CDEFCDEF 所以 四边形为平行四边形 CDFE 所以 2 分 DFCE 因为 平面 3 分DF BCE 所以 平面 4 分 DFBCE 在平面内 过作 ABEFAAzAB 因为 平面平面 平面平面 ABCD ABEFABCDIABEFAB 又 平面 Az ABEFAzAB 所以 平面 Az ABCD 所以 ADAB ADAz AzAB 如图建立空间直角坐标系 Axyz 5 分 由题意得 0 0 0 A 0 4 0 B 2 2 0 C 0 3 3 E 0 1 3 F 所以 2 2 0 BC 0 3 3 BF 设平面的法向量为 BCF x y z n 则 即 0 0 BC BF n n 220 330 xy yz 令 则 所以 1y 1x 3z 1 1 3 n 7 分 平面的一个法向量为 ABF 1 0 0 v 8 分 则 5 cos 5 n v n v n v 所以 二面角的余弦值 CBFA 5 5 10 分 线段上不存在点 使得平面 理由如下 CEGAG BCF 11 分 解法一 设平面的法向量为 ACE 111 x y z m 则 即 0 0 AC AE m m 11 11 220 330 xy yz 令 则 所以 1 1y 1 1x 1 3z 1 1 3 m 13 分 因为 0 m n 所以 平面与平面不可能垂直 ACEBCF 从而线段上不存在点 使得平面 CEGAG BCF 14 分 解法二 线段上不存在点 使得平面 理由如下 CEGAG BCF 11 分 假设线段上存在点 使得平面 CEGAG BCF 设 其中 CGCE 0 1 设 则有 222 G xyz 222 2 2 2 3 xyz 所以 从而 2 22x 2 2y 2 3z 22 2 3 G 所以 22 2 3 AG 13 分 因为 平面 所以 AG BCF AGn 所以有 2223 113 因为 上述方程组无解 所以假设不成立 所以 线段上不存在点 使得平面 CEGAG BCF 14 分 17 本小题满分 13 分 解 根据分层抽样原则 容量为 100 的样本中 患病者的人数为 人 2 分 3 4 10040 8 5 10 100 350 250 150 100 05a 10 100 200 300 40b 4 分 指标检测数据为 4 的样本中 有患病者人 未患病者人 400 208 600 159 6 分 设事件 A 为 从中随机选择 2 人 其中有患病者 则 2 9 2 17 C9 A C34 P 8 分 所以 25 A 1 A 34 PP 9 分 使得判断错误的概率最小的 0 4 5X 11 分 当时 判断错误的概率为 0 4 5X 21 100 13 分 18 本小题满分 14 分 解 由 得 2 1 4 ykx yx 22 24 10k xkx 2 分 依题意 有 且 0k 22 24 40kk 解得 1k 3 分 所以直线 的方程为 l1yx 4 分 将 代入 解得 1k 1x 所以点的坐标为 P 1 2 5 分 设 则 所以 Q m n 2 4nm 12 22 mn A 7 分 依题意 将直线 分别代入抛物线与直线 2 2 n y Cl 得 2 2 2 162 nn M 2 22 n n N 8 分 因为 22 2 444441 16216164 nnnnmnmn MN 10 分 22 1 2 88 44 21616 mnmnn AM 88 444 1 164 mmnmn 12 分 所以 AMMN 13 分 又 为中点 所以两点到直线的距离相等 APQPQ AN 所以 12 SS 14 分 19 本小题满分 13 分 解 的导函数为 f x 2 2 1 ln xax fx x 2 分 所以 1 1fa 依题意 有 1 1 1 12 f a 即 1 1 12 a a 4 分 解得 1a 5 分 由 得 2 2 1ln xx fx x 当时 所以 故单调递增 0 1x 2 10 x ln0 x 0fx f x 所以 在区间上单调递增 在区间上单调递减 f x 0 1 1 8 分 因为 所以 最大值为 1 01b b f x 1 1f 9 分 设 其中 111 lnh bf bfbbb bbb 1b 10 分 则 2 1 1 ln0h bb b 故 在区间上单调递增 h b 1 11 分 所以 即 1 0h bh 1 f bf b 12 分 故 最小值为 f x 11 lnfbb bb 13 分 20 本小题满分 13 分 解 满足条件的数列为 3 A1 1 6 1 0 4 1 1 2 1 2 0 3 分 1 1a 4 分 否则 假设 因为 所以 又 因此有 1 1a 1 0a 1 1a 23 1 n aaa 123 1231 2222 nnn nn aaaaa 123 2 1 2 1 2 1 2 1 nnn 123 222211 nnn 这与矛盾 123 1231 22220 nnn nn aaaaa 所以 1 1a 8 分 先证明如下结论 必有 1 2 1 kn 12 12 2220 nnn k k aaa 否则 令 12 12 2220 nnn k k aaa 注意左式是的整数倍 因此 2n k 12 12 2222 nnn kn k k aaa 所以有 123 1231 2222 nnn nn aaaaa 12 2 1 2 1 2 1 2 1 n kn