2012高考数学 考前冲刺第一部分专题八 探索性问题

用心 爱心 专心1 专题八专题八 探索性问题探索性问题 近年来 随着社会主义经济建设的迅速发展 要求学校由 应试教育 向 素质教育 转化 培养全面发展的开拓型 创造型人才 在这种要求下 数学教学中开放型问题随之 产生 于是 探索性问题成了近几年来高考命题中的热点问题 它既是高等学校选拔高素 质人材的需要 也是中学数学教学培养学生具有创造能力 开拓能力的任务所要求的 实 际上 学生在学习数学知识时 知识的形成过程也是观察 分析 归纳 类比 猜想 概 括 推证的探索过程 其探索方法是学生应该学习和掌握的 是今后数学教育的重要方向 一般地 对于虽给出了明确条件 但没有明确的结论 或者结论不稳定 需要探索者 通过观察 分析 归纳出结论或判断结论的问题 探索结论 或者虽给出了问题的明 确结论 但条件不足或未知 需要解题者寻找充分条件并加以证明的问题 探索条件 称为探索性问题 此外 有些探索性问题也可以改变条件 探讨结论相应发生的变化 或者改变结论 探讨条件相应发生的变化 或者给出一些实际中的数据 通过分析 探讨解决问题 探索性问题一般有以下几种类型 猜想归纳型 存在型问题 分类讨论型 猜想归纳型问题是指在问题没有给出结论时 需要从特殊情况入手 进行猜想后证明 其猜想的一般性结论 它的思路是 从所给的条件出发 通过观察 试验 不完全归 纳 猜想 探讨出结论 然后再利用完全归纳理论和要求对结论进行证明 其主要体 现是解答数列中等与 n 有关数学问题 存在型问题是指结论不确定的问题 即在数学命题中 结论常以 是否存在 的形式 出现 其结果可能存在 需要找出来 可能不存在 则需要说明理由 解答这一类问 题时 我们可以先假设结论不存在 若推论无矛盾 则结论确定存在 若推证出矛盾 则结论不存在 代数 三角 几何中 都可以出现此种探讨 是否存在 类型的问题 分类讨论型问题是指条件或者结论不确定时 把所有的情况进行分类讨论后 找出满 足条件的条件或结论 此种题型常见于含有参数的问题 或者情况多种的问题 用心 爱心 专心2 探索性问题 是从高层次上考查学生创造性思维能力的新题型 正确运用数学思想方 法是解决这类问题的桥梁和向导 通常需要综合运用归纳与猜想 函数与方程 数形 结合 分类讨论 等价转化与非等价转化等数学思想方法才能得到解决 我们在学习 中要重视对这一问题的训练 以提高我们的思维能力和开拓能力 例 1 已知方程 kx y 4 其中 k 为实数 对于不同范围的 k 值 分别指出方程 22 所代表图形的类型 并画出曲线简图 分析 由圆 椭圆 双曲线等方程的具体形式 结合方程 kx y 4 的特点 对 22 参数 k 分 k 1 k 1 0 k 1 k 0 k1 k 1 0 k 1 k 0 k1 时 表示椭圆 其中心在原点 焦点在 y 轴上 a 2 b 2 k 当 k 1 时 表示圆 圆心在原点 r 2 当 0 k 1 时 表示椭圆 其中心在原点 焦点在 x 轴上 a b 2 2 k 当 k 0 时 表示两条平行直线 y 2 当 k 0 时 表示双曲线 中心在原点 焦点在 y 轴上 所有五种情况的简图依次如下所示 注 分类讨论型问题 把所有情况分类讨论后 找出满足条件的条件或结论 例 2 给定双曲线 x 1 过点 A 2 0 的直线 L 与所给双曲线交于 P 2 y 2 2 及 P 求线段 P P 的中点 P 的轨迹方程 过点 B 1 1 能否作直线 m 使 m 与所给 1212 双曲线交于两点 Q Q 且点 B 是线段 Q Q 的中点 这样的直线 m 如果存在 求出它 1212 的方程 如果不存在 说明理由 用心 爱心 专心3 分析 两问都可以设直线 L 的点斜式方程 与双曲线方程联立成方程组 其解就是 直线与双曲线的交点坐标 再用韦达定理求解中点坐标等 x x 2 2 k 2 12 22 2 2 2 kk k 代入消 y 后的方程计算得到 0 解得 a 2 4k 4 k 1 2 k 1k 1 所以 n k 1 时 结论也成立 综上所述 上述结论对所有的自然数 n 都成立 设 c b 1 1 2 nn 1 2 a a n n 1 a a n n 1 1 2 42 42 n n 42 42 n n 1 1 1 2 21 21 n n 21 21 n n 1 21n 1 21n 用心 爱心 专心5 b b b n c c c 1 12n12n 1 3 1 3 1 5 1 21n 1 1 21n 1 21n b b b n 1 1lim n 12n lim n 1 21n 注 本题求数列的通项公式 属于猜想归纳型问题 其一般思路是 从最简单 最 特殊的情况出发 推测出结论 再进行严格证明 第 问对极限的求解 使用了 裂项相 消法 设立新的数列 c 具有一定的技巧性 n 此外 本题第 问数列通项公式的求解 属于给出数列中 S 与 a 的函数关系式 求 nn a 对此类问题我们还可以直接求解 解答思路是由 a S S 的关系转化为数列 nn 1n 1n 通项之间的递推关系 再发现数列的特征或者通过构造新的数列求解 具体的解答过程是 由题意有 整理得到 S a 2 所以 S a 2 an 2 2 2Sn n 1 8 n 2 n 1 1 8 n 1 2 a S S a 2 a 2 n 1n 1n 1 8 n 1 2 n 2 整理得到 a a a a 4 0 n 1nn 1n 由题意 a 0 可以得到 a a 4 0 即 a a 4 nn 1nn 1n 数列 a 为等差数列 其中 a 2 公差 d 4 即通项公式为 a 4n 2 n1n 例 4 已知 x 0 x 1 且 x n N 比较 x 与 x的大小 11n 1 xx x nn n 2 2 3 31 nn 1 分析 比较 x 与 x的大小 采用 作差法 判别差式的符号式 分情况讨论 nn 1 解 x x x n 1n xx x nn n 2 2 3 31 n 21 31 2 2 xx x nn n 由 x 0 及数列 x 的定义可知 x 0 所以 x x 与 1 x的符号相同 1nnn 1nn 2 假定 x 0 假设 n k 时 1 x 0 那么当