高三数学高考一轮复习专题：集合

用心 爱心 专心 集集 合合 一 课标要求 一 课标要求 1 集合的含义与表示 1 通过实例 了解集合的含义 体会元素与集合的 属于 关系 2 能选择自然语言 图形语言 集合语言 列举法或描述法 描述不同的具体问题 感 受集合语言的意义和作用 2 集合间的基本关系 1 理解集合之间包含与相等的含义 能识别给定集合的子集 2 在具体情境中 了解全集与空集的含义 3 集合的基本运算 1 理解两个集合的并集与交集的含义 会求两个简单集合的并集与交集 2 理解在给定集合中一个子集的补集的含义 会求给定子集的补集 3 能使用 Venn 图表达集合的关系及运算 体会直观图示对理解抽象概念的作用 二 命题走向二 命题走向 有关集合的高考试题 考查重点是集合与集合之间的关系 近年试题加强了对集合的计 算化简的考查 并向无限集发展 考查抽象思维能力 在解决这些问题时 要注意利用几何 的直观性 注意运用 Venn 图解题方法的训练 注意利用特殊值法解题 加强集合表示方法 的转换和化简的训练 考试形式多以一道选择题为主 分值 5 分 三 要点精讲三 要点精讲 1 集合 某些指定的对象集在一起成为集合 1 集合中的对象称元素 若a是集合A的元素 记作Aa 若b不是集合A的元素 记作Ab 2 集合中的元素必须满足 确定性 互异性与无序性 确定性 设A是一个给定的集合 x是某一个具体对象 则或者是A的元素 或者不是A的元素 两种情况必有一种且只有一种成立 互异性 一个给定集合中的元素 指属于这个集合的互不相同的个体 对象 因此 同一集合中不应重复出现同一元素 无序性 集合中不同的元素之间没有地位差异 集合不同于元素的排列顺序无 关 3 表示一个集合可用列举法 描述法或图示法 列举法 把集合中的元素一一列举出来 写在大括号内 描述法 把集合中的元素的公共属性描述出来 写在大括号 内 具体方法 在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值 或变化 范围 再 画一条竖线 在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征 注意 列举法与描述法各有优点 应该根据具体问题确定采用哪种表示法 要注意 一 般集合中元素较多或有无限个元素时 不宜采用列举法 4 常用数集及其记法 非负整数集 或自然数集 记作 N 正整数集 记作 N 或 N 用心 爱心 专心 整数集 记作Z 有理数集 记作 Q 实数集 记作 R 2 集合的包含关系 1 集合A的任何一个元素都是集合B的元素 则称A是B的子集 或B包含A 记 作A B 或BA 集合相等 构成两个集合的元素完全一样 若A B且B A 则称A等于B 记作 A B 若A B且A B 则称A是B的真子集 记作A B 2 简单性质 1 A A 2 A 3 若A B B C 则A C 4 若集合A是 n 个元素的集合 则集合A有 2n个子集 其中 2n 1 个真子集 3 全集与补集 1 包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集 记作 U 2 若 S 是一个集合 A S 则 S C AxSxx 且称 S 中子集A的补集 3 简单性质 1 S C S C A 2 S CS S C S 4 交集与并集 1 一般地 由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合 叫做集合A与B的交 集 交集 BxAxxBA 且 2 一般地 由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合 称为集合A与B 的并集 BxAxxBA 或并集 注意 求集合的并 交 补是集合间的基本运算 运算结果仍然还是集合 区分交集与并集 的关键是 且 与 或 在处理有关交集与并集的问题时 常常从这两个字眼出发去揭示 挖掘题设条件 结合 Venn 图或数轴进而用集合语言表达 增强数形结合的思想方法 5 集合的简单性质 1 ABBAAAAA 2 ABBAAA 3 BABA 4 BBABAABABA 5 S C A B S CA S CB S C A B S CA S CB 四 典例解析四 典例解析 题型 1 集合的概念 例 1 设集合 4 1 2 1 ZkkxxA 若 2 9 x 则下列关系正确的是 A Ax B Ax C Ax D Ax 用心 爱心 专心 解 由于 4 12 4 1 2 1 k k中12 k只能取到所有的奇数 而 4 18 2 9 中 18 为偶数 则 AA 2 9 2 9 选项为D 点评 该题考察了元素与集合 集合与集合之间的关系 首先应该分清楚元素与集合之 间是属于与不属于的关系 而集合之间是包含与不包含的关系 例 2 设集合P m 1 m 0 Q m R R mx2 4mx 4 0 对任意实数x恒成立 则下 列关系中成立的是 A P QB Q PC P QD P Q Q 解 Q m R R mx2 4mx 4 0 对任意实数x恒成立 对m分类 m 0 时 4 0 恒成立 m 0 时 需 4m 2 4 m 4 0 解得m 0 综合 知m 0 Q m R R m 0 答案为A 点评 该题考察了集合间的关系 同时考察了分类讨论的思想 集合Q中含有参数 m 需要对参数进行分类讨论 不能忽略 m 0 的情况 题型 2 集合的性质 例 3 2000 广东 1 已知集合A 1 2 3 4 那么A的真子集的个数是 A 15 B 16 C 3 D 4 解 根据子集的计算应有 24 1 15 个 选项为A 点评 该题考察集合子集个数公式 注意求真子集时千万不要忘记空集 是任何非空集 合的真子集 同时 A不是A的真子集 变式题 同时满足条件 5 4 3 2 1 M 若MaMa 则6 这样的集合 M 有多少个 举出这些集合来 答案 这样的集合 M 有 8 个 例 4 已知全集 32 1 3 2 Sxxx A 1 21x 如果 0 ACS 则这样的实数 x是否存在 若存在 求出x 若不存在 说明理由 解 0 ACS AS 00且 即 32 2xxx 0 解得 123 0 1 2xxx 当0 x时 112 x 为A中元素 当1 x时 Sx 312 当2x 时 213xS 这样的实数x存在 是1x 或2x 另法 0 ACS 用心 爱心 专心 AS 00且 3A 32 2xxx 0 且213x 1x 或2x 点评 该题考察了集合间的关系以及集合的性质 分类讨论的过程中 当0 x时 112 x 不能满足集合中元素的互异性 此题的关键是理解符号 0 ACS是两层含义 AS 00且 变式题 已知集合 2 2 Am md mdBm mq mq 0m 其中 AB 且 求q的值 解 由BA 可知 1 2 2mqdm mqdm 或 2 mqdm mqdm 2 2 解 1 得1 q 解 2 得 2 1 1 qq或 又因为当1 q时 2 mqmqm 与题意不符 所以 2 1 q 题型 3 集合的运算 例 5 06 全国 理 2 已知集合M x x 3 N x log2x 1 则M N A B x 0 x 3 C x 1 x 3 D x 2 x 3 解 由对数函数的性质 且 2 1 显然由1log2 x易得 2 B 从而 3 2 BA 故选项为D 点评 该题考察了不等式和集合交运算 例 6 06 安徽理 1 设集合 22 Ax xxR 2 12By yxx 则 R CAB 等于 A R B 0 x xR x C 0 D 解 0 2 A 4 0 B 所以 0 RR CABC 故选B 点评 该题考察了集合的交 补运算 题型 4 图解法解集合问题 例 7 2003 上海春 5 已知集合A x x 2 x R R B x x a 且A B 则实数 a的取值范围是 图 用心 爱心 专心 解 A x 2 x 2 B x x a 又A B 利用数轴上覆盖关系 如图所示 因 此有a 2 点评 本题利用数轴解决了集合的概念和集合的关系问题 例 8 1996 全国理 1 已知全集I N N 集合A x x 2n n N N B x x 4n n N N 则 A I A BB I I CA B C I A I CB D I I CA I CB 解 方法一 I CA中元素是非 2 的倍数的自然数 I CB中元素是非 4 的倍数的自然数 显然 只有 选项正确 方法二 因A 2 4 6 8 B 4 8 12 16 所以 I CB 1 2 3 5 6 7 9 所以I A I CB 故答案 为 方法三 因B A 所以 I C A I C B I C A I CB I CA 故I A I CA A I CB 方法四 根据题意 我们画出 Venn 图来解 易知B A 如图 可以清楚看到I A I CB 是成立的 点评 本题考查对集合概念和关系的理解和掌握 注意数形结合的思想方法 用无限集 考查 提高了对逻辑思维能力的要求 题型 5 集合的应用 例 9 向 50 名学生调查对A B两事件的态度 有如下结果 赞成A的人数是全体的五分 之三 其余的不赞成 赞成B的比赞成A的多 3 人 其余的不赞成 另外 对A B都不赞 成的学生数比对A B都赞成的学生数的三分之一多 1 人 问对A B都赞成的学生和都不赞 成的学生各有多少人 解 赞成A的人数为 50 5 3 30 赞成B的人数为 30 3 33 如上图 记 50 名学生组成的集合为U 赞成事 件A的学生全体为集合A 赞成事件B的学生全体为集合 B 设 对事件A B都赞成的学生人数为x 则对A B都不赞成的学生人数为 3 x 1 赞成A而不赞成 B的人数为 30 x 赞成B而不赞成A的人数为 33 x 依题意 30 x 33 x x 3 x 1 50 解得x 21 所以对A B都赞成的同学有 21 人 都不赞成的有 8 人 点评 在集合问题中 有一些常用的方法如数轴法取交并集 韦恩图法等 需要考生切 实掌握 本题主要强化学生的这种能力 解答本题的闪光点是考生能由题目中的条件 想到 用韦恩图直观地表示出来 本题难点在于所给的数量关系比较错综复杂 一时理不清头绪 图 X 3 1 33 X X 30 X U B A 用心 爱心 专心 不好找线索 画出韦恩图 形象地表示出各数量关系间的联系 例 10 求 1 到 200 这 200 个数中既不是 2 的倍数 又不是 3 的倍数 也不是 5 的倍数 的自然数共有多少个 解 如图先画出 Venn 图 不难看出不符合条件 的数共有 200 2 200 3 200 5 200 10 200 6 200 15 200 30 146 所以 符合条件的数共有 200 146 54 个 点评 分析 200 个数分为两类 即满足题设条件的和不满足题设条件的两大类 而不满 足条件的这一类标准明确而简单 可考虑用扣除法 题型 7 集合综合题 例 11 1999 上海 17 设集合A x x a 2 B x 2 12 x x 1 若A B 求实数 a的取值范围 解 由 x a 2 得a 2 x a 2 所以A x a 2 x a 2 由 2 12 x x 1 得 2 3 x x 0 即 2 x 3 所以B x 2 x0 n Sn 0 这时集 合A中的元素作为点的坐标 其横 纵坐标均为正 另外 由于a1 1 0 如果A B 那么据 2 的结论 A B中至多有一个元素 x0 y0 而 x0 5 2 2 4 1 2 1 a a 0 y0 4 3 2 01 xa 0 这样的 x0 y0 A 产生矛盾 故a1 1 d 1 时 A B 所以a1 0 时 一定有A B 是不正确的 点评 该题融合了集合 数列 直线方程的知识 属于知识交汇题 变式题 解答下述问题 设集合 0 0422 2 xxBmxxxA BA若 求实数 m 的取值范围 分析 关键是准确理解 BA 的具体意义 首先要从数学意义上解释 BA 的意义 然后才能提出解决问题的具体方法 解 042 2 3 202 0 32 4 0422 0422 21 21 2 2 mxx mxx m mxxxmM mxx 则 两根均为非负实数的方程关于设 至少有一个负实数根方程命题 2 3 0 2 3 2 mmmUmmM设全集 m 的取值范围是 UM m m 2 2 132132 0321 mmm mx方程的小根命题解法二 解法三 设 42 2 xxxf这是开口向上的抛物线 01 x其对称轴 则二次 函数性质知命题又等价于 20 0 mf 注意 在解法三中 f x 的对称轴的位置起了关键作用 否则解答没有这么简单 已知两个正整数集合A a1 a2 a3 a4 用心 爱心 专心 4321 2 4 2 3 2 2 2 1 aaaaaaaaB 其中 ABAaaaaBA求集合的所有元素之和是且且若 124 10 4141 B 分析 命题中的集合是列举法给出的 只需要根据 交 并 的意义及元素的基本性质解决 注意 正整数 这个条件的运用 81 25 9 1 9 5 3 1 5 3 2 512494 81 9 3 1 3 1 9 10 1 1 3234 2 3 3 2 33 2 3324 2 2 4 2 4441 1 2 1141 2 4 2 3 2 2 2 14321 BA aaaaa aaa aaBAaaa aaaaa aaaaaBA aaaaaaaa 综上 不合与条件矛盾同样可得则若 则若 而 只可能有 05224 1 22 yxxyxBxyyxA设集合 试证明你的结论 使问是否存在自然数 CBAbkbkxyyxC 分析 正确理解 题并转化为具体的数学问 CBA 要使 CBCACBCACBA且必须 由 01 12 1 222 2 bxkbxk bkxy xy 当k 0 时 方程有解1 2 bx 不合题意 当 k k bbkkbk 4 14 0 1 4 12 0 2 222 1 得时由 又由 025 1 24 05224 2 2 bxkx bkxy yxx 由 8 1 20 0 25 16 1 4 2 2 2 k bbk得 由 得 8 20 1 4 1 b k kb而 b为自然数 b 2 代入 得k 1 点评 这是一组关于集合的 交 并 的常规问题 解决这些问题的关键是准确理解问 题条件的具体的数学内容 才能由此寻求解决的方法 题型 6 课标创新题 用心 爱心 专心 例 13 七名学生排成一排 甲不站在最左端和最右端的两个位置之一 乙 丙都不能站 在正中间的位置 则有多少不同的排法 解 设集合A 甲站在最左端的位置 B 甲站在最右端的位置 C 乙站在正中间的位置 D 丙站在正中间的位置 则集合A B C D的关系如图所示 不同的排法有264044 5 5 6 6 7 7 AAA种 点评 这是一道排列应用问题 如果直接分类 分步解答需要一定的基本功 容易错 若考虑运用集合思想解答 则比较容易理解 上面的例子说明了集合思想的一些应用 在今 后的学习中应注意总结集合应用的经验 例 14 A是由定义在 4 2 上且满足如下条件的函数 x 组成的集合 对任意 2 1 x 都有 2 1 2 x 存在常数 10 LL 使得对任意的 2 1 21 xx 都有 2 2 2121 xxLxx 1 设 4 2 1 3 xxx 证明 Ax 2 设Ax 如果存在 2 1 0 x 使得 2 00 xx 那么这样的 0 x是唯一的 3 设Ax 任取 2 1 l x 令 2 1 2 1 nxx nn 证明 给定正整数 k 对任 意的正整数 p 成立不等式 1 12 1 xx L L xx k klk 解 对任意 2 1 x 2 1 21 2 3 xxx 3 3 2 x 3 5 2531 33 所 以 2 1 2 x 对任意的 2 1 21 xx 2 3 2 3 21 3 2 1 2121 112121 2 2 2 xxxx xxxx 3 3 2 3 21 3 2 1 112121xxxx 3所以 0 2 3 2 3 21 3 2 1 112121 2 xxxx 3 2 令 2 3 2 3 21 3 2 1 112121 2 xxxx L 用心 爱心 专心 10 L 2 2 2121 xxLxx 所以Ax 反证法 设存在两个 0000 2 1 xxxx 使得 2 00 xx 2 00 xx 则由 2 2 00 00 xxLxx 得 00 00 xxLxx 所以1 L 矛盾 故结论成立 121223 2 2 xxLxxxx 所以 12 1 1 xxLxx n nn 1 12 1 1211 xx L L xxxxxxxx k kkpkpkpkpkkpk kkpkpkpkpk xxxxxx 1211 12 3 12 2 xxLxxL pkpk 12 1 xxLk 12 1 1 xx L LK 点评 函数的概念是在集合理论上发展起来的 而此题又将函数的性质融合在集合的关 系当中 题目比较新颖 五 思维总结五 思维总结 集合知识可以使我们更