线代第三章习题解答

3 3 1 第三章第三章 行列式行列式 习题习题 3 1 3 1 6 用定义计算行列式 1 2 1 0 00 00 00 00 22 22 11 11 4 idcba dc ba dc ba D iiii 解 解 设则中第 1 行的非 0 元为 故 44 4 ij aD 4 D 113111 baaa 1 1 3j 同法可求 234 2 4 1 3 2 4jjj 可组成四个 4 元排列 1 2 3 4 1 4 3 2 3 2 1 4 3 4 1 2 4321 jjjj 故中相应的非 0 项有 4 项 分别为 4 D 2211 dbca 2211 cbda 2211 dacb 2211 cadb 其代数和即为的值 整理后得 4 D 122112214 dcdcbabaD 2 010 0 002 0 000 0 00 0 n D n 解 解 由行列式的定义 1 2 12 1 2 12 1 n n n j jj njjnj j jj Daaa 仅当分别取 2 3 n 1 n 1 时 对应项不为零 其余各项都为零 12 n jjj 1 2 121 231 1212231 1 1 1 1 1 1 2 1 n nn j jjn njjnjnn nn Daaaa aaa nn 习题习题 3 2 3 3 2 3 2 2 证明 1 0 sincos2cos sincos2cos sincos2cos 22 22 22 证证明明 2222222 2222222 13 2222222 cossincossincoscossin cossincossincoscossin cossincossincoscossin cc 左0 2 3 22 111 22babbaa baba 证证明明 23 222 2 12 2 11 001 cc aababbb a abb abab ccababbab abab 左 右 3 ba 3 12 121 1221 1000 0100 0001 nnn nn nnn x x xa xa xaxa x aaaaax 证证明明 按最后一行展开 得 12 1 10000000 10001000 1 1 0 001000010 0010001 nn nn x x aax xx 左 321 22 00001000 00000100 1 1 000100000 000100001 nn n xx xx aa x x 3 3 3 2 1 1000 0100 1 0001 0000 n x x xa x x 22222212 1221 1 1 1 1 1 nnnnnnn nnn aaxaxa xxa x 221 1221 nnn nnn aaxaxa xa xx 右 3 2 3 计算下列行列式 1 111111 00 1 1 00 xaa axaaxaxa xnaxna aaxaaxxa 1 1 anxax n 2 1 11 1 2 1 11 1 111 1 1 1 1 1 1 1111 n nn n nn n n n nn n nn n aaan aaan aaan D aaan aaan aaan 最后一行 n 1 行依次与第 n n 1 2 1 行交换 经过 n 次交换 再将新的行列式的最 后一行 即原来的 n 行 依次换到第二行 经过 n 1 次交换 最后一共经过 次换行 使原行列式化为范德蒙德行列式 1 1 2 1 2 n n nn njinjinji nnnn ijjiiaja 000 2 1 2 1 1 1 3 3 3 4 11 11 11 2111 11 11 21 0 0 00 nn nn nn nn nn n n ab ab ab ab Dcacd cd cd cd d 按展开 11 21 112 1 2 1 11 11 21 00 0 1 0 n nn n nnnnnnn nn n b ab caba d Dc b D cd cd 1 2 nnnnn Dbcda 11112 dcdaD ni iiiin bcdaD 1 2 4 解 解 按第一列展开行列式 得 n D 1 11 0 0000000 0 0000000 1 000 00000 00 000000 n n nnn xyxyy xyxxy Dxy xyxyy yxxxy 1111 1 1 nnnnnn x xyyxy 5 当时 1n 111 Dab 当时 2n 3 3 5 11121121121211 2 21222221222212 11 211212 22 11 11 ababaabbababba D ababaabbababba aa bbaabb aa 当时3n 1112111211121 2122222221222 12212 nnn nnn n nnnnnnnnnnn abababaababbabab abababaababbabab D abababaababbabab 1212111 1 2222222 11 22 11 11 00 2 3 11 nn ii nn nnnnnnn abbababaa cbc abbababaa bb in abbababaa 习题习题 3 3 3 3 1 利用伴随矩阵求下列矩阵逆阵 1 cossin sincos A 1 11122122 10cos sin sin cosAAAAAA 解存在 1 cossincossincossin sincossincossincos A 121 2342 541 B 121100 21 3423212 146 5415146 解 det B 其逆矩阵存在 111213212223313233 1 413322614012 420210 1361 13 231 2 321421671 AAAAAAAAA BB 3 3 6 3 其中 ab cd 0adbc 解 逆矩阵存在 又 0 ab adbc cd 11122122 Ad Ac Ab Aa 故 1 1 abdb cdcaadbc 3 3 2 设矩阵 求 25 13 A 46 21 B AB 1 A 1 B 解 存在 187 16 103 AB 0A 1 A 由 所以 1 35 12 A 1 35 1 12 A 又 存在 且 故0B 1 B 1 16 1 2416 B 1 1 166 16 1 1 81 416 B 3 3 3 设为可逆矩阵 证明A 11 AA 证明 可逆 且逆矩阵为 A 0A 1 A A AA I 1 AA A 由于 可逆且 可得0A 1 A 11 1 AAAI 1 1 AA A 另一方面 由 1 1 1 A AA AAI A 由矩阵可逆定义知 可逆 且 A 11 AA 3 3 4 设 证明 0 k A 121 k IAIAAA 证证明明 若 则ABI 1 BA 3 3 7 212121 kkkk IA IAAAIAAAAAAA 原式得证 k IAI 3 3 5 设方阵满足 证明及都可逆 并求A 2 20AAI A2AI 11 2 AAI 解 解 22 1 202 2 2 AAIAAIA AIIAAII 显然可逆且 可逆 A 1 1 2 AAI A 0A 且 22 202AAIAAI 2 2 20AAAI 即可逆 由 于是2AI 2211 2 2 AIAAAI 由得 2 20AAI 2 3 40 2 3 4AIAIIAIAII 故 1 2 3 4 AIAII 1 1 2 3 4 AIIA 3 3 6 用克拉姆法则解方程组 1 123 12 123 21 21 3 xxx xx xxx 解 211300 10 21021033 11 111111 D 1 111400 1101104 311311 D 2 211 34 2101 21 131 D 3 211420020 20 21121101136 11 113113313 D 312 123 411 2 33 DDD xxx DDD 3 3 8 3 3 7 问取何值时 有非零解 123 123 123 1 240 2 3 0 1 0 xxx xxx xxx 解 解 32 124120 23122372 111113 Dcc 1212 3 72 2312 3 1 3 4 72 1 2 2 3 74 72 3 2 当时 即时 有非 0 解0D 3 200 即 或时 有非 0 解0 3 2 习题习题 3 4 3 4 1 求矩阵的秩与标准形矩阵 12 1313 32 21 22 2 2 9 6 11 23 238213141314 12122122122120644 131423820966 1032 13141000 22 0322010100 33 00000000 0000 rr rrrr rr rr ir 2 秩为 2 3212 2142 31 2 41 4 1 2 5 421121121 1210105021 1870108003 21413010150020 rrrr rrrr rr r rr 3 3 9 32 1 2 100 100100 1 01021010 2 001001 001 000000 000 cc 为标准形 秩为 2 3 4321 3132 41 2 32 2 110121101211012 201100211402114 310040403200016 220120403600004 rrrr rrrr rr 2 43 353 4 21 41 32 1 2 1 1 4 2 1 2 1101211120 011 21 22011 221 2 0001600160 0000100010 10000 01000 00100 00010 r cc rcc r cc cc cc 为标准型 易知 秩为 4 3 4 2 答 在秩为 的矩阵中 有等于零的阶子式 没有等于零的 阶子r1r r 式 没有不等于零的阶子式 1r 3 4 3 证明 任何秩为 的矩阵均可表示为 个秩为 1 的矩阵之和 rr 证证 设 A 为 m n 矩阵 且 R A 故 A 必与矩阵 B 等价 r 3 3 10 行第rB 0000 00000 00100 00010 00001 即m 阶可逆矩阵 P 和 n 阶可逆矩阵 Q 使得 A PBQ 又 1122 0000 1000000000 000010 0010 000000 0000 rr Br EEE 第行 其中是 m n 矩阵 仅第 i 行第 i 列的元素为1 其余元素全都为 3 2 1 riEii 0 1122 rr APBQP EEEQ 112212rrr PE QPE QPE QBBB 且初等变换不改变矩阵的秩 1 2 iii BPE Q irPQ 其中 又均可逆 证毕 1 1 2 iiiii R BR PE QR Eir 有 3 4 4 证明 等价矩阵有相同的标准型矩阵 证证 设为等价矩阵 则经过有限次初等行变换可换为 A BAB 从而分别经过有限次初等行变换可换为相同的行最简型 再经过有限次 A B 初等列变换可化为标准型 故等价矩阵有相同的标准型矩阵 3 3 11 3 4 5 的秩最小 取何值时问设AA 510 101 4113 1001 解 法一解 法一 初等变换法 100110011001 311401110111 101000000 0150150015 10011001 01110111 00150015 00150005 053054r Ar A 则当或时 当且时 03 当或时 秩最小 法二 定法二 定义义法法 第五章第五章 101 1 2 4314403 015 1000 111 3111 005 100 15 015 0503 053 Ar A A Ar A 在中取 行的一个三阶子式 又 当或时 即 或时 秩为最小 n n 维向量空间维向量空间 习题习题 5 15 1 5 1 1 5 1 1 解解 a b a b 1 1 0 T 0 1 1 T 1 0 1 T 3a 2b c 3a 2b c 3 3 0 T 0 2 2 T 3 4 0 T 0 1 2 T 5 1 2 5 1 2 解解 3 a1 a 2 a2 a 5 a3 a 3a1 2a2 3 2 a 5a3 5a 3 3 12 3a1 2a2 a 5a3 5a 3a1 2a2 a a 5 a3 5a3 5a a 5 a3 3a1 2a2 5 a3 6a 3a1 2a2 5 a3 6a a1 a2 a3 a 6 1 6 1 2 1 3 1 6 5 将 a1 2 5 1 3 T a2 10 1 5 10 T a3 4 1 1 1 T代入 a a1 a2 a3 中 2 1 3 1 6 5 可得 a 1 2 3 4 T 5 1 5 1 3 1 3 1 V1是向量空间 由 0 0 0 V1知 V1非空 设 a x1 x2 xn V1 b y1 y2 yn V1 则有 x1 x2 xn 0 y1 y2 yn 0 因为 x1 y1 x2 y2 xn yn x1 x2 xn y1 y2 yn 0 所以 a b x1 y1 x2 y2 xn yn V1 对于 kR 有 kx1 kx2 kxn k x1 x2 xn 0 所以 ka kx1 kx2 kxn V1 因此 V1是向量空间 2 2 V2不是向量空间 因为取 a 1 x2 xn V2 b 1 y2 yn V2 但 a b 2 x2 y2 xn yn V2 因此 V2不是向量空间 习习 题题 5 25 2 5 2 1 5 2 1 求向量 b 关于向量组 a1 a2 a3 a4的线性组合表达式 1 1 解 解 1234 aaaab 1111010001 1110201001 1100000102 1000100012 初等行变换 因此向量 b 关于向量组的线性组合表达式为 1234 a a a a 1234 22baaaa 2 2 解 解 3 3 13 1234 aaaab 1112310002 1212101004 1100200109 1310100012 初等行变换 因此向量 b 关于向量组的线性组合表达式为 1234 a a a a 1234 2492baaaa 5 2 25 2 2 1 1 解解 因为向量组中向量的个数大于每个向量的维数 由推论 2 知线性相关 1234 a a a a 2 2 解解 400 510 111 220 510 111 331 621 111 321 aaa 因为 所以线性无关 3 321 aaaR 123 a a a 3 3 解解 000 210 111 420 1260 111 713 1442 111 321 aaa 因为 所以线性相关 32 321 aaaR 123 a a a 4 4 解解 500 410 111 320 410 111 211 301 111 321 aaa 因为 所以 线性无关 3 321 aaaR 123 a a a 5 2 3 5 2 3 证明证明 假设有常数 k1 k2 k 使 k1b1 k2b2 k3b3 0 又由于 112123123 babaabaaa 于是可得 1 12123123 0k ak aak aaa 3 3 14 即 k1 k2 k3 a1 k2 k3 a2 k3a3 0 因为线性无关 所以有 123 a a a 解得 0 0 0 3 32 321 k kk kkk 0 0 0 3 2 1 k k k 因此向量组 b1 b2 b3线性无关 5 2 4 5 2 4 设存在常数 k1 k2 k3 k4使 k1b1 k2b2 k3b3 k4b4 0 因为 b1 a1 a2 b2 a2 a3 b3 a3 a4 b4 a4 a1 于是可得 k1 a1 a2 k2 a2 a3 k3 a3 a4 k4 a4 a1 0 整理得 k1 k4 a1 k2 k1 a2 k2 k3 a3 k3 k4 a4 0 下用两种方法解 法法 一一 因为 a1 a2 a3 a4为同维向量 则 1 1 当向量组 a1 a2 a3 a4线性无关时 k1 k4 0 k2 k1 0 k2 k3 0 k3 k4 0 方程组 方程组的系数行列式所以方程组有非零解 0 0 0 0 43 32 21 41 kk kk kk kk 0 1100 0110 0011 1001 因此 b1 b2 b3 b4 线性相关 2 2 当向量组 a1 a2 a3 a4线性相关时 k1 k4 k2 k1 k2 k3 k3 k4 至少存 在 一个不为 0 不防设 k1 k4 0 那么 k1 k4至少有一个不为零 因此 k1 k2 k3 k4不全为 0 于是可得 b1 b2 b3 b4线性相关 5 2 5 5 2 5 证明 法一 证明 法一 设 m aaaA 21 m bbbB 21 则有 BRAR 因为向量组 线性无关 则 所以有 m aa 1 mAR mBR 3 3 15 而 B 是 n 行 m 列矩阵 所以mBR 综上知 所以向量组线性无关 mBR m bb 1 法二 法二 假如 向量组 b1 b2 bm线性相关 即存在不全为 0 的常 k1 k2 km 使 k1b1 k2b2 kmbm 0 由题意不妨设 a1 a11 a12 a1r a2 a21 a22 a2r am am1 am2 amr 则相应地 b1 a11 a12 a1r a1r 1 a1n b2 a21 a22 a2r a2r 1 a2n bm am1 am2 amr amr 1 amn 由 k1b1 k2b2 kmbm 0 可得 k1a11 k2a21 kmam1 0 k1a12 k2a22 kmam2 0 k1a1r k2a2r kmamr 0 k1a1r 1 k2a2r 1 kmamr 1 0 k1a1n k2a2n kmamn 0 去前面 r 个分量可得 k1 a11 a12 a1r k2 a21 a22 a2r km am1 am2 amr 0 即 k1a1 k2a2 kmam 0 由假设知 k1 k2 km不全为 0 因此 a1 a2 am线性相关 此与 a1 a2 am线性无关相矛盾 结论得证 习习 题题 5 35 3 5 3 15 3 1 1 1 解解 对矩阵进行初等行变换为 3 3 16 48203225 134539475 132539475 43173125 5310 5310 3210 43173125 0000 2100 3210 43173125 该矩阵的秩为 3 矩阵的第 1 2 3 列是它的列向量组的一个极大无关组 2 2 解解 对矩阵进行初等行变换为 0111 1000 1110 2001 2110 1000 1110 2001 1200 1000 1110 2001 该矩阵的秩为 4 因此矩阵的第 1 2 3 4 列是它的列向量组的一个极大无关组 5 3 25 3 2 1 1 解 解 以 a1 a2 a3为列作矩阵 A A 7 4 3 1 6 5 1 4 3 1 2 1 10 5 5 1 18 9 9 4 0 0 0 1 0 0 5 1 0 0 9 4 0 0 0 1 该矩阵的秩为 2 它的一个极大无关组为 a1 a2 2 2 解解 以 a1 a2 a3为列作矩阵 A 300 021 001 该矩阵为下三角矩阵 其 因此该矩阵的秩为 3 它的一个极大无关组为向量0 A 组本身 3 3 解解 以 a1 a2 a3 a4 a5为列作矩阵 A 3 3 17 00000 22200 15120 12211 22200 00000 15120 12211 22200 15120 15120 12211 14011 31302 15120 12211 A 矩阵 A 的秩为 3 矩阵 A 的第 1 2 3 列构成它的一个极大无关组 5 3 35 3 3 证明 证明 法一 法一 设 且 s aaaA 21 t bbbB 21 rBRAR ts bbbaaaC 2121 向量组 C 能被 A 表示 而 A 也能被 C 表示 所以 BRrARCR 取向量组 B 的极大无关组为 它也是向量组 C 的极大无关组 r iii bbb 21 所以向量组 C 能由向量组线性表示 所以向量组 C 能由向量组 B 线性表 r iii bbb 21 示 所以向量组 A 能由向量组 B 线性表示 加上题设条件 所以向量组 A 与向量组 B 等价 法 法 二 二 设向量组 B 和 A 的秩均为 r 且设它们的一个极大无关组分别为 b1 b2 br a1 a2 ar 则由极大无关组的性质可知 一个向量组的所有向量都可由它的一个极 大无关组的向量线性表示 因此要证明向量组 A 与 B 等价 只证明 a1 a2 ar可由 b1 b2 br线性表示即可 因为 B 可由 A 线性表示 不妨设 b1 c11a1 c12a2 c1rar b2 c21a1 c22a2 c2rar br cr1a1 cr2a2 crrar 不妨设存在常数 k1 k2 kr使 3 3 18 k1b1 k2b2 krbr 0 于是可得 k1c11 k2c21 krcr1 a1 k1c12 k2c22 krbr2 a2 k1c1r k2c2r krbrr ar 0 由 a1 a2 ar 线性无关可得 k1c11 k2c21 krcr1 0 k1c12 k2c22 krbr2 0 k1c1r k2c2r krbrr 0 把 k1 k2 kr当作未知数 当 k1 k2 kr只有 0 解时 b1 b2 br线性无关 要 k1 k2 kr只有 0 解 当且仅当0 i 1 r j 1 2 r 即 ij c C rrrr r r ccc ccc ccc 21 22221 11211 即矩阵 C 的秩为 r 存在逆矩阵 C 1 设 C 1 rrrr r r ccc ccc ccc 21 22221 11211 又因为 C 则 C 1 C 1C r b b b 2 1 r a a a 2 1 r b b b 2 1 r a a a 2 1 即 C 1 r a a a 2 1 r b b b 2 1 因此有 a1 b1 b2 br 11 c 12 c r c1 a2 b1 b2 br 21 c 22 c r c2 3 3 19 ar b1 b2 br 1r c 2r c rr c 也即说明 a1 a2 ar可由 b1 b2 br线性表示 因此结论成立 证明 证明 1 1 必要性 若 a 是任一 n 维向量 由于 n 1 个 n 维向量 a1 a2 an a 必线 性相关 而 a1 a2 an线性无关 故 a 必可由 a1 a2 an线性表示 2 充分性 因为任一 n 维向量都能由 a1 a2 an线性表示 则特别地 n 维单位坐标向量 e1 e2 en都能由 a1 a2 an线性表示 因此 a1 a2 an与 e1 e2 en是等价的 向量组 故 a1 a2 an的秩为 n 即它们线性无关 5 3 8 5 3 8 证明证明 因为 R3 L e1 e2 e3 e1 e2 e3表示单位坐标向量 所以只须证明 L e1 e2 e3 L a1 a2 a3 即证 e1 e2 e3与 a1 a2 a3等价 显然 a1 a2 a3可由 e1 e2 e3线性表示 因而只须证明 e1 e2 e3可由 a1 a2 a3线性表示即可 因为 且 321 aaa 321 eee 011 101 110 011 101 110 因此矩阵 为可逆矩阵 其逆矩阵为 011 101 110 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 即 321 eee 321 aaa 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 这说明 e1 e2 e3可由 a1 a2 a3线性表示 因此 L a1 a2 a3 R3 5 3 95 3 9 证明 法证明 法 一 一 3 3 20 1110 1101 1110 1101 1110 0011 1101 0011 2 1 T T a a 1110 1101 1110 2202 1110 3312 2 1 T T b b 因为与有相同的行最简形矩阵 并且矩阵经过有限次初等行变换 T T a a 2 1 T T b b 2 1 得到的新矩阵的行向量组与原来矩阵的行向量组等价 所以向量组与向量 TT aa 21 等价 即向量组 a1 a2与向量组 b1 b2等价 TT bb 21 法 法 二 二 1 1 b1 b2 能由 a1 a2 线性表示 设 b1 b2 a1 a2 42 31 kk kk 即 1 1 1 0 3 3 1 2 1 1 0 1 0 0 1 1 42 31 kk kk 可解得 42 31 kk kk 13 11 这说明 b1 b2 能由 a1 a2 线性表示 2 2 a1 a2 能 b1 b2 由线性表示 由 1 可知 b1 b2 a1 a2 20 13 11 13 11 也即是矩阵 有可逆矩阵 可求得其逆矩阵为 13 11 2 1 2 3 2 1 2 1 因此有 a1 a2 b1 b2 2 1 2 3 2 1 2 1 3 3 21 也即 a1 a2 能 b1 b2 由线性表示 由 1 2 可知 L a1 a2 L b1 b2 5 3 10 5 3 10 解 解 设存在常数 k1 k2 k3 使 k1a1 k2a2 k3a3 0 即 023 0 032 32 321 321 kk kkk kkk 可解得 k1 k2 k3 0 因此 a1 a2 a3线性无关 即 a1 a2 a3为 R3的一个基 设向量 b1 l1a1 l2a2 l3a3 b2 l4a1 l5a2 l6a3 即 l1 l2 l3 l4 l5 l6 分别为 b1 b2在 基 a1 a2 a3下的坐标 也即是 和 723 0 532 32 321 321 ll lll lll 1323 8 932 65 654 654 ll lll lll 可分别解得 和 1 3 2 3 2 1 l l l 2 3 3 6 5 4 l l l 因而 b1 b2在基 a1 a2 a3下的坐标分别为 2 3 1 和 3 3 2 5 3 11 5 3 11 解 解 V 的维数为 n 1 维 取 V 中 n 1 个向量 e2 0 1 0 0 e3 0 0 1 0 en 0 0 0 1 易证 e2 e3 en线性无关 对任意 x 0 x2 x3 xn 有 x x2e2 x3e3 xnen 因此 e2 e3 en为 V 的一个基 习习 题题 5 45 4 5 4 15 4 1 1 解 解 齐次线性方程组的系数矩阵的行变换如下 1121112111211024 2111013 101030103 2212003400340034 于是可得 3 3 22 4 4 4 3 2 1 3 4 3 3 4 x x x x x x 取 x4 1 可得线性方程组的一个基础解系为 1 3 4 3 3 4 因此可得线性方程组的通解为 k kR 2 2 解 解 齐次线性方程组的系数矩阵的行变换如下 5 3 1 1 1 1 10 6 2 5 3 1 0 0 1 4 4 1 0 0 2 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 2 0 0 1 于是可得 0 2 3 241 x xxx 取 可得线性方程组的一个基础解系为 1 0 0 1 4 2 x x 1 2 0 0 1 2 1 0 0 1 因此可得线性方程组的通解为 k1 1 k22 k1 k2 R 3 3 解 解 齐次线性方程组的系数矩阵的行变换如下 7421 6314 7213 5132 19970 341990 141070 7421 5100 16 7 43 00 141070 7421 3 3 23 7 327 000 5100 141070 7421 因此该齐次线性方程组只有 0 解 5 4 2