辽宁省新宾满族自治县高级中学高中数学 §2.3变量的相关性学案 新人教A版必修3

1 辽宁省新宾满族自治县高级中学高中数学辽宁省新宾满族自治县高级中学高中数学 2 3 2 3 变量的相关性学案变量的相关性学案 新人教新人教 A A 版必修版必修 3 3 提出问题提出问题 1 粮食产量与施肥量有关系吗 2 两个变量间的相关关系是什么 有几种 3 两个变量间的相关关系的判断 讨论结果 讨论结果 1 粮食产量与施肥量有关系 一般是在标准范围内 施肥越多 粮食产量越高 但是 施 肥量并不是决定粮食产量的唯一因素 因为粮食产量还要受到土壤质量 降雨量 田间管 理水平等因素的影响 例如 商品销售收入与广告支出经费之间的关系 商品销售收入与广 告支出经费有着密切的联系 但商品销售收入不仅与广告支出多少有关 还与商品质量 居 民收入等因素有关 2 相关关系相关关系的概念 自变量取值一定时 因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间 的关系 叫做相关关系 两个变量之间的关系分两类 确定性的函数关系 例如我们以前学习过的一次函数 二次函数等 带有随机性的变量间的相关关系 例如 身高者 体重也重 我们就说身高与体 重这两个变量具有相关关系 相关关系是一种非确定性关系非确定性关系 3 两个变量间的相关关系的判断 散点图散点图 散点图的概念 将各数据在平面直角坐 标系中的对应点画出来 得到表示两个变量的一组数据的图形 这样的图形叫做散点图 根据散点图中变量的对应点的离散程度 可以准确地判断两个变量是否具有相关关系 a 如果所有的样本点都落在某一函数曲线上 就用该函数来描述变量之间的关系 即变量之 间具有函数关系 b 如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近 变量之间就有相关关系 c 如果所有的样本点都落在某一直线附近 变量之间就有线性相关关系 正相关 负相关 正相关与负相关的概念 如果散点图中的点散布在从左下角到右上角 的区域内 称为正相关 如果散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域内 称为负相关 注 散点图的点如果几乎没有什么规则 则这两个变量之间不具有相关关系 应用示例应用示例 例 1 下列关系中 带有随机性相关关系的是 正方形的边长与面积之间的关系 水稻产量与施肥量之间的关系 人的身高与体重之间的关系 降雪量与交通事故的发生率之间的关系 知能训练知能训练 以下是某地搜集到的新房屋的销售价格 y 和房屋的面积 x 的数据 房屋面积 m2 11511080135105 销售价格 万元 24 821 618 429 222 1 画出数据对应的散点图 2 指出是正相关还是负相关 3 关于销售价格 y 和房屋的面积 x 你能得出什么结论 2 解 解 1 数据对应的散点图如下图所示 2 3 22 3 2 两个变量的线性相关 提出问题提出问题 1 什么是线性相关 2 什么叫做回归直线 3 如何求回归直线的方程 什么是最小二乘法 它有什么样的思想 讨论结果讨论结果 1 如果所有的样本点都落在某一直线附近 变量之间就有线性相关的关系 2 如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近 我们就称这两个变量之间具 有线性相关关系 这条直线叫做回归直线回归直线 如果能够求出这条回归直线的方程回归直线的方程 简称回归方程 3 实际上 求回归方程的关键是如何用数学的方法来刻画 从整体上看 各点与此直线的 距离最小 人们经过长期的实践与研究 已经得出了计算回归方程的斜率与截距的一般公 式 1 2 1 2 1 1 2 1 xbya xnx yxnyx xx yyxx b n i i n i ii n i i n i ii 其中 b 是回归系数回归系数 a 是截距 推导公式 的计算比较复杂 这里不作推导 但是 我们可以解释一下得出它的原理 假设我 3 们已经得到两个具有线性相关关系的变量的一组数据 x1 y1 x2 y2 xn yn 且所求 回归方程是 bx a 其中 a b 是待定参数 当变量 x 取 xi i 1 2 n 时可以得到 y bxi a i 1 2 n 它与实际收集到的 yi之间的偏差是 yi yi bxi a i 1 2 n y y 这样 用这 n 个偏差的和来刻画 各点与此直线的整体偏差 是比较合适的 由于 yi 可正可负 为了避免相互抵消 可以考虑用来代替 但由于它含有绝对 y n i ii yy 1 值 运算不太方便 所以改用 Q y1 bx1 a 2 y2 bx2 a 2 yn bxn a 2 2 1 n i ii yy 来刻画 n 个点与回归直线在整体上的偏差 这样 问题就归结为 当 a b 取什么值时 Q 最小 即总体偏差最小 经过数学上求最小值的 运算 a b 的值由公式 给出 通过求 式的最小值而得出回归直线的方法 即求回归直线 使得样本数据的点到它的距离的平方和最小 这一方法叫做最小二乘法最小二乘法 method of least square 应用示例应用示例 例 1 给出施化肥量对水稻产量影响的试验数据 施化肥量 x 15202530354045 水稻产量 y 330345365405445450455 1 画出上表的散点图 2 求出回归直线的方程 解 解 1 散点图如下图 2 表中的数据进行具体计算 列成以下表格 序号 1234567 xi15202530354045 yi330345365405445450455 xiyi4 9506 9009 12512 15015 57518 00020 475 4 87175 1132725 7000 3 399 30 7 1 7 1 2 7 1 2 i ii i i i i yxyxyx 故可得到 b 4 75 2 3077000 3 39930787175 a 399 3 4 75 30 257 从而得回归直线方程是 4 75x 257 y 例 2 一个车间为了规定工时定额 需要确定加工零件所花费的时间 为此进行了 10 次试 验 测得数据如下 零件个数 x 个 102030405060708090100 加工时间 y 分 626875818995102108115122 请判断 y 与 x 是否具有线性相关关系 如果 y 与 x 具有线性相关关系 求线性回归方 程 解 解 在直角坐标系中画出数据的散点图 如下图 直观判断散点在一条直线附近 故具有线性相关关系 由测得的数据表可知 38 500 87 777 55 950 10 1 2 7 91 55 i i xyx 10 1 2 i i y 10 1i iiy x b 0 668 2 2 10 1 2 10 1 551038500 7 91551055950 10 10 xx yxyx i i i ii a 91 7 0 668 55 54 96 xby 因此 所求线性回归方程为 bx a 0 668x 54 96 y 点评 点评 对一组数据进行线性回归分析时 应先画出其散点图 看其是否呈直线形 再依系数 a b 的计算公式 算出 a b 求线性回归方程的步骤 计算平均数 计算 xi与 yi的积 求yx xiyi 计算 xi2 将结果代入公式求 b 用 a 求 a 写出回归直线方程 xby 知能训练知能训练 5 1 下列两个变量之间的关系哪个不是函数关系 A 角度和它的余弦值 B 正方形边长和面积 C 正 边形的边数和它的内角和 D 人的年龄和身高 2 三点 3 10 7 20 11 24 的线性回归方程是 A 5 75 1 75x B 1 75 5 75x y y C 1 75 5 75x D 5 75 1 75x y y 3 已知关于某设备的使用年限 x 与所支出的维修费用 y 万元 有如下统计资料 使用年限 x 23456 维修费用 y2 23 85 56 57 0 设 y 对 x 呈线性相关关系 试求 1 线性回归方程 bx a 的回归系数 a b y 2 估计使用年限为 10 年时 维修费用是多少 课堂小结课堂小结 1 求线性回归方程的步骤 1 计算平均数 yx 2 计算 xi与 yi的积