高中数学竞赛 第一讲 巧用几何性质简化计算

用心 爱心 专心1 第一讲 巧用几何性质简化计算第一讲 巧用几何性质简化计算 解析几何是用代数方法研究几何图形的 它把解决几何问题化归为数 式的演算 在这化归的过 程中 需要数形结合 并且可以直接应用一切平面几何的知识 例 1 1 过 A 4 1 且与已知圆 x2 y2 2x 6y 5 0 切于点 B 1 2 的圆方程为 2 已知 A 4 2 过 A 作圆 x2 y2 10 的两切线 则切点间的劣弧的长为 3 设直线l的方程为3x y 23 则圆心在坐标原点 截直线L所得弦长等于圆半径的圆方 程为 例 2 1 已知圆 x 4 2 y 2 2 4 与直线 y mx 的交点为 P Q 则 OP OQ 之值是 2 圆 x 1 2 y 2 2 8 上到直线 x y 1 0 的距离为2的点共有 个 3 过圆 x 2 2 y2 2 外的一点 A 作圆的两切线 当两切线互相垂直时 点 A 的轨迹方程是 例 3 1 平面上有一半径为 r 的定圆 A 为的定圆内一定点 动点 P 到 A 点的距离等于从它到 圆的切线段的长 求点 P 的轨迹方程 2 已知点 P 1 2 为圆 x2 y2 9 内一点 过点 P 作两条互相垂直的任意弦交圆于 B C 求 BC 中点的轨迹方程 3 长为 a 的线段的两个端点 A B 分别在 120 角的两边 OM ON 上滑动 若 PA MO PB ON 求动点 P 的轨迹方程 例 4 设 A1 A2是一个圆的一条直径的两个端点 P1P2是与 A1A2垂直的弦 求直线 P1 A1与 P2A2 交点 P 的轨迹方程 用心 爱心 专心2 例 5 以定点 A 2 0 和圆 x2 y2 1 上的动点 B 为两个顶点 作正三角形 ABC 使 A B C 成顺 时针方向排列 求顶点 C 的轨迹方程 例 6 平行四边形 ABCD 的三个顶点 A B C 坐标分别为 5 12 0 0 3 4 直线L 与直线 BA BC 分别交于 E F BEF 是以 EF 为底边的等腰三角形 如果直线L平分平行 四边形面积 求直线L方程 例 7 一圆经过椭圆 x2 100 y2 64 1 的右焦点 F2 且与圆 x2 y2 8 相切于 P 2 2 求此圆 方程 例 8 证明双曲线的切线与两渐近线的两交点的连线段被切点平分 引申 已知一直线 L 与双曲线和两渐近线依次相交于 A B C D 四点 若 BC AD 求 ADE 与 ABC 的面积之比 例 9 过圆 O x2 y2 4 与 y 轴正半轴的交点 A 作这圆的切线 L M 为 L 上的任意一点 过 M 作圆 O 的另一条切线 切点为 Q 求当 M 点在直线 L 上移动时 MAQ 的垂心 P 的轨迹方程 例 10 过椭圆 x2 a2 y2 b2 1 之左顶点 A1作任意弦 A1E 并延长到 F 使 EF A1E A2为椭圆的 另一顶点 连接 OF 交 AE 于 P 求动点 P 的轨迹方程 E A1 A2 F P x y O 用心 爱心 专心3 巧用几何性质简化计算 训练题 姓名 1 已知定点 A 5 0 和圆 x2 y2 9 则过点 A 且与圆相切的两直线的夹角是 2 直线 x y 2 0 截圆 x2 y2 6 所得劣弧所对应的圆心角为 3 过直线 y x 上一点 P 向圆 C x2 y2 6x 7 0 引切线 则切线长的最小值为 4 圆 x 1 2 y 2 2 16 上到直线 x y 1 0 的距离为 2 点共有 个 5 长为 a 的线段的两个端点 A B 分别在 x 轴 y 轴上滑动 若 PA x 轴 PB y 轴 求动点 P 的轨迹方程 6 已知定圆的半径为 R 一动点 P 向圆引两条切线 这两条切线的夹角 为定值 求动点 P 的 轨迹方程 7 已知两圆 C1 C2的方程分别为 x2 y2 9 和 x 4 2 y 6 2 1 1 若两圆外公切线 相交于点 P 求 P 点坐标 2 求两圆外公切线方程 8 已知 A 5 4 B 1 8 P 是 x2 y2 9 上一动点 求 S PA2 PB2的最大值和最小值 9 F1 F2是椭圆 x2 4 y2 3 1 的两个焦点 A 为椭圆上任意一点 过任意一焦点向 A 的外角平 分线作垂线 垂足为 D 求垂足为 D 轨迹方程 10 知圆 M x2