湖南省长沙市2013年中考数学真题试题（解析版2）

1 湖南省长沙市湖南省长沙市 20132013 年中考数学试卷年中考数学试卷 一 选择题 在下列各题的四个选项中 只有一项是符合题意的 请在答题卡中填涂符合 题意的选项 本题共 10 个小题 每小题 3 分 共 30 分 1 3 分 2013 长沙 下列实数是无理数的是 A 1B 0C D 考点 无理数 分析 无理数就是无限不循环小数 理解无理数的概念 一定要同时理解有理数的概念 有理数是整数与分数的统称 即有限小数和无限循环小数是有理数 而无限不循环 小数是无理数 由此即可判定选择项 解答 解 A 是整数 是有理数 选项错误 B 是整数 是有理数 选项错误 C 是分数 是有理数 选项错误 D 是无理数 故选 D 点评 此题主要考查了无理数的定义 其中初中范围内学习的无理数有 2 等 开方 开不尽的数 以及像 0 1010010001 等有这样规律的数 2 3 分 2013 长沙 小星同学在 百度 搜索引擎中输入 中国梦 我的梦 能搜索 到与之相关的结果的条数约为 61700000 这个数用科学记数法表示为 A 617 105B 6 17 106C 6 17 107D 0 617 108 考点 科学记数法 表示较大的数 分析 科学记数法的表示形式为 a 10n的形式 其中 1 a 10 n 为整数 确定 n 的值 时 要看把原数变成 a 时 小数点移动了多少位 n 的绝对值与小数点移动的位数相 同 当原数绝对值 1 时 n 是正数 当原数的绝对值 1 时 n 是负数 解答 解 将 61700000 用科学记数法表示为 6 17 107 故选 C 点评 此题考查科学记数法的表示方法 科学记数法的表示形式为 a 10n的形式 其中 1 a 10 n 为整数 表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 3 3 分 2013 长沙 如果一个三角形的两边长分别为 2 和 4 则第三边长可能是 A 2B 4C 6D 8 考点 三角形三边关系 分析 已知三角形的两边长分别为 2 和 4 根据在三角形中任意两边之和 第三边 任意两 2 边之差 第三边 即可求第三边长的范围 解答 解 设第三边长为 x 则由三角形三边关系定理得 4 2 x 4 2 即 2 x 6 因此 本题的第三边应满足 2 x 6 把各项代入不等式符合的即为答案 2 6 8 都不符合不等式 2 x 6 只有 4 符合不等式 故选 B 点评 本题考查了三角形三边关系 此题实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式 然后解不等式即可 4 3 分 2013 长沙 已知 O1的半径为 1cm O2的半径为 3cm 两圆的圆心距 O1O2 为 4cm 则两圆的位置关系是 A 外离 B 外切 C 相交 D 内切 考点 圆与圆的位置关系 分析 本题直接告诉了两圆的半径及圆心距 根据数量关系与两圆位置关系的对应情况便 可直接得出答案 解答 解 O1和 O2的半径分别为 1cm 和 3cm 圆心距 O1O2 4cm O1O2 1 3 4 两圆外切 故选 B 点评 本题主要考查圆与圆的位置关系 外离 则 P R r 外切 则 P R r 相交 则 R r P R r 内切 则 P R r 内含 则 P R r P 表示圆心距 R r 分别表示两圆的半径 5 3 分 2013 长沙 下列计算正确的是 A a6 a3 a3B a2 3 a8 C a b 2 a2 b2 D a2 a2 a4 考点 同底数幂的除法 合并同类项 幂的乘方与积的乘方 完全平方公式 分析 根据同底数幂的除法 底数不变指数相减 合并同类项 系数相加字母和字母的指 数不变 同底数幂的乘法 底数不变指数相加 幂的乘方 底数不变指数相乘 对 各选项计算后利用排除法求解 解答 解 A 正确 B a2 3 a6 选项错误 C a b 2 a2 2ab b2 选项错误 D a2 a2 2a2 选项错误 故选 A 点评 本题考查同底数幂的除法 合并同类项 同底数幂的乘法 幂的乘方很容易混淆 一定要记准法则才能做题 6 3 分 2013 长沙 某校篮球队 12 名同学的身高如下表 身高 180 186 188 192 195 3 cm 人数 1 2 5 3 1 则该校篮球队 12 名同学身高的众数是 单位 cm A 192B 188C 186D 180 考点 众数 分析 一组数据中出现次数最多的数据叫做众数 结合表格信息即可得出答案 解答 解 身高 188 的人数最多 故该校篮球队 12 名同学身高的众数是 188cm 故选 B 点评 本题考查了众数的知识 掌握众数的定义是解题的关键 7 3 分 2013 长沙 下列各图中 1 大于 2 的是 A B C D 考点 等腰三角形的性质 对顶角 邻补角 平行公理及推论 平行线的性质 分析 根据等边对等角 对顶角相等 平行线的性质 三角形的一个外角大于任何一个与 它不相邻的内角对各选项分析判断后利用排除法求解 解答 解 A AB AC 1 2 故本选项错误 B 1 2 对顶角相等 故本选项错误 C 根据对顶角相等 1 3 a b 2 3 1 2 故本选项错误 D 根据三角形的外角性质 1 2 故本选项正确 故选 D 点评 本题考查了等边对等角 对顶角相等 平行线的性质 三角形的一个外角大于任何 一个与它不相邻的内角的性质 熟记各性质是解题的关键 8 3 分 2013 长沙 下列多边形中 内角和与外角和相等的是 4 A 四边形 B 五边形 C 六边形 D 八边形 考点 多边形内角与外角 分析 设多边形的边数是 n 根据多边形的内角和定理即可求解 解答 解 设多边形的边数是 n 则 n 2 180 360 解得 n 4 故选 A 点评 本题考查了多边形的内角和定理的计算公式 理解公式是关键 9 3 分 2013 长沙 在下列某品牌 T 恤的四个洗涤说明图案的设计中 没有运用旋转 或轴对称知识的是 A B C D 考点 利用旋转设计图案 利用轴对称设计图案 分析 根据轴对称及旋转对称的定义 结合各选项进行判断即可 解答 解 A 即运用了轴对称也利用了旋转对称 故本选项错误 B 利用了轴对称 故本选项错误 C 没有运用旋转 也没有运用轴对称 故本选项错误 D 即运用了轴对称也利用了旋转对称 故本选项错误 故选 C 点评 本题考查了轴对称及旋转对称的知识 解答本题的关键是掌握轴对称及旋转对称的 定义 10 3 分 2013 长沙 二次函数 y ax2 bx c 的图象中如图所示 则下列关系式错误的 是 A a 0 B c 0 C b2 4ac 0 D a b c 0 考点 二次函数图象与系数的关系 5 分析 根据抛物线的开口向上得出 a 0 根据抛物线与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴上得出 c 0 根据抛物线与 x 轴有两个交点得出 b2 4ac 0 把 x 1 代入抛物线的解析式 得出 y a b c 0 根据以上内容判断即可 解答 解 A 抛物线的开口向上 a 0 正确 故本选项错误 B 抛物线与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴上 c 0 正确 故本选项错误 C 抛物线与 x 轴有两个交点 b2 4ac 0 正确 故本选项错误 D 把 x 1 代入抛物线的解析式得 y a b c 0 错误 故本选项正确 故选 D 点评 本题考查了二次函数的图象与系数的关系的应用 主要考查学生的理解能力和运用 能力 二 填空题 本题共 8 小题 每小题 3 分 共 24 分 11 3 分 2013 长沙 计算 考点 二次根式的加减法 分析 运用二次根式的加减法运算的顺序 先将二次根式化成最简二次根式 再合并同类 二次根式即可 解答 解 原式 2 点评 合并同类二次根式实际是把同类二次根式的系数相加 而根指数与被开方数都不 变 12 3 分 2013 长沙 分解因式 x2 2x 1 x 1 2 考点 因式分解 运用公式法 分析 本题中没有公因式 总共三项 其中有两项能化为两个数的平方和 第三项正好为 这两个数的积的 2 倍 直接运用完全平方和公式进行因式分解 解答 解 x2 2x 1 x 1 2 点评 本题考查了公式法分解因式 熟记完全平方公式的结构是解题的关键 1 三项式 2 其中两项能化为两个数 整式 平方和的形式 3 另一项为这两个数 整式 的积的 2 倍 或积的 2 倍的相反数 13 3 分 2013 长沙 已知 A 67 则 A 的余角等于 23 度 考点 余角和补角 分析 根据互余两角之和为 90 即可求解 6 解答 解 A 67 A 的余角 90 67 23 故答案为 23 点评 本题考查了余角的知识 属于基础题 掌握互余两角之和为 90 是解题关键 14 3 分 2013 长沙 方程的解为 x 1 考点 解分式方程 专题 计算题 分析 最简公分母为 x 1 x 方程两边都乘最简公分母 可以把分式方程转化为整式方 程求解 结果要检验 解答 解 方程两边都乘 x 1 x 得 2x x 1 解得 x 1 检验 当 x 1 时 x 1 x 0 原方程的解是 x 1 点评 1 解分式方程的基本思想是 转化思想 方程两边都乘最简公分母把分式方程 转化为整式方程求解 2 解分式方程需代入最简公分母验根 15 3 分 2013 长沙 如图 BD 是 ABC 的平分线 P 为 BD 上的一点 PE BA 于点 E PE 4cm 则点 P 到边 BC 的距离为 4 cm 考点 角平分线的性质 分析 BD 是 ABC 的平分线 再根据角平分线的性质即可得到点 P 到 BC 的距离 解答 解 BD 是 ABC 的平分线 PE AB 于点 E PE 4cm 点 P 到 BC 的距离 PE 4cm 故答案为 4 点评 本题考查了角平分线的性质 由已知能够注意到 P 到 BC 的距离即为 PE 长是解决的 关键 16 3 分 2013 长沙 如图 在 ABC 中 点 D 点 E 分别是边 AB AC 的中点 则 ADE 和 ABC 的周长之比等于 1 2 7 考点 相似三角形的判定与性质 三角形中位线定理 分析 D E 分别是 AB AC 边的中点 则 DE 是 ABC 的中位线 根据三角形的中位线平行 于第三边 且等于第三边的一半 因而中位线分三角形得到的小三角形与原三角形 一定相似 且相似是 1 2 然后根据相似三角形的周长比等于相似比即可求解 解答 解 点 D 点 E 分别是边 AB AC 的中点 DE 是 ABC 的中位线 DE BC 且 DE BC 1 2 ADE ABC ADE 与 ABC 的周长比为 1 2 故答案为 1 2 点评 本题主要考查了三角形的中位线定理以及相似三角形的判定与性质 难度中等 17 3 分 2013 长沙 在一个不透明的盒子中装有 n 个小球 它们只有颜色上的区别 其中有 2 个红球 每次摸球前先将盒中的球摇匀 随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中 通过大量重复试验后发现 摸到红球的频率稳定于 0 2 那么可以推算出 n 大约是 10 考点 利用频率估计概率 分析 在同样条件下 大量反复试验时 随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近 可以 从比例关系入手 列出方程求解 解答 解 由题意可得 0 2 解得 n 10 故估计 n 大约有 10 个 故答案为 10 点评 此题主要考查了利用频率估计概率 本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事 件的概率 关键是根据红球的频率得到相应的等量关系 18 3 分 2013 长沙 如图 在梯形 ABCD 中 AD BC B 50 C 80 AE CD 交 BC 于点 E 若 AD 2 BC 5 则边 CD 的长是 3 8 考点 梯形 等腰三角形的判定与性质 平行四边形的判定与性质 分析 先判定四边形 AECD 是平行四边形 根据平行四边形对边相等可得 AD EC 再求出 BE 的长度 然后根据两直线平行 同位角相等求出 AEB C 再根据三角形的内角和 定理求出 BAE 50 从而得到 B BAE 再根据等角对等边得到 AE BE 从而得 解 解答 解 AD BC AE CD 四边形 AECD 是平行四边形 AD EC 2 CD AE AD 2 BC 5 BE BC EC 5 2 3 AE CD C 80 AEB C 80 在 ABE 中 BAE 180 B AEB 180 50 80 50 B BAE AE BE 3 CD 3 故答案为 3 点评 本题考查了梯形的性质 等腰三角形的性质 平行四边形的判定与性质 以及三角 形的内角和定理 根据度数确定出相等的角 从而得到相等的边是解答本题的关 键 三 解答题本题共 2 小题 每小题 6 分 共 12 分 19 6 分 2013 长沙 计算 考点 实数的运算 零指数幂 分析 分别进行绝对值 平方及零指数幂的运算 然后合并即可得出答案 解答 解 原式 3 4 1 6 点评 本题考查了实数的运算 属于基础题 掌握各部分的运算法则 是关键 20 6 分 2013 长沙 解不等式组并将其解集在数轴上表示出 来 考点 解一元一次不等式组 在数轴上表示不等式的解集 9 分析 分别求出各不等式的解集 再求出其公共解集 并在数轴上表示出来即可 解答 解 由 得 x 1 由 得 x 2 故此不等式组的解集为 2 x 1 在数轴上表示为 点评 本题考查的是解一元一次不等式组 熟知 同大取大 同小取小 大小小大中间找 大大小小找不到 的原则是解答此题的关键 四 解答题 本大题共 2 小题 每小题 8 分 共 16 分 21 8 分 2013 长沙 宜居长沙 是我们的共同愿景 空气质量倍受人们的关注 我 市某空气质量检测站点检测了该区域每天的空气质量情况 统计了 2013 年 1 月份至 4 月份 若干天的空气质量情况 并绘制了如下两幅不完整的统计图 请根据图中信息 解答下列 问题 1 统计图共统计了 100 天空气质量情况 2 请将条形统计图补充完整 并计算空气质量为 优 所在扇形圆心角度数 3 从小源所在班级的 40 名同学中 随机选取一名同学去该空气质量监测点参观 则恰 好选到小源的概率是多少 考点 条形统计图 扇形统计图 概率公式 分析 1 根据良的天数是 70 天 占 70 即可求得统计的总天数 2 利用 360 度乘以对应的百分比即可求解 3 利用概率公式即可求解 解答 解 1 70 70 100 天 故答案是 100 2 空气质量为 优 所在扇形圆心角度数是 360 20 72 3 班级的 40 名同学中 随机选取一名同学去该空气质量监测点参观 则恰好选 到小源的概率是 点评 本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用 读懂统计图 从不同的统计图 中得到必要的信息是解决问题的关键 条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据 10 扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小 22 8 分 2013 长沙 如图 ABC 中 以 AB 为直径的 O 交 AC 于点 D DBC BAC 1 求证 BC 是 O 的切线 2 若 O 的半径为 2 BAC 30 求图中阴影部分的面积 考点 切线的判定 扇形面积的计算 分析 1 求出 ADB 的度数 求出 ABD DBC 90 根据切线判定推出即可 2 分别求出等边三角形 DOB 面积和扇形 DOB 面积 即可求出答案 解答 1 证明 AB 为 O 直径 ADB 90 BAC ABD 90 DBC BAC DBC ABD 90 AB BC AB 为直径 BC 是 O 切线 2 解 连接 OD 过 O 作 OM BD 于 M BAC 30 BOD 2 A 60 OB OD OBD 是等边三角形 OB BD OD 2 BM DM 1 由勾股定理得 OM 阴影部分的面积 S S扇形 DOB S DOB 2 11 点评 本题考查了切线的判定 圆周角定理 扇形面积 等边三角形的性质和判定的应用 关键是求出 ABD DBC 90 和分别求出扇形 DOB 和三角形 DOB 的面积 五 解答题 本题共 2 小题 每小题 9 分 共 18 分 23 9 分 2013 长沙 为方便市民出行 减轻城市中心交通压力 长沙市正在修建贯穿 星城南北 东西的地铁 1 2 号线 已知修建地铁 1 号线 24 千米和 2 号线 22 千米共需投资 265 亿元 若 1 号线每千米的平均造价比 2 号线每千米的平均造价多 0 5 亿元 1 求 1 号线 2 号线每千米的平均造价分别是多少亿元 2 除 1 2 号线外 长沙市政府规划到 2018 年还要再建 91 8 千米的地铁线网 据预算 这 91 8 千米地铁线网每千米的平均造价是 1 号线每千米的平均造价的 1 2 倍 则还需投资 多少亿元 考点 二元一次方程组的应用 分析 1 假设 1 号线 2 号线每千米的平均造价分别是 x 亿元 y 亿元 根据 修建地 铁 1 号线 24 千米和 2 号线 22 千米共需投资 265 亿元 若 1 号线每千米的平均造价 比 2 号线的平均造价多 0 5 亿元 分别得出等式求出即可 2 根据 1 中所求得出建 91 8 千米的地铁线网 每千米的造价 进而求出即 可 解答 解 1 设 1 号线 2 号线每千米的平均造价分别是 x 亿元 y 亿元 由题意得出 解得 答 1 号线 2 号线每千米的平均造价分别是 6 亿元和 5 5 亿元 2 由 1 得出 91 8 6 1 2 660 96 亿元 答 还需投资 660 96 亿元 点评 此题主要考查了二元一次方程组的应用 关键是弄清题意 找出合适的等量关系 列出方程组 24 9 分 2013 长沙 如图 在 ABCD 中 M N 分别是 AD BC 的中点 AND 90 连接 CM 交 DN 于点 O 1 求证 ABN CDM 2 过点 C 作 CE MN 于点 E 交 DN 于点 P 若 PE 1 1 2 求 AN 的长 考点 平行四边形的性质 全等三角形的性质 全等三角形的判定与性质 直角三角形斜 12 边上的中线 分析 1 由四边形 ABCD 是平行四边形 可得 AB CD AD BC B CDM 又由 M N 分 别是 AD BC 的中点 即可利用 SAS 证得 ABN CDM 2 易求得 MND CND 2 30 然后由含 30 的直角三角形的性质求解即可求 得答案 解答 1 证明 四边形 ABCD 是平行四边形 AB CD AD BC B CDM M N 分别是 AD BC 的中点 BN DM 在 ABN 和 CDM 中 ABN CDM SAS 2 解 M 是 AD 的中点 AND 90 MN MD AD 1 MND AD BC 1 CND 1 2 MND CND 2 PN PC CE MN CEN 90 2 PNE 30 PE 1 PN 2PE 2 CE PC PE 3 CN 2 MNC 60 CN MN MD CNM 是等边三角形 ABN CDM AN CM 2 点评 此题考查了平行四边形的性质 等边三角形的判定与性质 直角三角形的性质 全 等三角形的判定与性质以及三角函数等性质 此题难度较大 注意掌握数形结合思 想的应用 13 六 解答题 本大题共 2 小题 每小题 10 分 共 20 分 25 10 分 2013 长沙 设 a b 是任意两个不等实数 我们规定 满足不等式 a x b 的实数 x 的所有取值的全体叫做闭区间 表示为 a b 对于一个函数 如果它的自变量 x 与函数值 y 满足 当 m x n 时 有 m y n 我们就称此函数是闭区间 m n 上的 闭 函数 1 反比例函数 y 是闭区间 1 2013 上的 闭函数 吗 请判断并说明理由 2 若一次函数 y kx b k 0 是闭区间 m n 上的 闭函数 求此函数的解析式 3 若二次函数 y x2 x 是闭区间 a b 上的 闭函数 求实数 a b 的值 考点 二次函数综合题 一次函数的性质 反比例函数的性质 分析 1 根据反比例函数 y 的单调区间进行判断 2 根据新定义运算法则列出关于系数 k b 的方程组或 通过 解该方程组即可求得系数 k b 的值 3 y x2 x x 2 2 所以该二次函数的图象开口方向向上 最 小值是 且当 x 2 时 y 随 x 的增大而减小 当 x 2 时 y 随 x 的增大而增 大 根据新定义运算法则列出关于系数 a b 的方程组或 通过解方程组即可求得 a b 的值 解答 解 1 反比例函数 y 是闭区间 1 2013 上的 闭函数 理由如下 反比例函数 y 在第一象限 y 随 x 的增大而减小 当 x 1 时 y 2013 当 x 2013 时 y 1 所以 当 1 x 2013 时 有 1 y 2013 符合闭函数的定义 故 反比例函数 y 是闭区间 1 2013 上的 闭函数 2 分两种情况 k 0 或 k 0 当 k 0 时 一次函数 y kx b k 0 的图象是 y 随 x 的增大而增大 故根据 闭 函数 的定义知 14 解得 此函数的解析式是 y x 当 k 0 时 一次函数 y kx b k 0 的图象是 y 随 x 的增大而减小 故根据 闭 函数 的定义知 解得 此函数的解析式是 y x m n 3 y x2 x x 2 2 该二次函数的图象开口方向向上 最小值是 且当 x 2 时 y 随 x 的增大而 减小 当 x 2 时 y 随 x 的增大而增大 当 b 2 时 此二次函数 y 随 x 的增大而减小 则根据 闭函数 的定义知 解得 不合题意 舍去 或 当 a 2 b 时 此时二次函数 y x2 x 的最小值是 a 根据 闭函数 的定义知 b a2 a b b2 b a 当 b a2 a 时 由于 b 2 2 不合题 意 舍去 b 当 b b2 b 时 解得 b 由于 b 2 所以 b 当 a 0 时 此二次函数 y 随 x 的增大而增大 则根据 闭函数 的定义知 15 解得 0 舍去 综上所述 或 点评 本题综合考查了二次函数图象的对称性和增减性 一次函数图象的性质以及反比例 函数图象的性质 解题的关键是弄清楚 闭函数 的定义 解题时 也要注意 分 类讨论 数学思想的应用 26 10 分 2013 长沙 如图 在平面坐标系中 直线 y x 2 与 x 轴 y 轴分别交于点 A 点 B 动点 P a b 在第一象限内 由点 P 向 x 轴 y 轴所作的垂线 PM PN 垂足为 M N 分别与直线 AB 相交于点 E 点 F 当点 P a b 运动时 矩形 PMON 的面积为定值 2 1 求 OAB 的度数 2 求证 AOF BEO 3 当点 E F 都在线段 AB 上时 由三条线段 AE EF BF 组成一个三角形 记此三角形 的外接圆面积为 S1 OEF 的面积为 S2 试探究 S1 S2是否存在最小值 若存在 请求出 该最小值 若不存在 请说明理由 考点 一次函数综合题 分析 1 当 x 0 或 y 0 时分别可以求出 y 的值和 x 的值就可以求出 OA 与 OB 的值 从而 就可以得出结论 2 根据平行线的性质可以得出 就可以得 出 再由 OAF EBO 45 就可以得出结论 3 先根据 E F 的坐标