2012年高考数学一轮复习 单元能力测试卷10A

第十章第十章 单元能力测试卷单元能力测试卷 A A 版版 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 1 2010 上海春季高考 若空间三条直线a b c满足a b b c 则直线a与c A 一定平行 B 一定相交 C 一定是异面直线 D 平行 相交 是异面直线都有可能 答案 D 2 已知高为 3 的直棱柱ABC A B C 的底面是边长为 1 的正三角形 如图所示 则 三棱锥B ABC的体积为 A B 1 4 1 2 C D 3 6 3 4 答案 D 解析 V Sh 3 1 3 1 3 3 4 3 4 3 如图 矩形ABCD中 AB 3 BC 4 沿对角线BD将 ABD折起 使A点在平面BCD 内的射影O落在BC边上 若二面角C AB D的平面角大小为 则 sin 的值等于 A B 3 4 7 4 C D 3 7 7 4 3 答案 A 解析 BC CD BC是AC在平面BCD上的射影 AC CD CD 平面ABC AD AB AC AB DAC sin CD AD 3 4 4 位于北纬x度的A B两地经度相差 90 且A B两地间的球面距离为R R为地 3 球半径 那么x等于 A 30 B 45 C 60 D 75 答案 B 解析 记球心为点O 依题意得 AOB OA OB R 因此AB R 又A B两地经度 3 相差 90 因此A B两地所在的纬线圈的半径是R x 45 选 B 2 2 5 设a b是两条互不垂直的异面直线 过a b分别作平面 对于下面四种情 况 b b 其中可能的情况有 A 1 种 B 2 种 C 3 种 D 4 种 答案 C 解析 都有可能 不可能 否则有b a 与已知矛盾 6 在三棱锥A BCD中 若AD BC BD AD BCD是锐角三角形 那么必有 A 平面ABD 平面ADC B 平面ABD 平面ABC C 平面ADC 平面BCD D 平面ABC 平面BCD 答案 C 解析 由AD BC BD AD AD 平面BCD 又AD 平面ADC 平面ADC 平面BCD 7 直三棱柱ABC A1B1C1中 ACB 90 AC AA1 a 则点A到平面A1BC的距离是 A a B a 2 C a D a 2 23 答案 C 解析 取A1C的中点O 连接AO AC AA1 AO A1C 又该三棱柱是直三棱柱 平面A1C 平面ABC 又 BC AC BC AO 因此AO 平面A1BC 即AO的长等于A到平面ABC的距离 解得AO a 2 2 8 在 ABC中 AB 15 BCA 120 若 ABC所在平面 外一点P到A B C的距 离都是 14 则P到 的距离是 A 13 B 11 C 9 D 7 答案 B 解析 作PO 于点O 连结OA OB OC PA PB PC OA OB OC O为 ABC的外心 OA 5 AB 2sin BCA 15 2sin120 3 PO 11 为所求 PA2 OA2 9 高为 5 底面边长为 4的正三棱柱形容器 下有底 可放置最大球的半径是 3 A B 2 3 2 C D 3 2 22 答案 B 解析 如上图所示 过球心作平行于底的截面 R 2tan30 2 3 10 如图 在正方体ABCD A1B1C1D1中 O是底面ABCD的中心 M N分别是棱 DD1 D1C1的中点 则直线OM A 是AC和MN的公垂线 B 垂直于AC 但不垂直于MN C 垂直于MN 但不垂直于AC D 与AC MN都不垂直 答案 A 解析 MO在面ABCD上的射影为OD OD AC OM AC 又 MO在面CC1D1D中的射影 与MN垂直 MO MN OM是AC和MN的公垂线 11 棱长为 2 的正四面体的四个顶点都在同一个球面上 若过该球球心的一个截面如图 则图中三角形 正四面体的截面 的面积是 A B 2 2 3 2 C D 23 答案 C 解析 如图 ABE为题中三角形 由已知得AB 2 BE 2 BF BE 3 23 2 3 2 3 3 AF AB2 BF2 4 4 3 8 3 ABE的面积为S BE AF 故选 C 1 2 1 23 8 32 12 已知二面角 l 的平面角为 PA PB A B为垂足 且 PA 4 PB 5 设A B到棱l的距离分别为x y 当 变化时 点 x y 的轨迹是下列图 形中的 答案 D 解析 如图 PO2 PA2 OA2 PB2 OB2 16 x2 25 y2 x2 y2 9 且x 3 y 0 故选 D 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 把答案填在题中横线上 13 在 ABC中 M N分别是AB AC的中点 PM 平面ABC 当BC 18 PM 3时 3 PN和平面ABC所成的角是 答案 30 解析 PM 平面ABC PNM为PN与平面ABC所成的角 tan PNM PNM 30 PM MN 3 3 9 3 3 14 有两个半径都是r的球 其中一个球的球心在另一个球的球面上 则这两个球的交 线长为 答案 r 3 解析 由题意得交线为半径为r的圆周 其长为 r 3 23 15 在正四面体A BCD中 O为底面 BCD的中心 M是线段AO上一点 且使得 BMC 90 则 AM MO 答案 1 解析 如右图所示 设正四面体A BCD的棱长为 2 由 BMC 90 得BM 2 又可得BO 在 Rt BOM中 MO 由勾股定理得AO 所以得 1 2 3 3 6 3 2 6 3 AM MO 16 如图是一几何体的平面展开图 其中ABCD为正方形 E F 分别为PA PD的中点 在此几何体中 给出下面四个结论 直线BE与直线CF异面 直线BF与直线AF异面 直线EF 平面PBC 平面BC 平面PAD 其中正确的有 个 答案 2 解析 将几何图展开拼成几何体 如图 因为E F分别为PA PD的中点 所以EF AD BC 即直线BE与CF共面 错 因为 B 平面PAD E 平面PAD E AF 所以BE与AF是异面直线 正确 因为 EF AD BC EF 平面PBC BC 平面PBC 所以EF 平面PBC 正确 平面PAD与平面 BCE不一定垂直 错 三 解答题 本大题共 6 小题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 10 分 如图所示 已知PA 矩形ABCD所在平面 M N分别是AB PC 的中点 求证 MN 平面PAD 证明 取PD的中点E 连接AE NE 则NE綊DC 1 2 又 AM綊DC NE綊AM 1 2 四边形AENM为 MN AE 又AE 平面PAD MN 平面PAD MN 平面PAD 18 本小题满分 12 分 如右图所示 已知直二面角 PQ A PQ B C CA CB BAP 45 直线CA和平面 所成的角为 30 1 证明 BC PQ 2 求二面角B AC P的大小 解析 1 如右图 在平面 内过点C作CO PQ于点O 连结OB 因为 PQ 所以CO 又因为CA CB 所以OA OB 而 BAO 45 所以 ABO 45 AOB 90 从而BO PQ 又CO PQ 所以PQ 平面OBC 因为BC 平面OBC 故PQ BC 2 由 1 知 BO PQ 又 PQ BO 所以BO 过点O作OH AC于点H 连结BH 由三垂线定理知 BH AC 故 BHO是二面角B AC P的平面角 由 1 知 CO 所以 CAO是CA和平面 所成的角 则 CAO 30 不妨设AC 2 则AO OH AOsin30 3 3 2 在Rt OAB中 ABO BAO 45 所以BO AO 3 于是在 Rt BOH中 tan BHO 2 BO OH 3 3 2 故二面角B AC P的大小为 arctan2 19 本小题满分 12 分 如图所示 在三棱柱ABC A1B1C1中 四边形A1ABB1是菱形 四 边形BCC1B1是矩形 AB BC CB 3 AB 4 A1AB 60 1 求证 平面CA1B 平面A1ABB1 2 求直线A1C与平面BCC1B1所成角的正切值 3 求点C1到平面A1CB的距离 解析 证明 1 四边形BCC1B1是矩形 BC BB1 又 AB BC BC 平面A1ABB1 BC 平面CA1B 平面CA1B 平面A1ABB1 解 2 过A1作A1D B1B于D D即为B1B的中点 连接DC BC 平面A1ABB1 BC A1D A1D 平面BCC1B1 故 A1CD为直线A1C与平面BCC1B1所成的角 在矩形BCC1B1中 DC 13 四边形A1ABB1是菱形 A1AB 60 CB 3 AB 4 A1D 2 3 tan A1CD A1D CD 2 3 13 2 39 13 3 B1C1 BC B1C1 平面A1BC C1到平面A1BC的距离即为B1到平面A1BC的距离 连接AB1 AB1与A1B交于点O 四边形A1ABB1是菱形 B1O A1B 平面CA1B 平面A1ABB1 B1O 平面A1BC B1O即为C1到平面A1BC的距离 又B1O 2 3 C1到平面A1BC的距离为 2 3 20 本小题满分 12 分 09 广东 如图 已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为 2 点E 是正方形BCC1B1的中心 点F G分别是棱C1D AA1的中点 设点E1 G1分别是点E G在平 面DCC1D1内的正投影 1 求以E为顶点 以四边形FGAE在平面DCC1D1内的正投影为底面边界的棱锥的体积 2 证明 直线FG1 平面FEE1 3 求异面直线E1G1与EA所成角的正弦值 解析 1 点A E G F在平面DCC1D1的投影分别为点D E1 G1 F 连结 EF EE1 EG1 ED 则VE DE1FG1 VF EE1G1 VD EE1G1 1 1 1 1 1 3 1 3 2 3 2 点E在平面DCC1D1的正投影为点E1 则EE1 面DCC1D1 FG1 平面DCC1D1 EE1 FG1 在 E1FG1中 FG1 E1F E1G1 2 FD12 G1D122FC12 E1C122 FE12 FG12 E1G12 4 FG1 FE1 FE1 EE1于点E1 FG1 平面FEE1 3 取正方形ADD1A1的中心为M 连结EM AM 则EM綊E1G1 且EM 面 AA1D1D EM AM AM AG2 MG22 AE EM 2 AB2 BC 2 2 AG2 6 sin AEM AM AE 2 6 3 3 异面直线E1G1与EA所成角的正弦值为 3 3 21 本小题满分 12 分 如图所示 M N P分别是正方体ABCD A1B1C1D1的棱 AB BC DD1上的点 1 若 求证 无论点P在DD1上如何移动 总有BP MN BM MA BN NC 2 若D1P PD 1 2 且PB 平面B1MN 求二面角N B1M B的余弦值 3 在棱DD1上是否存在这样的点P 使得平面APC1 平面ACC1 证明你的结论 解析 1 证明 在底面ABCD内 BM MA BN NC BM BN MN AC 又 AC BD MN BD 又BB1 MN MN 平面BB1D1D 而BP 平面BB1D1D MN BP 2 解 在AA1上取点Q 使A1Q QA 1 2 连接PQ BQ BD 则PQ 平面A1ABB1 PB 平面B1MN PB MN PB B1M 根据三垂线定理逆定理 DB MN QB B1M 设BQ B1M H 连接NH NB 平面B1MB NH B1M NHB为二面角N B1M B的平面角 令AB 3 则AQ 2 BQ 13 cos HBM BH BM BA BQ 3 13 在 Rt NBH中 tan NHB BN BH BM BH 13 3 cos NHB 3 22 22 3 解 存在点P 且P在DD1的中点 使得平面APC1 平面ACC1 证明如下 C1C 底面ABCD C1C BD 又AC BD BD 平面ACC1 取AC1中点O 连接PO 易证PO BD 从而PO 平面ACC1 PO 平面APC1 平面APC1 平面ACC1 22 本小题满分 12 分 如右图所示 PA 平面ABCD 四边形ABCD是矩形 PA AD a M N分别是AB PC的中点 1 求平面PCD与平面ABCD所成二面角的大小 2 求证 平面MND 平面PCD 3 当AB的长度变化时 求异面直线PC与AD所成角的取值范围 解析 1 PA 平面ABCD CD AD PD CD 故 PDA是平面PCD与平面ABCD所成二面角的平面角 在 Rt PAD中 PA AD PA AD PDA 45 2 如右