2012年12月--直线与平面所成角、二面角、距离、平行、体积(学生版+教师版)

2012 年年 12 月月 直线与平面所成角 二面角 距离 直线与平面所成角 二面角 距离 平行 体积平行 体积 2012 年年 12 月月 直线与平面所成角 二面角 距离 直线与平面所成角 二面角 距离 平行 体积平行 体积 一 选择题 共一 选择题 共 1 小题 小题 1 如图 在正三棱柱 ABC A1B1C1中 已知 AB 1 D 在棱 BB1上 且 BD 1 则 AD 与平面 AA1C1C 所成角的 正弦值为 A B C D 二 填空题 共二 填空题 共 1 小题 小题 2 在直三棱柱 ABC A1B1C1中 AB AC 2 BAC 90 D 是 BC 边的中点 E 为 AA1的中点 直线 A1C 与底面 ABC 所成的角为 60 求证 A1C 面 AB1D 求二面角 A BE C 的大小 三 解答题 共三 解答题 共 21 小题 小题 3 如图 在直三棱柱 ABC A1B1C1中 BAC 90 AB BB1 1 AC 1 求直线 B1C 与平面 ABB1A1所成角的大小 2 求二面角 A B1C B 的大小 4 如图 在直三棱柱 ABC A1B1C1中 BAC 90 AB BB1 a 直线 B1C 与平面 ABC 成 30 角 1 求证 平面 B1AC 平面 ABB1A1 2 求 C1到平面 B1AC 的距离 3 求三棱锥 A1 AB1C 的体积 5 如图 在直三棱柱 ABC A1B1C1中 BAC 90 AB BB1 直线 B1C 与平面 ABC 成 30 角 I 求证 平面 B1AC 平面 ABB1A1 II 求直线 A1C 与平面 B1AC 所成角的正弦值 6 如图 在三棱柱 ABC A1B1C1中 所有的棱长都为 2 A1AC 60 求证 A1B AC 当三棱柱 ABC A1B1C1的体积最大时 求平面 A1B1C1与平面 ABC 所成的锐角的余弦值 7 如图 在正三棱柱 ABC A1B1C1中 已知 BB1 BC 2 1 求正三棱柱 ABC A1B1C1的体积 2 直线 AB1与平面 AA1C1C 所成角的正弦值 8 如图 在三棱柱 ABC A1B1C1中 底面 ABC 是等边三角形 D 为 AB 中点 I 求证 BC1 平面 A1CD II 若四边形 BCC1B1是矩形 且 CD DA1 求证 三棱柱 ABC A1B1C1是正三棱柱 9 在三棱柱 ABC A1B1C1中 P Q 分别是 AB1与 A1C 的中点 如图 求证 PQ 面 ABC 10 在三棱柱 ABC A1B1C1中 AB BC 2 ABC 120 侧面 A1ACC1 底面 ABC 侧棱 AA1与底面 ABC 成 60 角 D 为 AC 的中点 求证 BD AA1 若 A1DC1 90 求三棱柱 ABC A1B1C1的体积 11 如图 在三棱柱 ABC A1B1C1中 F 是 A1C1的中点 连接 FB1 AB1 FA 求证 BC1 平面 AFB1 12 如图 直三棱柱 ABC A1B1C1中 ACB 90 M N 分别为 A1B B1C1的中点 求证 BC 平面 MNB1 13 在正三棱柱 A1B1C1 ABC 中 AA1 AB a D 是 CC1的中点 F 是 A1B 的中点 求证 AF BD 14 如图 在直三棱柱 ABC A1B1C1中 AB 2 AC AA1 4 ABC 90 1 求三棱柱 ABC A1B1C1的表面积 S 2 求异面直线 A1B 与 AC 所成角的大小 结果用反三角函数表示 15 如图 在三棱柱 ABC A1B1C1中 四边形 A1ABB1为菱形 A1AB 60 四边形 BCC1B1为矩形 若 AB BC 且 AB 4 BC 3 1 求证 平面 A1CB 平面 ACB1 2 求三棱柱 ABC A1B1C1的体积 16 如图 在三棱柱 ABC A1B1C1中 AC BC AB BB1 AC BC BB1 2 D 为 AB 的中点 且 CD DA1 求证 BB1 平面 ABC 求多面体 DBC A1B1C1的体积 17 如图所示 在斜三棱柱 ABC A1B1C1中 A1AC ACB AA1C 侧棱 BB1 与底面所成的角为 AA1 4 BC 4 求斜三棱柱 ABC A1B1C1的体积 V 18 如图 在三棱柱 ABC A1B1C1中 AB a BC CA AA1 a 且 A1O 平面 ABC 点 O 在 AC 上且为 AC 中 点 求此三棱柱的侧面积 19 如图所示 在三棱柱 ABC A1B1C1中 D 点为棱 AB 的中点 求证 AC1 平面 CDB1 20 直三棱柱中 ABC A1B1C1中 B1C1 A1C1 AC1 A1B M N 分别为 A1B1 AB 中点 求证 1 平面 AMC1 平面 NB1C 2 A1B AM 21 如图 在直三棱柱 ABC A1B1C1中 AB AC 点 D E O 分别为 AA1 A1C1 B1C 的中点 1 证明 OE 平面 AA1B1B 2 证明 平面 B1DC 平面 BB1C1C 22 2009 陕西 如图所示 在直三棱柱 ABC A1B1C1中 AB 1 AC AA1 ABC 60 1 证明 AB A1C 2 求二面角 A A1C B 的余弦值 23 如图 正方体 ABCD A1B1C1D1中 侧面对角线 AB1 BC1上分别有两点 E F 且 B1E C1F 求证 EF 平面 ABCD 2012 年年 12 月月 直线与平面所成角 二面角 距离 直线与平面所成角 二面角 距离 平行 体积平行 体积 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 选择题 共一 选择题 共 1 小题 小题 1 如图 在正三棱柱 ABC A1B1C1中 已知 AB 1 D 在棱 BB1上 且 BD 1 则 AD 与平面 AA1C1C 所成角的 正弦值为 A B C D 考点 直线与平面所成的角 专题 计算题 分析 利用正三棱柱的性质找出 AD 在平面 AA1C1C 内的射影 进而得到线面角 解直角三角形求出此角的正弦 值 解答 解 如图 取 C1A1 CA 的中点 E F 连接 B1E 与 BF 则 B1E 平面 CAA1C1 过 D 作 DH B1E 则 DH 平面 CAA1C1 连接 AH 则 DAH 为所求的 DH B1E DA 所以 sin DAH 故选 A 点评 本题考查求直线与平面成的角的方法 二 填空题 共二 填空题 共 1 小题 小题 2 在直三棱柱 ABC A1B1C1中 AB AC 2 BAC 90 D 是 BC 边的中点 E 为 AA1的中点 直线 A1C 与底面 ABC 所成的角为 60 求证 A1C 面 AB1D 求二面角 A BE C 的大小 考点 二面角的平面角及求法 直线与平面平行的判定 专题 计算题 证明题 分析 1 要证 A1C 面 AB1D 可证明过 A1C 的平面与面 AB1D 平行因此取 B1C1的中点 G 连接 A1G CG 根据 直棱柱的性质可得面 A1GC 面 AB1D 而面 A1C 在面 A1GC 内故得证 2 根据直棱柱的性质可得 CA 面 AA1B1B 然后再利用三垂线定理作出二面角的平面角再解三角形即 可 解答 解 1 取 B1C1的中点 G 连接 A1G CG 则 A1G AD CG B1D 面 A1GC 面 AB1D A1C 面 A1GC A1C 面 AB1D 2 在直三棱柱 ABC A1B1C1中 BAC 90 CA AB CA AA1且 AB AA1 A CA 面 AA1B1B 过 A 作 AF BE 垂足为 F 连接 CF 则由三垂线定理知 AFC 即为二面角 A BE C 的平面角 在直三棱柱 ABC A1B1C1中 AB AC 2 直线 A1C 与底面 ABC 所成的角为 60 A1CA 60 在 RT A1AC 中 AC 2 A1A ACtan60 2 AE RT BAE 中 AB 2 AE BE AF AB AE AF tan AFC AFC arctan 即二面角 A BE C 的大小为 arctan 点评 本题主要考查了线面平行的证明及二面角的平面角的做法和求二面角的大小 证明此题的关键是要证明线 面平行要么利用线面平行的判定定理要么利用面面平行得出线面平行要么利用空间向量证明此线与平面的 法向量的数量积为 0 即可而二面角的作出需过其中一个平面内的一点向另一平面做垂线然后利用三垂线定 理作出二面交的平面角但一般情况下垂线不是随意作出的而是题中某些特定线段 三 解答题 共三 解答题 共 21 小题 小题 3 如图 在直三棱柱 ABC A1B1C1中 BAC 90 AB BB1 1 AC 1 求直线 B1C 与平面 ABB1A1所成角的大小 2 求二面角 A B1C B 的大小 考点 直线与平面所成的角 与二面角有关的立体几何综合题 专题 计算题 分析 1 由直三棱柱性质可得 CB1A 为直线 B1C 与平面 ABB1A1所成的角 解直角三角形可求此角的大 小 2 过 A 做 AM BC 垂足为 M 过 M 做 MN B1C 垂足为 N 由三垂线定理可证 ANM 为二面角 A B1C B 的平面角 解直角三角形可求此角的大小 解答 解 1 由直三棱柱性质 B1B 平面 ABC B1B AC 又 BA AC AC 平面 ABB1A1 CB1A 为直线 B1C 与平面 ABB1A1所成的角 由 AB BB1 1 可得 AB1 又 AC tanCB1A 1 直线 B1C 与平面 ABB1A1所成角的大小为 45 7 分 2 过 A 做 AM BC 垂足为 M 过 M 做 MN B1C 垂足为 N 连接 AN 由 AM BC 可得 AM 平面 BCC1B1 由三垂线定理 可知 AN B1C ANM 为二面角 A B1C B 的平面角 又 AM AN 1 二面角 A B1C B 的大小为 arcsin 14 分 点评 本题考查线面角 二面角的求法 4 如图 在直三棱柱 ABC A1B1C1中 BAC 90 AB BB1 a 直线 B1C 与平面 ABC 成 30 角 1 求证 平面 B1AC 平面 ABB1A1 2 求 C1到平面 B1AC 的距离 3 求三棱锥 A1 AB1C 的体积 考点 点 线 面间的距离计算 棱柱 棱锥 棱台的体积 平面与平面垂直的判定 专题 计算题 证明题 分析 1 由直三棱柱性质 B1B 平面 ABC AC 平面 ABC 根据线面垂直的性质可知 B1B AC 又 BA AC B1B BA B 根据线面垂直的判定可知可知 AC 平面 ABB1A1 又 AC 平面 B1AC 根据面面 垂直的判定定理可得结论 2 根据 A1C1 AC A1C1 平面 B1AC AC 平面 B1AC 满足线面平行的判定定理 则 A1C1 平面 B1AC 则 C1到平面 B1AC 的距离就是求 A1到平面 B1AC 的距离 过 A1做 A1M B1A1 垂足为 M 连接 CM 根据面面垂直的性质可知 A1M 平面 B1AC 求出 A1M 即为所求 3 根据直线 B1C 与平面 ABC 成 30 则 B1CB 30 可得 B1C 2a BC 然后根据 从而求出所求 解答 解 1 证明 由直三棱柱性质 B1B 平面 ABC AC 平面 ABC B1B AC 又 BA AC B1B BA B AC 平面 ABB1A1 又 AC 平面 B1AC 平面 B1AC 平面 ABB1A1 2 解 A1C1 AC A1C1 平面 B1AC AC 平面 B1AC A1C1 平面 B1AC C1到平面 B1AC 的距离就是求 A1到平面 B1AC 的距离 过 A1做 A1M B1A1 垂足为 M 连接 CM 平面 B1AC 平面 ABB1A 且平面 B1AC 平面 ABB1A1 B1A A1M 平面 B1AC 从而 A1C a 又 A1M sinA1CM C1到平面 B1AC 的距离为 3 解 直线 B1C 与平面 ABC 成 30 角 B1CB 30 可得 B1C 2a BC 点评 本题主要考查了面面垂直的判定 以及点到平面距离的度量和三棱锥体积的计算 同时考查了转化的数学 思想 属于中档题 5 如图 在直三棱柱 ABC A1B1C1中 BAC 90 AB BB1 直线 B1C 与平面 ABC 成 30 角 I 求证 平面 B1AC 平面 ABB1A1 II 求直线 A1C 与平面 B1AC 所成角的正弦值 考点 平面与平面垂直的判定 直线与平面所成的角 专题 证明题 分析 I 欲证平面 B1AC 平面 ABB1A1 关键是寻找线面垂直 而 AC 平面 ABB1A1 又 AC 平面 B1AC 满足面面垂直的判定定理 II 过 A1做 A1M B1A1 垂足为 M 连接 CM A1CM 为直线 A1C 与平面 B1AC 所成的角 然后在三 角形 A1CM 中求出此角的正弦值即可 解答 解 I 证明 由直三棱柱性质 B1B 平面 ABC B1B AC 又 BA AC B1B BA B AC 平面 ABB1A1 又 AC 平面 B1AC 平面 B1AC 平面 ABB1A1 II 解 过 A1做 A1M B1A1 垂足为 M 连接 CM 平面 B1AC 平面 ABB1A 且平面 B1AC 平面 ABB1A1 B1A A1M 平面 B1AC A1CM 为直线 A1C 与平面 B1AC 所成的角 直线 B1C 与平面 ABC 成 30 角 B1CB 30 设 AB BB1 a 可得 B1C 2a BC 直线 A1C 与平面 B1AC 所成角的正弦值为 点评 本题主要考查了平面与平面垂直的判定 以及直线与平面所成的角 考查空间想象能力 运算能力和推理 论证能力 6 如图 在三棱柱 ABC A1B1C1中 所有的棱长都为 2 A1AC 60 求证 A1B AC 当三棱柱 ABC A1B1C1的体积最大时 求平面 A1B1C1与平面 ABC 所成的锐角的余弦值 考点 用空间向量求平面间的夹角 直线与平面垂直的性质 二面角的平面角及求法 专题 综合题 分析 取 AC 的中点 O 连接 A1O BO 在三棱柱 ABC A1B1C1中 所有棱长都为 2 A1AC 60 则 A1O AC BO AC A1O BO O 由此能够证明 AC A1B 当三棱柱 ABC A1B1C1的体积最大时 点 A1到平面 ABC 的距离最大 此时 A1O 平面 ABC 设平 面 ABC 与平面 A1B1C 的交线为 l 在三棱柱 ABC A1B1C1中 A1B1 AB AB 平面 A1B1C 所以 AB l 由此能够求出平面 A1B1C 与平面 ABC 所成锐角的余弦值 解答 证明 取 AC 的中点 O 连接 A1O BO 在三棱柱 ABC A1B1C1中 所有棱长都为 2 A1AC 60 则 A1O AC BO AC A1O BO O 2 分 所以 AC 平面 A1BO 而 A1B 平面 A1BO AC A1B 4 分 解 当三棱柱 ABC A1B1C1的体积最大时 点 A1到平面 ABC 的距离最大 此时 A1O 平面 ABC 6 分 设平面 ABC 与平面 A1B1C 的交线为 l 在三棱柱 ABC A1B1C1中 A1B1 AB AB 平面 A1B1C AB l 8 分 过点 O 作 OH l 交于点 H 连接 A1H 由 OH l A1O l 知 l 平面 A1OH l A1H 故 A1HO 为平面 A1B1C 与平面 ABC 所成二面角的平面角 10 分 在 Rt OHC 中 OC 1 OCH BAC 60 则 在 Rt A1OH 中 12 分 即平面 A1B1C 与平面 ABC 所成锐角的余弦值为 点评 本题考查异面直线垂直的证明和平面 A1B1C1与平面 ABC 所成的锐角的余弦值 对数学思维的要求比较高 有一定的探索性 综合性强 难度大 易出错 解题时要认真审题 注意合理地进行等价转化 7 如图 在正三棱柱 ABC A1B1C1中 已知 BB1 BC 2 1 求正三棱柱 ABC A1B1C1的体积 2 直线 AB1与平面 AA1C1C 所成角的正弦值 考点 棱柱的结构特征 直线与平面所成的角 专题 计算题 分析 1 由正三棱柱 ABC A1B1C1中 已知 BB1 BC 2 我们易求出棱柱的底面积 代入棱柱体积公式即可求 出正三棱柱 ABC A1B1C1的体积 2 要求直线 AB1与平面 AA1C1C 所成角的正弦值 我们要先找到 B1点在平面 AA1C1C 上的射影 进而 找到直线 AB1在平面 AA1C1C 上的射影 解三角形即可得到直线 AB1与平面 AA1C1C 所成角的正弦值 解答 解 1 3 分 2 令 E 为 A1C1中点 连 B1E 则 B1E 面 ACC1A1 再连 AE 得 B1AE 为 AB1与面 ACC1A 所成角 6 分 在 Rt AB1E 中 故直线 AB1与平面 AA1C1C 所成角的正弦值 8 分 点评 本题考查的知识点是棱柱的结构特征及直线与平面所成的角 其中要求线面夹角 找出直线上除斜足上任 一点在平面上的射影 垂足 进而构造也线面夹角的平面角是解答的关键 8 如图 在三棱柱 ABC A1B1C1中 底面 ABC 是等边三角形 D 为 AB 中点 I 求证 BC1 平面 A1CD II 若四边形 BCC1B1是矩形 且 CD DA1 求证 三棱柱 ABC A1B1C1是正三棱柱 考点 直线与平面平行的判定 棱锥的结构特征 专题 证明题 分析 I 连 AC1 设 AC1与 A1C 相交于点 O 先利用中位线定理证明 DO BC1 再利用线面平行的判定定理 证明结论即可 II 要证明三棱柱 ABC A1B1C1是正三棱柱 只需证明侧棱垂直于底面即可 先利用线面垂直的判定定 理证明 CD 平面 ABB1A1 从而 BB1 CD 再利用同样的定理证明 BB1 平面 ABC 即可 解答 解 连 AC1 设 AC1与 A1C 相交于点 O 连 DO 则 O 为 AC1中点 D 为 AB 的中点 DO BC1 BC1 平面 A1CD DO 平面 A1CD BC1 平面 A1CD 等边 ABC D 为 AB 的中点 CD AB CD DA1 DA1 AB D CD 平面 ABB1A1 BB1 平面 ABB1A1 BB1 CD 矩形 BCC1B1 BB1 BC BC CD C BB1 平面 ABC 底面 ABC 是等边三角形 三棱柱 ABC A1B1C1是正三棱柱 点评 本题主要考查了线面平行的判定定理 线面垂直的判定定理 棱柱的定义及其线面关系 属基础题 9 在三棱柱 ABC A1B1C1中 P Q 分别是 AB1与 A1C 的中点 如图 求证 PQ 面 ABC 考点 直线与平面平行的判定 专题 证明题 分析 欲证 PQ 面 ABC 只需证明 PQ 垂直平面 ABC 上的一条直线 利用中点 得到三角形 A1BC 的中位线 PQ BC 而 BC 为平面 ABC 上的一条直线 问题得证 解答 解 连接 A1B A1B1BA 为平行四边形 P 为 AB1的中点 A1B AB1 P P 为 A1B 的中点 又 Q 为 A1C 的中点 PQ BC 又 PQ 面 ABC BC 面 ABC PQ 面 ABC 点评 本题主要考查了直线与平面平行的判定 关键是在平面中寻找与已知直线平行的直线 10 在三棱柱 ABC A1B1C1中 AB BC 2 ABC 120 侧面 A1ACC1 底面 ABC 侧棱 AA1与底面 ABC 成 60 角 D 为 AC 的中点 求证 BD AA1 若 A1DC1 90 求三棱柱 ABC A1B1C1的体积 考点 棱柱 棱锥 棱台的体积 空间中直线与直线之间的位置关系 专题 计算题 分析 I 根据已知中 AB BC D 为 AC 的中点 我们根据等腰三角形三线合一 得到 BD AC 结合侧面 A1ACC1 底面 ABC 结合面面垂直的性质定理 我们易得到 BD 侧面 A1ACC1 利用线面垂直的定义 即可得到答案 II 若 A1DC1 90 结合 1 的结论 利用余弦定理我们可求出侧棱长 结合侧棱 AA1与底面 ABC 成 60 角 AB BC 2 ABC 120 我们计算出棱柱的底面积和高后 即可得到三棱柱 ABC A1B1C1的体 积 解答 解 I 证明 AB BC D 为 AC 的中点 BD AC 又 侧面 A1ACC1 底面 ABC C 底面 ABC BD 侧面 A1ACC1 又 AA1 侧面 A1ACC1 BD AA1 II AA1D 为 AA1与底面 ABC 所成的角 AA1D 60 设侧棱长为 a 由于 AC 2 则 A1D2 a2 AD2 2a ADcos60 同理则 C1D2 又由 A1DC1 90 则 A1D2 C1D2 A1C12 即 过 A1作 A1O AC 垂足为 O 面 A1ACC1 底面 ABC A1O 面 ABC 易知 A1O A1A sin60 S aBC A1O 点评 本题考查的知识点是棱柱的体积公式 及空间中直线与直线之间的位置关系 其中求棱柱体积时 关键的 步骤是求出棱柱的底面积和棱柱的高 11 如图 在三棱柱 ABC A1B1C1中 F 是 A1C1的中点 连接 FB1 AB1 FA 求证 BC1 平面 AFB1 考点 直线与平面平行的判定 专题 证明题 分析 连接 A1B 交 AB1于 G 点 连接 FG 根据四边形 ABB1A1为平行四边形得到 A1G BG 又因 A1F C1F 则 FG BC1 又 FG 平面 AFB1 BC1 平面 AFB1 根据线面平行的判定定理可知 BC1 平面 AFB1 解答 证明 连接 A1B 交 AB1于 G 点 连接 FG 四边形 ABB1A1为平行四边形 A1G BG 又 A1F C1F FG BC1 又 FG 平面 AFB1BC1 平面 AFB1 BC1 平面 AFB1 点评 本题主要考查线面平行的判定定理 考查对基础知识的综合应用能力和基本定理的掌握能力 12 如图 直三棱柱 ABC A1B1C1中 ACB 90 M N 分别为 A1B B1C1的中点 求证 BC 平面 MNB1 考点 直线与平面平行的判定 专题 证明题 转化思想 分析 由 BC B1C1 且 B1C1 平面 MNB1 BC 平面 MNB1 根据线面平行的判定定理得证 解答 解 BC B1C1 且 B1C1 平面 MNB1 BC 平面 MNB1 BC 平面 MNB1 点评 本题主要考查线面平行的判定定理 要证线面平行 首先要转化为线线平行解决 属中档题 13 在正三棱柱 A1B1C1 ABC 中 AA1 AB a D 是 CC1的中点 F 是 A1B 的中点 求证 AF BD 考点 直线与平面垂直的判定 直线与平面平行的判定 与二面角有关的立体几何综合题 专题 证明题 分析 根据 CE 平面 A1AB 和直线与平面垂直度的性质可知 CE AF 进而根据 DF CE 判断出 AF DF 同时 AF A1B 根据直线与平面垂直的判定定理可知 AF 平面 A1BD 进而可推断出 AF BD 解答 证明 取 E 为 AB 中点 正三棱柱 A1B1C1 ABC 中 有 CE 平面 A1AB CE AF DF CE AF DF AF A1B AF 平面 A1BD AF BD 点评 本题主要考查了直线与平面垂直的判定及性质 属基础题 14 如图 在直三棱柱 ABC A1B1C1中 AB 2 AC AA1 4 ABC 90 1 求三棱柱 ABC A1B1C1的表面积 S 2 求异面直线 A1B 与 AC 所成角的大小 结果用反三角函数表示 考点 棱柱 棱锥 棱台的侧面积和表面积 异面直线及其所成的角 专题 综合题 分析 1 利用 S 2S ABC S侧 可求三棱柱 ABC A1B1C1的表面积 S 2 连接 BC1 确定 BA1C1就是异面直线 A1B 与 AC 所成的角 或其补角 在 A1BC1中 利用余弦 定理可求结论 解答 解 1 在 ABC 中 因为 AB 2 AC 4 ABC 90 所以 BC 1 分 S ABC AB BC 2 1 分 所以 S 2S ABC S侧 4 2 2 4 4 24 12 3 分 2 连接 BC1 因为 AC A1C1 所以 BA1C1就是异面直线 A1B 与 AC 所成的角 或其补角 1 分 在 A1BC1中 A1B 2 BC1 2 A1C1 4 1 分 由余弦定理可得 cos BA1C1 3 分 所以 BA1C1 arccos 1 分 即异面直线 A1B 与 AC 所成角的大小为 arccos 1 分 点评 本题考查三棱柱的表面积 考查线线角 解题的关键是正确作出线线角 属于中档题 15 如图 在三棱柱 ABC A1B1C1中 四边形 A1ABB1为菱形 A1AB 60 四边形 BCC1B1为矩形 若 AB BC 且 AB 4 BC 3 1 求证 平面 A1CB 平面 ACB1 2 求三棱柱 ABC A1B1C1的体积 考点 平面与平面垂直的判定 棱柱 棱锥 棱台的体积 专题 综合题 分析 1 要证平面 A1CB 平面 ACB1 可以通过证出 AB1 平面 A1CB 而得到 因为四边形 A1ABB1为菱形 所以 A1B AB1 若证出 CB AB1则可 由已知 利用 CB 面 A1ABB1 可实现 2 可将三棱柱 ABC A1B1C1中补上同等体积的几何体 A1C1D1 ACD 构成四棱柱 A1B1C1D1 ABCD 而 四棱柱 A1B1C1D1 ABCD 视为以菱形 A1ABB1为底面 CB 为高的几何体 体积易求 解答 解 1 证明 四边形 BCC1B1为矩形 B1B CB 又 AB CB B1B AB B CB 面 A1ABB1 AB1 A1ABB1 CB AB1 四边形 A1ABB1为菱形 A1B AB1 且 CB A1B B AB1 平面 A1CB AB1 平面 ACB1 平面 A1CB 平面 ACB1 2 过点 A 作 BC 的平行线 过 C 作 BA 的平行线 两线交于点 D 则四边形 ABCD 为平行四边形 同样地作图得出 A1B1C1D1为平行四边形 连接 D1D 即将三棱柱 ABC A1B1C1中补上了同等体积的几何体 A1C1D1 ACD 构成四棱柱 A1B1C1D1 ABCD 由 1 中 CB 面 A1ABB1 看作以 A1ABB1为底面 以 BC 为高的四棱柱 V三棱柱 ABC A1B1C1 V四棱柱 A1B1C1D1 ABCD S菱形 A1ABB1 CB 4 4sin60 3 12 点评 本题考查直线和直线 直线和平面 平面和平面垂直关系的判定与转化 柱体体积的计算 考查空间想象 转化 计算 论证能力 16 如图 在三棱柱 ABC A1B1C1中 AC BC AB BB1 AC BC BB1 2 D 为 AB 的中点 且 CD DA1 求证 BB1 平面 ABC 求多面体 DBC A1B1C1的体积 考点 直线与平面垂直的判定 组合几何体的面积 体积问题 专题 计算题 证明题 分析 证明 CD BB1 通过 BB1 AB AB CD D 即可证明 BB1 面 ABC 利用多面体 然后求出几何体的体积即 可 解答 本题满分 14 分 解 AC BC D 为 AB 的中点 CD AB 又 CD DA1 CD 面 AA1B1B CD BB1 又 BB1 AB AB CD D BB1 面 ABC 多面体 点评 本题考查线线垂直 线面垂直及多面体的体积的求法技巧 转化思想的应用 考查计算能力 17 如图所示 在斜三棱柱 ABC A1B1C1中 A1AC ACB AA1C 侧棱 BB1 与底面所成的角为 AA1 4 BC 4 求斜三棱柱 ABC A1B1C1的体积 V 考点 棱柱 棱锥 棱台的体积 专题 计算题 分析 如图 在 Rt AA1C 中求出 AC 作 B1H 平面 ABC 垂足为 H 则 B1BH 求出 B1H 就是棱柱的高 然后求出斜三棱柱 ABC A1B1C1的体积 解答 解 在 Rt AA1C 中 AC AA1 tan AA1C 4 4 作 B1H 平面 ABC 垂足为 H 则 B1BH 在 Rt B1BH 中 B1H BB1 sin B1BH AA1 sin 4 6 V S ABC B1H 4 4 6 48 点评 本题是基础题 考查斜三棱柱 ABC A1B1C1的体积的求法 求出底面面积 它的高是本题的难点 注意正 确分析 仔细体会 18 如图 在三棱柱 ABC A1B1C1中 AB a BC CA AA1 a 且 A1O 平面 ABC 点 O 在 AC 上且为 AC 中 点 求此三棱柱的侧面积 考点 棱柱 棱锥 棱台的侧面积和表面积 专题 计算题 分类讨论 分析 利用题中的条件 利用平行四边形的面积公式求出每个侧面的面积 三棱柱的侧面积等于每个侧面面积的 和 解答 解 因为 O 为 AC 中点 AA1 AC a 所以 AO a A1O a a a a2 因为 BC 平面 A1C 所以 BC CC1 所以侧面 BCC1B1为矩形 所以 S BCC1B1 a a a2 过 O 作 OD AB 于 D 连接 A1D 因为 A1O 平面 ABC 所以 A1D AB 因为 OD AO sin45 a 所以 A1D a 所以 所以 S侧 点评 本题考查平行四边形的面积公式得应用 线面垂直的判定及性质 体现了分类讨论的数学思想 19 如图所示 在三棱柱 ABC A1B1C1中 D 点为棱 AB 的中点 求证 AC1 平面 CDB1 考点 直线与平面平行的判定 专题 证明题 分析 连接 BC1 交 B1C 于点 E 连接 DE 则 BC1与 B1C 互相平分 从而 BE C1E 又 AD BD 根据中位线 定理可知 AC1 DE 又 DE 平面 CDB1 AC1 平面 CDB1 最后根据线面平行的判定定理可知 AC1 平面 CDB1 解答 证明 连接 BC1 交 B1C 于点 E 连接 DE 则 BC1与 B1C 互相平分 BE C1E 又 AD BD DE 为 ABC1的中位线 AC1 DE 又 DE 平面 CDB1 AC1 平面 CDB1 AC1 平面 CDB1 点评 本题主要考查了直线与平面平行的判定 应熟练记忆直线与平面平行的判定定理 20 直三棱柱中 ABC A1B1C1中 B1C1 A1C1 AC1 A1B M N 分别为 A1B1 AB 中点 求证 1 平面 AMC1 平面 NB1C 2 A1B AM 考点 直线与平面垂直的性质 平面与平面平行的判定 专题 证明题 分析 1 先在四边形 AA1B1B 中 利用一组对边平行且相等证出四边形 B1NAM 是平行四边形 从而 B1N AM 再结合直线与平面平行的判定定理 可得直线 B1N 平面 AMC1 再用同样的方法证出 CN 平面 AMC1 最后利用平面与平面平行的判定定理 可以证出平面 AMC1 平面 NB1C 2 先根据直三棱柱的性质 利用线面垂直证出 C1M BB1 结合等腰三角形 A1B1C1中 中线 C1M A1B1 利用直线与平面垂直的判定定理 证出 C1M 平面 AA1B1B 从而得到直线 C1M A1B 再结 合已知条件 AC1 A1B 得到 A1B 平面 AC1M 结合 AM 平面 AC1M 最终得到 A1B AM 解答 证明 1 M N 分别为 A1B1 AB 中点 B1M NA 且 B1M NA 四边形 B1NAM 是平行四边形 B1N AM 又 AM 平面 AMC B1N 平面 AMC1 B1N 平面 AMC1 连接 MN 矩形 BB1A1A 中 M N 分别是 A1B1 AB 的中点 BB1 MN 且 BB1 MN BB1 CC1且 BB1 CC1 四边形 CC1MN 是平行四边形 MC1 CN MC1 平面 AMC CN 平面 AMC1 CN 平面 AMC1 CN 平面 B1CN B1N 平面 B1CN CN B1N N 平面 B1CN 平面 AMC1 2 三棱柱 ABC A1B1C1是直三棱柱 BB1 平面 A1B1C1 C1M 平面 A1B1C1 C1M BB1又 B1C1 A1C1 M 为 A1B1中点 C1M A1B1 A1B1 BB1 B1 A1B1 BB1 平面 AA1B1B C1M 平面 AA1B1B A1B 平面 AA1B1B C1M A1B 又 AC1 A1B C1M AC1 C1 C1M AC1 平面 AC1M A1B 平面 AC1M AM 平面 AC1M A1B AM 点评 本题在一个特殊的直三棱柱中 通过证明平面与平面平行和两条异面直线互相垂直 着重考查了面面平行 的判定定理和线面垂直的判定与性质 属于中档题 21 如图 在直三棱柱 ABC A1B1C1中 AB AC 点 D E O 分别为 AA1 A1C1 B1C 的中点 1 证明 OE 平面 AA1B1B 2 证明 平面 B1DC 平面 BB1C1C 考点 平面与平面垂直的判定 直线与平面平行的判定 专题 证明题 分析 1 连接 BC1 A1B 通过证明 OE AB1 然后证明 OE 平面 AA1B1B 2 取 BC 中点 M 连 AM 通过证明 AM BC 推出 AM 平面 BB1C1C AM DO 然后证明平面 B1DC 平面 BB1C1C 解答 本题满分 14 分 证明 1 连接 BC1 A1B E 为