真值原码反码补码详解和习题

原码 反码和补码的概念原码 反码和补码的概念 本节要求 掌握原码 反码 补码的概念 知识精讲知识精讲 数值型数据的表示按小数点的处理可分为定点数和浮点数 按符号位有原码 反码和补码三种形式 的机器数 一 计算机中数据的表示方法一 计算机中数据的表示方法 1 数的定点与浮点表示 数的定点与浮点表示 在计算机内部 通常用两种方法来表示带小数点的数 即所谓的定点数和浮点数 定点数 是小数点在数中的位置是固定不变的数 数的最高位为符号位 小数点可在符号位之后 也可在数的末尾 小数点本身不需要表示出来 它是隐含的 缺点 只有纯小数或整数才能用定点数表示 浮点数 小数点在数中的位置是浮动的 不固定的数 一般浮点数既有整数部分又有小数部分 通常对于任何一个二进行制数 总可以表示成 P S 均为二进制数 为 的阶码阶码 一般为定点整数 常用补码表示 阶码指明小数点在数据中的位置 它决定浮点的表示范 围 为 N 的尾数尾数 一般为定点小数 常用补码或原码表示 尾数部分给出了浮点数的有效数字位数 它决定 了浮点数的精度 且规格化浮点数 0 5 S 0 1B 1 2 D 2 1 D 0 11B 1 2 1 4 D 2 1 2 2 D 0 111B 1 2 1 4 1 8 D 2 1 2 2 2 3 D 在计算机中表示一个浮点数其结构为 阶码部分 尾数部分 阶符阶数尾符尾数 Ef E1E2 Em Sf S1S2 Sn 假设用八个二进制位来表示一个浮点数 且阶码部分占 4 位 其中阶符占一位 尾数部分占 4 位 尾符也占一位 若现有一个二进制数 N 2 可表示为 110 0 1011 则该数在机器内的表示形式为 B 10110B 21 D B 1011B 22 D B 101 1B 23 D B 10 11B 24 D B 1 011B 25 D B 0 1011B 26 D 0 1011B 2110 B 011001101 一个浮点形式的尾数 S 若满足 0 5 S 1 且尾数的最高位数为 1 无无效的 0 则该浮点数称为规 格化数 规格化数可以提高运算的精度 S 为原码表示 则 S 1 规格化数 S 为补码表示 N 为正数 则 S1 N 为负数 则 S1 二 原码 反码和补码二 原码 反码和补码 1 机器数与真值 机器数机器数 在计算机中数据和符号全部数字化 最高位为符号位 且用 0 表示正 1 表示负 那么把包 括符号在内的一个二进制数我们称为机器数 机器数 机器数 有原码 反码和补码三种表示方法 有原码 反码和补码三种表示方法 比如 十进制中的数 3 计算机字长为 8 位 转换成二进制就是 如果是 3 就是 那么 这里的 和 就是机器数 真值真值 用 号表示的二进制数 机器数因为第一位是符号位 所以机器数的形式值就不等于真正的数值 例如上面的有符号数 其 最高位 1 代表负 其真正数值是 3 而不是形式值 131 转换成十进制等于 131 所以 为区别起见 将 带符号位的机器数对应的真正数值称为机器数的真值 例 0000 0001 的真值 000 0001 1 1000 0001 的真值 000 0001 1 2 原码 反码和补码的概念 1 1 概念 概念 机器数 机器数 有原码 反码和补码三种表示方法 有原码 反码和补码三种表示方法 原码原码 是最简单的机器数表示法 其数符位用 0 表示正 1 表示负 其余各位表示真值本身 即用第一位表示符号 其余位表示值 比如如果是 8 位二进制 1 的原码是 1 的原码是 反码反码 正数的反码同原码 负数的反码为除符号位外 其它各位按位取反 正数的反码是其本身 负数的反码是在其原码的基础上 符号位不变 其余各个位取反 1 的反码是 1 的反码是 补码补码 正数的补码同原码 负数的补码为反码加 1 负数的补码是在其原码的基础上 符号位不变 其余各位取反 最后 1 1 的补码是 1 的补码是 2 转换方法 当真值为正数真值为正数时 原码 反码 补码原码 反码 补码 3 种机器数的最高位均为最高位均为 0 当真值为负数真值为负数时 原码 反码 补码原码 反码 补码 3 种机器数的最高位均为最高位均为 1 机器数的最高位为符号位最高位为符号位 其它位称为数值位其它位称为数值位 当真值为正数真值为正数时 原码原码 反码反码 补码补码 当真值为负数真值为负数时 三种机器数的符号位相同 均为 1 原码的数值位保持 原 样 反码的数值位是 原码数值位的 按位取反 补码的数值位是原码的数值位的 按位取反 后再加 1 简称 取反加 1 当真值为负数真值为负数时 补码补码 反码反码 1 当真值为负数真值为负数时 原码原码 补码补码 取补 补码补码 原码原码 取补 x 补 模 x 补 x 补 模 x 补 比如 8bit 模 28 1 0000 0000 例如 1 假设码长为 8 位 写出下列数的原码 反码和补码 根据本题可得到结论 0 的原码 反码各有两种表示方法 而补码是唯一的全 0 表示 真值 0 0 1 1 127 127 128 原码溢出 反码溢出 补码 2 假设码长为 8 位 写出原码 反码和补码所能表示定点整数和定点小数的范围 二进制定点整数十进制定点整数n 位可表示的个数二进制定点小数十进制定点小数 原 码 127 127 2n 1 个个 1 0 127 128 127 12 8 反 码 127 127 2n 1 个个 1 0 127 128 127 12 8 补 码 128 127 128 代替了 0 2n个个 1 0 1 127 128 由此可见 n 位的二进制数用原码表示 则可表示的数的个数为 2n 1 个 n 位的二进制数用反码表示 则可表示的数的个数为 2n 1 个 n 位的二进制数用补码表示 则可表示的数的个数为 n个 比如 补码中用 128 代替了 0 编程中常用到的 32 位 int 类型 可以表示范围是 231 231 1 因为第一位表示的是符号位 而使 用补码表示时又可以多保存一个最小值 2G 2G 1 3 算术运算 算术运算 计算机中的算术运算一般可采用补码进行 用补码表示的两个操作数进行算术运算 符号位可直接参 加运算 结果仍为补码 定点补码加法运算 运算规则 x y 补 x 取补 y 补 定点补码减法运算 运算规则 x y 补 x y 补 x 补 y 补 y 补 补的求法是将 y 补的各位 包括符号位 包括符号位 全取反 最末位加 即将 y 补连同符号位一起取反加 1 便可得到 y 补 x 补 模 x 补 x 补 模 x 补 比如 8bit 模 28 如 y 补 则 y 补 1 补 28 1 补 1 0000 0000 0000 0001 1111 1111 y 补 0100 则 y 补 1100 1 补 28 1 补 1 0000 0000 1111 1111 0000 0001 注意 在进行运算时有时会发生溢出 定点补码运算的溢出处理 采用补码运算时若结果的数值超出了补码所能表示的范围 则此种情况称为溢出 采用补码运算时若结果的数值超出了补码所能表示的范围 则此种情况称为溢出 若计算结果比能表示的最大数还大则称为上溢 上溢时一般作溢出中断处理 若计算结果比能表示的最小数还小则称为下溢 下溢时一般作机器零处理 下面介绍用双符号判断溢出方法 引入两个符号位Cs 1 Cs Cs 1用来表示两个符号位向更高位进位时的状态 有进位时Cs 1 1 无进位时Cs 1 0 Cs用来表示两数值的最高位向符号位进位时的状态 有进位时Cs 1 无进位时Cs 0 当Cs 1Cs 00 或 11 时 无溢出 当Cs 1Cs 01 或 10 时 有溢出 当双符号位为 01 时正溢出 当双 符号位为 10 时负溢出 例如 x 补 y 补 则 x y 补 溢出 因为Cs 1Cs 10 故溢出逻辑表达式为 V Cs 1 Cs 无符号数的运算 无符号数的运算实际上是指参加运算的操作数 X Y 均为正数 且整个字长全部用于表示数值部分 当两个无符号数相加时 其值在字长表示的范围内 其结果为正数 当两个无符号数相减时 其值的符号位取决于两数绝对值的大小 另外 地址在计算机中用无符号数表示 四原码四原码 反码反码 补码再深入补码再深入 计算机巧妙地把符号位参与运算 并且将减法变成了加法 背后蕴含了怎样的数学原理呢 将钟表想象成是一个 1 位的 12 进制数 如果当前时间是 6 点 我希望将时间设置成 4 点 我们可以 1 往回拨 2 个小时 6 2 4 2 往前拨 10 个小时 6 10 mod 12 4 3 往前拨 10 12 22 个小时 6 22 mod 12 4 2 3 方法中的 mod 是指取模操作 16 mod 12 4 即用 16 除以 12 后的余数是 4 所以钟表往回拨 减法 的结果可以用往前拨 加法 替代 现在的焦点就落在了如何用一个正数 来替代一个负数 上面的例子我们能感觉出来一些端倪 发 现一些规律 但是数学是严谨的 不能靠感觉 首先介绍一个数学中相关的概念 同余 模模 是指一个计量系统的计数范围是指一个计量系统的计数范围 例如 时钟的计量范围是 0 11 模 12 表示 n 位的计算机计量范围是 0 2n 1 模 2n 模模 实质上是计量器产生实质上是计量器产生 溢出溢出 的量的量 它的值在计量器上表示不出来 计量器上只能表示出模的余计量器上只能表示出模的余 数数 任何有模的计量器 均可化减法为加法运算 比如 时钟 模 12 中 加 8 和减 4 效果是一样的 因此凡是减 4 运算 都可以用加 8 来代替 对时钟 模 12 而言 8 和 4 互为补数 以 12 模的系统中 11 和 1 10 和 2 9 和 3 7 和 5 6 和 6 都互为补数 共同的特点是两者相加等于模 对于计算机 其概念和方法完全一样 n 位计算机 设 n 8 所能表示的最大数是 若再加 1 称为 9 位 但因只有 8 位 最高位 1 自然丢失 又回了 所以 8 位二进制系统的模为 28 在这样的系统中减法问题也可以化成加法问题 只需把减数用相应的补数表示就可以了 x 补 模 x 补 x 补 模 x 补 比如 8bit 模 28 1 补 28 1 补 1 0000 0000 0000 0001 1111 1111 1 补 28 1 补 1 0000 0000 1111 1111 0000 0001 把补数用到计算机对数的处理上 就是把补数用到计算机对数的处理上 就是补码补码 负数取模负数取模 x mod y x y int x y int x y VB 语法表示 不大于 x y 的最大整数 即向下取整 int 1 5 2 Fix 1 5 1 举例 3 mod 2 3 2 int 3 2 3 2 2 3 2x 2 1 同余的概念同余的概念 两个整数 a b 若它们除以整数 m 所得的余数相等 则称 a b 对于模 m 同余 记作 a b mod m 读作 a 与 b 对于模 m 同余 举例说明 4 mod 12 4 16 mod 12 4 28 mod 12 4 所以 4 16 28 对于模 12 同余 两个定理两个定理 1 反身性 a a mod m 自己和自己 对于模 m 同余 2 线性运算定理 如果 a b mod m c d mod m 那么 1 a c b d mod m 2 a c b d mod m 3 传递性 若 a b mod m b c mod m 则 a c mod m 典型例题典型例题 一 选择题 1 一个四位二进制补码的表示范围是 A 0 15 B 8 7 C 7 7 D 7 8 2 10 题 十进制数 48 用补码表示为 A B C D 分析 求某个负数的补码 可利用模的定义 所以求 48 的补码 只需求 80 的原码即可 因为 48 80 128 而 80 原 故选 B 注 传统做法是在原码的基础上 取反加 1 答案 B 3 09 年镇江三模 如果 X 为负数 由 x 补求 x 补是将 A x 补各值保持不变 B x 补符号位变反 其他各位不变 C x 补除符号位外 各位变反 末位加 1 D x 补连同符号位一起各位变反 末位加 1 分析 不论 X 是正数还是负数 由 X 补求 X 补的方法是对 X 补求补 即连同符号位一起按位取反 末位加 答案 D 二 二 判断题判断题 1 计算机中一个浮点数 N 可用 P S 表示 那么用规格化数表示 则尾数 S 必须满足 0 5 S 1 答案答案 对对 解题指导解题指导 一个浮点形式的尾数 S 若满足 0 5 S 1 且尾数的最高位数为 1 无无效的 0 则该 浮点数称为规格化数 规格化数可以提高运算的精度 三 三 填空题填空题 1 二进制数 的规格化数为 01100 二进制数 11011 的规格化数为 10100 尾数 阶码均 用 8 位二进制补码表示 分析 可表示为 11011 2 1 即规格化数为 11011 2 1 11011 可表示为 11011 25 即规格化数为 11011 2101 2 已知 X Y 为两个有符号数的定点整数 它们的补码为 x 补 B y 补 B 则 X Y 补 B 分析 X Y 补 X 补 Y 补 X 为正数 Y 为负数 故列式结果不溢出为 答案 原码 反码和补码的概念当堂练习原码 反码和补码的概念当堂练习 一 选择题 1 机器数 80H 所表示的真值是 128 则该机器数为 形式的表示 A 原码 B 反码 C 补码 D 移码 2 在浮点数中 阶码 尾数的表示格式是 A 阶码定点整数 尾数定点小数 B 阶码定点整数 尾数定点整数 C 阶码定点小数 尾数定点整数 D 阶码定点小数 尾数定点小数 3 已知 x 补 y 补 则 x y 补的结果是 A 溢出 B C D 4 某机字长 8 位 含一位数符 采用原码表示 则定点小数所能表示的非零最小正数为 A 2 9 B 2 8 C 1 D 2 7 5 08 年 下列数中最小的数是 C A 原B 反C 补D 2 6 12 年 8 位补码表示的定点整数的范围是 B A 128 128 B 128 127 C 127 128 D 127 127 7 11 年盐城二模 已知 X 的补码为 Y 的补码为 则 X Y 的补码为 A B C D 溢出 8 将 33 以单符号位补码形式存入 8 位寄存器中 寄存器中的内容为 A DFH B A1H C 5FH D DEH 9 在机器数的三种表示形式中 符号位可以和数值位一起参加运算的是 A 原码 B 补码 C 反码 D 反码 补码 二 判断题 1 16 位的补码表示的定点整数的最小值是 32768 2 10 年南京二模 一个数在计算机中分别用原码 反码 补码表示时一定各不相同 3 10 年常州三模 字长相同 定点法表示数的范围比浮点法小 4 若用八位二进制数来表示一个有符号数 则原码 反码和补码表示的数的个数与范围均相同 三 填空题 1 十进制数 27 对应的 8 位二进制补码为 2 11 年 已知 X Y 为两个带符号的定点整数 它们的补码为 X 补 B Y 补 B 则 X Y 补 B 3 数 x 的真值为 0 1011B 其原码表示为 补码表示为 4 八位定点整数 采用二进制补码表示时 所能表示真值的十进制数的范围是 5 09 年 已知 X 补 B Y 补 B 则 X Y 补 6 11 年 一个含有 6 个 1 2 个 0 的八位二进制整数原码 可表示的最大数为 7EH 用十六进制表示 7 12 年 已知 X 补 B 则 X B 8 10 年盐城二模 二进制数 若看成纯小数 且为补码 则其对应真值的十进制数是 原码 反码和补码的概念课后练习原码 反码和补码的概念课后练习 一 选择题一 选择题 1 10 年盐城二模 溢出 一般是指计算机在运算过程是产生的 A 数据量超过内存容量 B 文件个数超过磁盘目录区规定的范围 C 数据超过了机器的位所能表示的范围 D 数据超过了变量的表示范围 2 设有二进制数 X 若采用 8 位二进制数表示 则 X 补的结果是 A B C D 3 假设有一个 16 机的某存储单元存放着数 01000 若该数作为原码表示十进制有符号整数 其 中最高位为符号位 时 其值为 A 55510 B 23368 C 18762 D 56136 4 计算机内的数有浮点和定点两种表示方法 一个浮点法表示的数由两部分组成 即