2011年高考数学全国百所名校精粹重组卷（8）试题

名校精华重组数学试题 名校精华重组数学试题 8 8 第 I 卷 选择题 共 60 分 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只 有一项是符合要求的 1 设全集U是实数集 R M x x2 4 N x x 3 或x 1 都是U的子集 则图中阴影 部分所表示的集合是 A x 2 x 1 B x 2 x 2 C x 1 x 2 D x x 2 2 在 ABC 中 A 30 是 sinA 2 1 的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 3 如图 在四边形 ABCD 中 4 DCBDAB 0 DCBDBDAB 4 DCBDBDAB 则ACDCAB 的值 A 2 B 22 C 4 D 24 4 对于任意的直线l与平面 在平面 内必有直线m 使m与l A 平行 B 相交 C 垂直 D 互为异面直线 5 点 P 在曲线 3 2 3 xxy上移动 设点 P 处切线的倾斜角为 则角 的取值范围 是 A 0 2 B 0 2 4 3 C 4 3 D 2 4 3 6 已知正方体的外接球的体积是 3 32 则这个正方体的棱长是 A 3 22 B 3 32 C 3 24 D 3 34 7 将 7 个人 含甲 乙 分成三个组 一组 3 人 另两组各 2 人 不同的分组数为 a 甲 乙 分在同一组的概率为 P 则 a P 的值分别为 A a 105 P 21 5 B a 105 P 21 4 C a 210 P 21 5 D a 210 P 21 4 8 已知 2 1 a ap a 2 2 2 2 1 x q x R 则 p q 的大小关系为 A p q B p q C p q D p q 9 当 0 x 2 时 函数 x xx xf 2sin sin82cos1 2 的最小值为 A 2 B 32 C 4 D 34 10 在正四棱柱 ABCD A1B1C1D1中 M 为 AD 中点 O 为侧面 AA1B1B 的中心 P 为侧棱 CC1上 任意一点 那么异面直线 OP 与 BM 所成的角是 A A 90 B 60 C 45 D 30 11 设函数 2 1 12 x xf x 0 0 x x 若1 0 xf 则 0 x的取值范围是 A 1 1 B 1 C 2 0 D 1 1 12 已知 20102008 20062004 1816 1412 108 64 则bcad dc ba A 2008 B 2008 C 2010 D 2010 第 II 卷 非选择题 共 90 分 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 4 分 共 16 分 13 已知函数 cos f xAx 的图象如 图所示 2 23 f 则 0 f 14 已知变量 x y 满足约束条件1 4 22 xyxy 若目标函数 zaxy 其中 0a 仅在点 3 1 处取得最大值 则a的取值范围为 y f x 第 13 题 图 2 2 3 7 12 11 12 O y x 15 从集合 1 2 3 0 1 2 3 4 中 随机选出 4 个数组成子集 使得这 4 个数中的任何 两个数之和不等于 1 则取出这样的子集的概率为 16 把正整数排列成如图甲三角形数阵 然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数 得到如图乙的三角形数阵 再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列 得到一个数 列 n a 若2011 n a 则n 三 解答题 本大题共 6 小题 共 74 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 12 分 ABC 中 3tantantantan3ABAB I 求 C 的大小 设角 A B C 的对边依次为 a b c 若2c 且 ABC 是锐角三角形 求 22 ab 的取值范围 18 本小题满分 12 分 一名高二学生盼望进入某名牌大学学习 不放弃能考入该大学的 任何一次机会 已知该大学通过以下任何一种方式都可被录取 2010 年 2 月国家数学奥赛集训队考试通过 集训队从 2009 年 10 月省数学竞赛壹等 奖获得者中选拔 通过考试进入集训队则能被该大学提前录取 2010 年 3 月自主招生考试通过并且 2010 年 6 月高考分数达重点线 2010 年 6 月高考达到该校录取分数线 该校录取分数线高于重点线 该名考生竞赛获省一等奖 自主招生考试通过 高考达重点线 高考达该校分数线等 事件的概率如下表 事件 省数学竞获一等 奖 自主招生考试通 过 高考达重点 线 高考达该校分数 线 概率0 50 70 80 6 如果数学竞赛获省一等奖 该学生估计自己进入国家集训队的概率是 0 4 1 求该学生参加自主招生考试的概率 2 理 求该学生参加考试次数的分布列与数学期望 3 求该学生被该大学录取的概率 19 本小题满分 12 分 如图 在直三棱柱 ABC A1B1C1中 AB BC P 为 A1C1的中点 AB BC kPA I 当 k 1 时 求证 PA B1C II 当 k 为何值时 直线 PA 与平面 BB1C1C 所成的角的正弦值为 1 4 并求此时二面角 A PC B 的余弦值 20 本小题满分 12 分 已知等差数列 n a 为递增数列 且 25 a a 是方程 2 12270 xx 的两根 数列 n b 的前n项和 1 1 2 nn Tb 1 求数列 n a 和 n b 的通项公式 2 若 1 3n n n nn b c aa n s 为数列 n c 的前 n 项和 证明 1 n s 21 本小题满分 12 分 已知函数 32 3 2 23 R xxaxxxf 1 若 1xfyPa 为曲线点 上的一个动点 求以点 P 为切点的切线斜率取最小 值时的切线方程 2 若函数 0 在xfy 上为单调增函数 试求满足条件的最大整数 a 22 本小题满分 14 分 已知椭圆 22 22 1 0 xy Eab ab 的左 右焦点分别为 21 F F 点P是x轴上方椭 圆E上的一点 且 211 FFPF 1 3 2 PF 2 5 2 PF 求椭圆E的方程和P点的坐标 判断以 2 PF为直径的圆与以椭圆E的长轴为直径的圆的位置关系 若点G是椭圆C 22 22 1 0 xy mn mn 上的任意一点 F是椭圆C的一个 焦点 探究以GF为直径的圆与以椭圆C的长轴为直径的圆的位置关系 参考答案 第 I 卷 选择题 共 60 分 一 选择题 1 答案 A 解析 图中阴影部分表示N UM M x2 4 x x 2 或x 2 UM x 2 x 2 N UM 2 x 1 2 答案 B 解析 举反例 如 A 30 设 A 160 则 sinA sin20 sin30 2 1 则 A 30 不是 sinA 2 1 的充分条件 如果 sinA 2 1 则 A 30 150 即有 A 30 3 答案 C 解析 4 4 DCBDBDAB DCBDAB 解方程组 得2 BD 2 DCAB 又 0 DCBDBDAB AB与DC共线且方向相同 2 DCABDCAB 又 0 CADCBDAB DCBDABAC DCBDABDCABACDCAB BDDCABDCAB 2 BDDCBDABDCAB 2 22 0 0 4 4 答案 C 解析 对于任意的直线l与平面 若l在平面 内 则存在直线 m l 若 l不在平面 内 且l 则平面 内任意一条直线都垂直于l 若l不在平面 内 且l于 不垂直 则它的射影在平面 内为一条直线 在平面 内必有直线m垂 直于它的射影 则m与l垂直 综上所述 选 C 5 答案 B 解析 y 3x2 1 故导函数的值域为 1 切线的斜率的取值范围为 1 设倾斜角为 则 tan 1 0 0 2 4 3 6 答案 D 解析 根据球的体积是 3 32 可得球的半径为 2 而球的直径 4 就是正方体的 对角线长 从而正方体的棱长为 3 34 7 答案 A 解析 将 7 个人分成三组按要求有 2 2 2 2 2 4 3 7 A CCC 105 种分法 将甲 乙两人分 在同一组有两种情况 在三人一组 这时有 2 2 2 2 2 4 1 5 A CCC 种情况 在两人一组 这时有 3 5 C种情况 21 5 105 3 5 2 2 2 2 2 4 1 5 C A CCC P 8 答案 A 解析 2 2 1 2 2 1 a a a ap 2 2 4 当且仅当 a 3 时 取得等 号 而由于 x2 2 2 故 2 2 2 1 x q 4 2 1 2 当且仅当 x 0 时 取得等号 故 p q 9 答案 C 解析 xx xx xx xx xf cossin cossin4 cossin2 sin8cos2 2222 x x x x tan 1 tan4 tan 1tan4 2 0 x 2 tanx 0 4 tan 1 tan42 tan 1 tan4 x x x x 当 2 1 tan x时 f x min 4 故选 C 10 答案 A 解析 运用平行和垂直的有关知识 11 答案 D 解 图解法 在同一直角坐标系中 作出函数 yf x 的图象和直线1y 它们相交于 1 1 和 1 1 两点 由 0 1f x 得 0 1x 或 0 1x 12 答案 A 解析 8 8 28 28 48 288 2848 nnnn nn nn 数列有 251 项 2008251 8 结果为 故选 A 第 II 卷 非选择题 共 90 分 二 填空题 13 答案 2 3 解析 由图象可得最小正周期为 2 3 所以 2 0 3 ff 注意到 2 3 与 2 关于 7 12 对称 故 22 323 ff 14 答案 1 解析 已知变量 x y 满足约束条件1 4 22 xyxy 在 D C B A 2 1 4 32 1 4 3 2 1 O y x 1 1 1 O y x 坐标系 中画出可行域 如图为四边形 ABCD 其中 A 3 1 1 1 ADAB kk 目标函数 zaxy 其中 0a 中的 z 表示斜率为 a 的直线系中的 截距的大小 若仅在点 3 1 处取得最大值 则斜率应小于 1 AB k 即 1a 所以a的取值范围为 1 15 答案 8 35 解析 10 1122334 概率为 1 4 2 4 8 8 35 C p C 16 答案 1028 解析 图乙中第k行有k个数 第k行最后的一个数为 2 k 前k行共 有 1 2 k k 个数 由44 441936 45 452025 知2011 n a 出现在第 45 行 第 45 行第一个数为 1937 第 2011 1937 138 2 个数为 2011 所以 44 44 1 381028 2 n 三 解答题 本大题共 6 小题 共 74 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 解 1 依题意 tantan 3 1tantan AB AB 即tan 3AB 又0AB 2 3 AB 3 CAB 2 由三角形是锐角三角形可得 2 2 A B 即 62 A 由正弦定理得 sinsinsin abc ABC 4 sinsin sin3 c aAA C 442 sinsin 333 bBA 2222 162 sinsin 33 abAAf A 2222 16 sinsin 3 abAC 16 11 1 cos2 1 cos2 3 22 AC 168 cos2cos2 33 AC 1684 cos2cos 2 333 AA 16813 cos2 cos2 sin2 3322 AAA 168 13 cos2sin2 33 22 AA 168 sin 2 336 A 62 A 5 2 666 A 1 sin 2 1 26 A 即 22 20 8 3 ab 18 解 1 0 50 5 0 60 8P 2 2 3 4 2 0 4 0 50 2 3 0 5 4 0 3PPP 分布列 为 234 P 0 20 50 3 2 0 23 0 54 33 1E 3 设自主招生通过且高考达重点线录取 自主招生未通过且高考达该校录取的事件 分别为 C D 则 0 2 0 8 0 7 0 80 448 0 8 3 0 60 144P ABP CP D 故该学 生被该大学录取的概率为 0 20 4480 1440 792P ABP CP D 19 方法一 I 连接 B1P 因为在直三棱柱 ABC A1B1C1中 P 为 A1C1的中点 AB BC 所以 B1P 面 A1C 所以 B1P AP 又因为当 k 1 时 AB BC PA PC 90APCABC AP PC AP 平面 B1PC PA B1C II 取线段 AC 中点 M 线段 BC 中点 N 连接 MN MC1 NC1 则 MN AB AB 平面 B1C MN 平面 B1C NMC1 是直线 PA 与平面 BB1C1C 所成的角 即 4 1 sin 1 NMC 4 1 1 AP MN MC MN 设 AB a 2 1 kPAABABMN 2 1 4 1 2 1 k k a a 即 2 1 k时 直线 PA 与平面 BB1C1C 所成的角的正弦值为 4 1 此时 过点 M 作 MH 垂足为 H 连接 BH CABM 1 平面 由三垂线定理得 BH PC 所以BHM 是二面角 A PC B 的平面角 设 AB 2 则 BC 2 PA 4 2 22 1 PAAMAC 在直角三角形中 AA1P 中 14 2 1 2 1 PAAPAA 连接 MP 在直角三角形中 由 2 7 MHHMPCMPMC得 又由2 BM 在直角三角形中 BMH 中 解得 2 15 BH 在直角三角形 BMH 中 15 105 2 15 2 7 cos BH MH MHB 所以二面角 A PC B 的余弦值是 15 105 方法二 以点 B 为坐标原点 分别以直线 BA BC BB1为 x 轴 y 轴建立空间直角坐标系 Oxyz I 设 AB 2 则 AB BC PA 2 根据题意得 2 1 1 2 0 0 0 2 0 0 0 2 1 PBCA 所以 2 2 0 2 1 1 1 CBAP CBPA CBAP 1 1 0220 II 设 AB 2 则 k AP 2 根据题意 A 2 0 0 C 0 2 0 又因为 2 2 1 111 CAPA 所以2 4 2 2 1 2 1 k PAAPAA CBAB k AP k P k B 1 2 2 2 1 2 4 1 1 2 4 1 1 2 4 0 0 平面 所以由题意得 4 1 cos ABAP 即 4 1 22 4 11 2 4 1 2 k ABAP ABAP 即 2 1 0 解得 k 即 2 1 k时 直线 PA 与平面 BB1C1C 所成的角的正弦值为 4 1 1 APCPB APC平面 的法向量 001 1 PB 设平面 BPC 的一个法向量为 14 1 1 0 2 0 BPBCzyxn 由 0 0 nBP nBC 得 014 02 zyx y 15 105 215 14 cos 1 1 1 PBn PBn PBn 所以此时二面角 A PC B 的余弦值是 15 105 20 解 由 题意得 25 3 9aa 公差 52 2 52 aa d 2 分 所以 2 2 21 n aandn 4 分 由 1 12 11 23 nn T