2011届高三数学一轮复习 抛物线巩固与练习

巩固巩固 1 原创题 抛物线y2 24ax a 0 上有一点M 它的横坐标是 3 它到焦点的距离是 5 则抛物线的方程为 A y2 8x B y2 12x C y2 16x D y2 20 x 解析 选 A 由题意知 3 6a 5 a 1 3 抛物线方程为y2 8x 2 经过抛物线y2 2x的焦点且平行于直线 3x 2y 5 0 的直线的方程是 A 6x 4y 3 0 B 3x 2y 3 0 C 2x 3y 2 0 D 2x 3y 1 0 解析 选 A 据题意设所求平行直线方程为 3x 2y c 0 又直线过抛物线y2 2x的 焦点 0 代入求得c 故直线方程为 6x 4y 3 0 1 2 3 2 3 2009 年高考山东卷 设斜率为 2 的直线l过抛物线y2 ax a 0 的焦点F 且和 y轴交于点A 若 OAF O为坐标原点 的面积为 4 则抛物线方程为 A y2 4x B y2 8x C y2 4x D y2 8x 解析 选 B y2 ax的焦点坐标为 0 过焦点且斜率为 2 的直线方程为y 2 x a 4 a 4 令x 0 得 y a 2 4 a2 64 a 8 1 2 a 4 a 2 4 过抛物线y2 4x的焦点F作垂直于x轴的直线 交抛物线于A B两点 则以F为 圆心 AB为直径的圆的方程是 解析 由y2 4x 得p 2 F 1 0 A 1 2 B 1 2 所求圆的方程为 x 1 2 y2 4 答案 x 1 2 y2 4 5 设抛物线y2 mx的准线与直线x 1 的距离为 3 则抛物线的方程为 解析 当m 0 时 准线方程为x 2 m 4 m 8 此时抛物线方程为y2 8x 当m 0 时 准线方程为x 4 m 4 m 16 此时抛物线方程为y2 16x 所求抛物线方程为y2 8x或y2 16x 答案 y2 8x或y2 16x 6 设抛物线y2 2px p 0 的焦点为F Q是抛物线上除顶点外的任意一点 直线QO 交准线于P点 过Q且平行于抛物线对称轴的直线交准线于R点 求证 0 PF RF 证明 设Q y0 则R y0 y02 2p p 2 直线OQ的方程为y x 2p y0 将x 代入上式 得y p 2 p2 y0 P 又F 0 p 2 p2 y0 p 2 p p y0 PF p2 y0 RF 0 PF RF 练习 1 若抛物线y2 2px的焦点与椭圆 1 的右焦点重合 则p的值为 x2 6 y2 2 A 2 B 2 C 4 D 4 解析 选 D 抛物线的焦点为F 0 p 2 椭圆中c2 6 2 4 c 2 其右焦点为 2 0 2 p 4 p 2 2 抛物线y 4x2上的一点M到焦点的距离为 1 则点M的纵坐标是 A B 17 16 15 16 C D 0 7 8 解析 选 B M到焦点的距离为 1 则其到准线距离也为 1 又 抛物线的准线为y 1 16 M点的纵坐标为 15 16 3 若点P到直线x 1 的距离比它到点 2 0 的距离小 1 则点P的轨迹为 A 圆 B 椭圆 C 双曲线 D 抛物线 解析 选 D 由题意知 点P到点 2 0 的距离与P到直线x 2 的距离相等 由抛物 线定义得点P的轨迹是以 2 0 为焦点 以直线x 2 为准线的抛物线 故选 D 4 抛物线y2 4x的焦点为F 过F且倾斜角等于的直线与抛物线在x轴上方的曲 3 线交于点A 则AF的长为 A 2 B 4 C 6 D 8 解析 选 B 由已知可得直线AF的方程为y x 1 联立直线与抛物线方程消元得 3 3x2 10 x 3 0 解之得 x1 3 x2 据题意应舍去 由抛物线定义可得 AF xA 1 3 3 1 4 p 2 5 如图过抛物线y2 2px p 0 的焦点F的直 线依次交抛物线及准线于点A B C 若 BC 2 BF 且 AF 3 则抛物线的方程为 A y2 x 3 2 B y2 9x C y2 x 9 2 D y2 3x 解析 选 D 如图分别过点A B作准线的垂线 分别交准线于点E D 设 BF a 则由已知得 BC 2a 由定义得 BD a 故 BCD 30 在直角三角形ACE中 AE 3 AC 3 3a 故有 2 AE AC 3 3a 6 从而得a 1 再由 BD FG 则有 p 因此抛物线方程为y2 3x 1 p 2 3 3 2 6 直线l过抛物线C y2 2px p 0 的焦点F 且交抛物线C于A B两点 分别从A B两点向抛物 线的准线引垂线 垂足分别为A1 B1 则 A1FB1是 A 锐角 B 直角 C 钝角 D 直角或钝角 答案 B 7 若直线ax y 1 0 经过抛物线y2 4x的焦点 则实数a 解析 y2 4x的焦点为 1 0 将点 1 0 代入ax y 1 0 得a 1 答案 1 8 过抛物线x2 2py p 0 的焦点F作倾斜角为 30 的直线 与抛物线分别交于A B 两点 点A在y轴左侧 则 AF FB 解析 如右图 作AA1 x轴 BB1 x轴 则AA1 OF BB1 AF FB OA1 OB1 xA xB 又已知xA0 AF FB xA xB 直线AB方程为y xtan30 p 2 即y x 3 3 p 2 与x2 2py联立得x2 px p2 0 2 3 3 xA xB p xA xB p2 2 3 3 xAxB p2 2 xA xB 2 3 3 xA2 xB2 2xAxB 3 4 3xA2 3xB2 10 xAxB 0 两边同除以xB2 xB2 0 得 3 2 10 3 0 xA xB xA xB 3 或 xA xB 1 3 又 xA xB p 0 2 3 3 xA xB 1 xA xB AF FB xA xB 1 3 1 3 答案 1 3 9 对于顶点在原点的抛物线 给出下列条件 焦点在y轴上 焦点在x轴上 抛物线上横坐标为 1 的点到焦点的距离等于 6 抛物线的通径的长为 5 由原点向过焦点的某条直线作垂线 垂足坐标为 2 1 能满 足此抛物线方程y2 10 x的条件是 要求填写合适条件的序号 解析 在 两个条件中 应选择 则由题意 可设抛物线方程为y2 2px p 0 对于 由焦半径公式r 1 6 p 2 p 10 此时y2 20 x 不符合条件 对于 2p 5 此时y2 5x 不符合题意 对于 设焦点 0 则由题意 p 2 满足 1 1 2 1 0 2 p 2 解得p 5 此时y2 10 x 所以 能使抛物线方程为y2 10 x 答案 10 抛物线顶点在原点 它的准线过双曲线 1 a 0 b 0 的一个焦点 并与 x2 a2 y2 b2 双曲线实轴垂直 已知抛物线与双曲线的一个交点为 求抛物线与双曲线方程 3 26 解 由题设知 抛物线以双曲线的右焦点为焦点 准线过双曲线的左焦点 p 2c 设抛物线方程为y2 4c x 抛物线过点 6 4c 3 26 3 2 c 1 故抛物线方程为y2 4x 又双曲线 1 过点 x2 a2 y2 b2 3 26 1 又a2 b2 c2 1 1 9 4a2 6 b2 9 4a2 6 1 a2 a2 或a2 9 舍 1 4 b2 故双曲线方程为 4x2 1 3 4 4y2 3 11 2009 年高考江苏卷 在平面直角坐标系xOy中 抛物线C的顶点在原点 经过点A 2 2 其焦点F在x轴上 1 求抛物线C的标准方程 2 求过点F 且与直线OA垂直的直线的方程 解 1 由题意 可设抛物线C的标准方程为y2 2px 因为点A 2 2 在抛物线C上 所以p 1 因此 抛物线C的标准方程是y2 2x 2 由 1 可得焦点F的坐标是 0 又直线OA的斜率为 1 故与直线OA垂直的 1 2 2 2 直线的斜率为 1 因此 所求直线的方程是x y 0 1 2 12 设抛物线过定点A 2 0 且以直线x 2 为准线 1 求抛物线顶点的轨迹C的方程 2 已知点B 0 5 轨迹C上是否存在满足 0 的M N两点 证明你的结 MB NB 论 解 1 设抛物线顶点P x y 则抛物线的焦点F 2x 2 y 由抛物线的定义可得 4 2x 2 2 2 y2 1 x2 4 y2 16 轨迹C的方程为 1 x 2 x2 4 y2