（浙江专用）2021版新高考数学一轮复习 第十章 计数原理与古典概率 1 第1讲 分类加法计数原理与分步乘法计数原理高效演练分层突破

1 第第 1 1 讲讲 分类加法计数原理与分步乘法计数原理分类加法计数原理与分步乘法计数原理 基础题组练 1 从集合 0 1 2 3 4 5 6 中任取两个互不相等的数a b组成复数a bi 其 中虚数的个数是 a 30 b 42 c 36 d 35 解析 选 c 因为a bi 为虚数 所以b 0 即b有 6 种取法 a有 6 种取法 由分步 乘法计数原理知可以组成 6 6 36 个虚数 2 用 10 元 5 元和 1 元来支付 20 元钱的书款 不同的支付方法有 a 3 种 b 5 种 c 9 种 d 12 种 解析 选 c 只用一种币值有 2 张 10 元 4 张 5 元 20 张 1 元 共 3 种 用两种币值的有 1 张 10 元 2 张 5 元 1 张 10 元 10 张 1 元 3 张 5 元 5 张 1 元 2 张 5 元 10 张 1 元 1 张 5 元 15 张 1 元 共 5 种 用三种币值的有 1 张 10 元 1 张 5 元 5 张 1 元 共 1 种 由分类加法计数原理得 共有 3 5 1 9 种 3 某电话局的电话号码为 139 若前六位固定 最后五位数字是由 6 或 8 组成的 则这样的电话号码的个数为 a 20 b 25 c 32 d 60 解析 选 c 依据题意知 最后五位数字由 6 或 8 组成 可分 5 步完成 每一步有 2 种 方法 根据分步乘法计数原理 符合题意的电话号码的个数为 25 32 4 用数字 1 2 3 4 5 组成没有重复数字的五位数 其中偶数的个数为 a 24 b 48 c 60 d 72 解析 选 b 先排个位 再排十位 百位 千位 万位 依次有 2 4 3 2 1 种排法 由分步乘法计数原理知偶数的个数为 2 4 3 2 1 48 5 已知两条异面直线a b上分别有 5 个点和 8 个点 则这 13 个点可以确定不同的平 面个数为 a 40 b 16 c 13 d 10 解析 选 c 分两类情况讨论 第 1 类 直线a分别与直线b上的 8 个点可以确定 8 个 2 不同的平面 第 2 类 直线b分别与直线a上的 5 个点可以确定 5 个不同的平面 根据分 类加法计数原理知 共可以确定 8 5 13 个不同的平面 6 如图所示 小圆圈表示网络的结点 结点之间的线段表示它 们有网线相连 连线标注的数字 表示该段网线单位时间内可以通 过的最大信息量 现从结点a向结点b传递信息 信息可以从分开 不同的路线同时传递 则单位时间内传递的最大信息量为 a 26 b 20 c 24 d 19 解析 选 d 因为信息可以从分开不同的路线同时传递 由分类加法计数原理 完成从 a向b传递有四种办法 12 5 3 12 6 4 12 6 7 12 8 6 故单位时间内传递的 最大信息量为四条不同网线上信息量的和 3 4 6 6 19 7 如图所示 使电路接通 开关不同的开闭方式有 a 11 种 b 20 种 c 21 种 d 12 种 解析 选 c 电路接通 则每一个并联电路中至少有一个开关闭合 再利用乘法原理求 解 两个开关并联的电路接通方式有 3 种 即每个开关单独接通共 2 种 两个开关都接通 有一种 所以共有 3 种 同理三个开关并联的电路接通方式有 7 种 由乘法原理可知不同 的闭合方式有 3 7 21 种 8 某市汽车牌照号码可以上网自编 但规定从左到右第二个号码只能从字母b c d 中选择 其他四个号码可以从 0 9 这十个数字中选择 数字可以重复 有车主第一个号码 从左到右 只想在数字 3 5 6 8 9 中选择 其他号码只想在 1 3 6 9 中选择 则他 的车牌号码可选的所有可能情况有 a 180 种 b 360 种 c 720 种 d 960 种 解析 选 d 按照车主的要求 从左到右第一个号码有 5 种选法 第二个号码有 3 种选 法 其余三个号码各有 4 种选法 因此车牌号码可选的所有可能情况有 5 3 4 4 4 960 种 9 直线l 1 中 a 1 3 5 7 b 2 4 6 8 若l与坐标轴围成的 x a y b 三角形的面积不小于 10 则这样的直线的条数为 a 6 b 7 3 c 8 d 16 解析 选 b l与坐标轴围成的三角形的面积为 s ab 10 即ab 20 1 2 当a 1 时 不满足 当a 3 时 b 8 即 1 条 当a 5 7 时 b 4 6 8 此时a的取法有 2 种 b的取法有 3 种 则直线l的 条数为 2 3 6 故满足条件的直线的条数为 1 6 7 故选 b 10 在如图所示的五个区域中 现有四种颜色可供选择 要求每一 个区域只涂一种颜色 相邻区域所涂颜色不同 则不同的涂色方法种数 为 a 24 种 b 48 种 c 72 种 d 96 种 解析 选 c 分两种情况 1 a c不同色 先涂a有 4 种 c有 3 种 e有 2 种 b d有 1 种 有 4 3 2 24 种 2 a c同色 先涂a有 4 种 e有 3 种 c有 1 种 b d各有 2 种 有 4 3 2 2 48 种 综上两种情况 不同的涂色方法共有 48 24 72 种 11 从班委会 5 名成员中选出 3 名 分别担任班级学习委员 文娱委员与体育委员 其中甲 乙二人不能担任文娱委员 则不同的选法共有 种 用数字作答 解析 第一步 先选出文娱委员 因为甲 乙不能担任 所以从剩下的 3 人中选 1 人 当文娱委员 有 3 种选法 第二步 从剩下的 4 人中选学习委员和体育委员 又可分两步进行 先选学习委员有 4 种选法 再选体育委员有 3 种选法 由分步乘法计数原理可得 不同的选法共有 3 4 3 36 种 答案 36 12 乘积 a b c d e f h i j k l m 展开后共有 项 解析 由 a b c d e f h i j k l m 展开式各项都是从每个因式中选一 个字母的乘积 由分步乘法计数原理可得其展开式共有 3 4 5 60 项 答案 60 13 在平面直角坐标系内 点p a b 的坐标满足a b 且a b都是集合 1 2 3 4 5 6 中的元素 又点p到原点的距离 op 5 则这样的点p的个数为 解析 依题意可知 4 当a 1 时 b 5 6 两种情况 当a 2 时 b 5 6 两种情况 当a 3 时 b 4 5 6 三种情况 当a 4 时 b 3 5 6 三种情况 当a 5 或 6 时 b各有五种情况 所以共有 2 2 3 3 5 5 20 种情况 答案 20 14 如图所示 在a b间有四个焊接点 若焊接点脱落 则可能导致电路不通 今发 现a b之间线路不通 则焊接点脱落的不同情况有 种 解析 采用排除法 各个焊点有 2 种情况 所以四个焊点共有 24种可能 其中能使线 路通的情况有 1 4 同时通 且 2 和 3 至少有一个通时线路才能通 共有 3 种可能 故不 通的情况共有 24 3 13 种情况 答案 13 15 将 4 个不同小球放入 3 个不同的盒子 其中每个盒子都不空的放法共有 种 解析 必有一个盒子放 2 个小球 将 4 个小球分 3 组 其中有 2 个小球为一组 另外 2 个小球为两组 共有 6 种分组方法 然后 每一种分组的小球放入 3 个不同盒子 按分 步乘法计数原理 有 3 2 1 种放法 共有 6 3 2 1 36 种 放法 答案 36 16 如果一条直线与一个平面垂直 那么称此直线与平面构成一个 正交线面对 在 一个正方体中 由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的 正交线面对 的个 数是 解析 分类讨论 第 1 类 对于每一条棱 都可以与两个侧面构成 正交线面对 这 样的 正交线面对 有 2 12 24 个 第 2 类 对于每一条面对角线 都可以与一个对角 面构成 正交线面对 这样的 正交线面对 有 12 个 所以正方体中 正交线面对 共 有 24 12 36 个 答案 36 17 已知集合a 最大边长为 7 且三边长均为正整数的三角形 则集合a的真子集 共有 个 解析 另外两个边长用x y x y n n 表示 且不妨设 1 x y 7 要构成三角形 必须x y 8 当y取 7 时 x可取 1 2 3 7 有 7 个三角形 5 当y取 6 时 x可取 2 3 6 有 5 个三角形 当y取 5 时 x可取 3 4 5 有 3 个三角形 当y取 4 时 x只能取 4 只有 1 个三角形 所以所求三角形的个数为 7 5 3 1 16 其真子集共有 216 1 个 答案 216 1 综合题组练 1 有一项活动需在 3 名老师 6 名男同学和 8 名女同学中选人参加 1 若只需一人参加 有多少种不同选法 2 若需一名老师 一名学生参加 有多少种不同选法 3 若需老师 男同学 女同学各一人参加 有多少种不同选法 解 1 只需一人参加 可按老师 男同学 女同学分三类各自有 3 6 8 种方法 总 方法数为 3 6 8 17 种 2 分两步 先选老师共 3 种选法 再选学生共 6 8 14 种选法 由分步乘法计数原 理知 总方法数为 3 14 42 种 3 老师 男 女同学各一人可分三步 每步方法依次为 3 6 8 种 由分步乘法计数 原理知 总方法数为 3 6 8 144 种 2 同室四人各写一张贺年卡 先集中起来 然后每人从中各拿 1 张别人送出的贺年卡 则 4 张贺年卡不同的分配方式有几种 解 设四个人为甲 乙 丙 丁 依次写的贺年卡为a b c d 第一步 甲有 3 种拿法 即拿了b c或d 第二步 对甲的每一种拿法 不妨设拿了乙的b卡 则乙也有 3 种拿法 即拿a c 或d 有 3 种拿法 若乙拿了甲的a卡 则丙 丁只能是丙拿d 丁拿c 若乙拿了丙的c卡 则丙只能拿d卡 丁拿a卡 若乙拿了丁的d卡 则丁只能拿c卡 丙拿a卡 所以分配方式共有 3 3 9 种 3 由数字 1 2 3 4 1 可组成多少个三位数 2 可组成多少个没有重复数字的三位数 3 可组成多少个没有重复数字 且百位数字大于十位数字 十位数字大于个位数字的 三位数 解 1 百位数共有 4 种排法 十位数共有 4 种排法 个位数共有 4 种排法 根据分步 乘法计数原理知共可组成 43 64 个三位数 2 百位上共有 4 种排法 十位上共有 3 种排法 个位上共有 2 种排法 由分步乘法计 6 数原理知共可排成没有重复数字的三位数 4 3 2 24 个 3 排出的三位数分别是 432 431 421 321 共 4 个 4 已知集合m 3 2 1 0 1 2 若a b c m 则 1 y ax2