一元二次方程解法及其配套练习

一元二次方程解法及其配套练习一元二次方程解法及其配套练习 一般地 任何一个关于 x 的一元二次方程 经过整理 都能化成如下形式 ax2 bx c 0 a 0 这种形式叫做一元二次方程的一般形式一般形式 解法一解法一 直接开方法直接开方法 适用范围 适用范围 可解部分一元二次方程 例例 1 解方程 1 2x 1 2 5 2 x 2 6x 9 2 例例 2 市政府计划 2 年内将人均住房面积由现在的 10m2提高到 14 4m 求每年人均住房面积增长率 例例 3 如图 在 ABC 中 B 90 点 P 从点 B 开始 沿 AB 边向点 B 以 1cm s 的速度移动 点 Q 从点 B 开始 沿 BC 边向点 C 以 2cm s 的速度移动 如果 AB 6cm BC 12cm P Q 都从 B 点同时 出发 几秒后 PBQ 的面积等于 8cm2 B C A Q P 例例 4 某公司一月份营业额为 1 万元 第一季度总营业额为 3 31 万元 求该公司二 三月份营业额平均增 长率是多少 归纳小结 归纳小结 共同特点 把一个一元二次方程 降次 转化为两个一元一次方程 我们把这种思想称为 降次转化思 想 由应用直接开平方法解形如 x2 p p 0 那么 x p转化为应用直接开平方法解形如 mx n 2 p p 0 那么 mx n p 达到降次转化之目的 若 p 0 则方程无解 配套练习题配套练习题 一 选择题一 选择题 1 若 x2 4x p x q 2 那么 p q 的值分别是 A p 4 q 2 B p 4 q 2 C p 4 q 2 D p 4 q 2 2 方程 3x2 9 0 的根为 A 3 B 3 C 3 D 无实数根 3 用配方法解方程 x2 2 3 x 1 0 正确的解法是 A x 1 3 2 8 9 x 1 3 2 2 3 B x 1 3 2 8 9 原方程无解 C x 2 3 2 5 9 x1 2 3 5 3 x2 25 3 D x 2 3 2 1 x1 5 3 x2 1 3 二 填空题二 填空题 1 若 8x2 16 0 则 x 的值是 2 如果方程 2 x 3 2 72 那么 这个一元二次方程的两根是 3 如果 a b 为实数 满足34a b2 12b 36 0 那么 ab 的值是 三 综合提高题三 综合提高题 1 解关于 x 的方程 x m 2 n 2 某农场要建一个长方形的养鸡场 鸡场的一边靠墙 墙长 25m 另三边用木栏围成 木栏长 40m 1 鸡场的面积能达到 180m2吗 能达到 200m 吗 2 鸡场的面积能达到 210m2吗 3 在一次手工制作中 某同学准备了一根长 4 米的铁丝 由于需要 现在要制成一个矩形方框 并 且要使面积尽可能大 你能帮助这名同学制成方框 并说明你制作的理由吗 解法二解法二 配方法配方法 适用范围 可解全部一元二次方程适用范围 可解全部一元二次方程 引例 引例 要使一块矩形场地的长比宽多 6m 并且面积为 16m2 场地的长和宽各是多少 像上面的解题方法 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法 叫配方法 像上面的解题方法 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法 叫配方法 可以看出 配方法是为了降次 把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解 配方法解一元二次方程的一般步骤 配方法解一元二次方程的一般步骤 1 现将已知方程化为一般形式 2 化二次项系数为 1 3 常数项移到右边 4 方程两边都加上一次项系数的一半的平方 使左边配成一个完全平方式 5 变形为 x p 2 q 的形式 如果 q 0 方程的根是 x p q 如果 q 0 方程无实根 用配方法解一元二次方程小口诀用配方法解一元二次方程小口诀 二次系数化为一 常数要往右边移 一次系数一半方 两边加上最相当 例例 1 用配方法解下列关于 x 的方程 1 x2 8x 1 0 2 x2 2x 1 2 0 例例 2 如图 在 Rt ACB 中 C 90 AC 8m CB 6m 点 P Q 同时由 A B 两点出发分别沿 AC BC 方向向点 C 匀速移动 它们的速度都是 1m s 几秒后 PCQ 的面积为 Rt ACB 面积的一半 B C A Q P 例例 3 解下列方程 1 2x2 1 3x 2 3x2 6x 4 0 3 1 x 2 2 1 x 4 0 例例 4 用配方法解方程 6x 7 2 3x 4 x 1 6 例例 5 求证 无论 y 取何值时 代数式 3 y2 8y 6 恒小于 0 配套练习题配套练习题 一 选择题一 选择题 1 配方法解方程 2x2 4 3 x 2 0 应把它先变形为 A x 1 3 2 8 9 B x 2 3 2 0 C x 1 3 2 8 9 D x 1 3 2 10 9 2 下列方程中 一定有实数解的是 A x2 1 0 B 2x 1 2 0 C 2x 1 2 3 0 D 1 2 x a 2 a 3 已知 x2 y2 z2 2x 4y 6z 14 0 则 x y z 的值是 A 1 B 2 C 1 D 2 4 将二次三项式 x2 4x 1 配方后得 A x 2 2 3 B x 2 2 3 C x 2 2 3 D x 2 2 3 5 已知 x2 8x 15 0 左边化成含有 x 的完全平方形式 其中正确的是 A x2 8x 4 2 31 B x2 8x 4 2 1 C x2 8x 42 1 D x2 4x 4 11 6 如果 mx2 2 3 2m x 3m 2 0 m 0 的左边是一个关于 x 的完全平方式 则 m 等于 A 1 B 1 C 1 或 9 D 1 或 9 二 填空题二 填空题 1 方程 x2 4x 5 0 的解是 2 代数式 2 2 2 1 xx x 的值为 0 则 x 的值为 3 已知 x y x y 2 8 0 求 x y 的值 若设 x y z 则原方程可变为 所以求出 z 的值 即为 x y 的值 所以 x y 的值为 4 如果 x2 4x 5 0 则 x 5 无论 x y 取任何实数 多项式 x2 y2 2x 4y 16 的值总是 数 6 如果 16 x y 2 40 x y 25 0 那么 x 与 y 的关系是 三 综合提高题三 综合提高题 1 用配方法解方程 1 9y2 18y 4 0 2 x2 3 23x 2 已知三角形两边长分别为 2 和 4 第三边是方程 x2 4x 3 0 的解 求这个三角形的周长 3 如果 x2 4x y2 6y 2z 13 0 求 xy z的值 4 新华商场销售某种冰箱 每台进货价为 2500 元 市场调研表明 当销售价为 2900 元时 平 均每天能售出 8 台 而当销售价每降 50 元时 平均每天就能多售出 4 台 商场要想使这种冰箱的销售利 润平均每天达 5000 元 每台冰箱的定价应为多少元 5 已知 x2 4x y2 6y 13 0 求 22 2xy xy 的值 6 某商场销售一批名牌衬衫 平均每天可售出 20 件 每件赢利 40 元 为了扩大销售 增加盈利 尽快减少库存 商场决定采取适当降价措施 经调查发现 如果每件衬衫每降价一元 商场平均每天可 多售出 2 件 若商场平均每天赢利 1200 元 每件衬衫应降价多少元 每件衬衫降价多少元时 商场平均每天赢利最多 请你设计销售方案 解法三解法三 公式法公式法 适用范围 可解全部一元二次方程适用范围 可解全部一元二次方程 首先 要通过 b 2 4ac 的根的判别式来判断一元二次方程有几个根 1 当 b 2 4ac0 时 x 有两个不相同的实数根 1 解一元二次方程时 可以先将方程化为一般形式 ax2 bx c 0 当 b2 4ac 0 时 将 a b c 代入 式子 x 2 4 2 bbac a 就得到方程的根 公式所出现的运算 恰好包括了所学过的六中运算 加 减 乘 除 乘方 开方 这体现了公式的统一性与和谐性 2 这个式子叫做一元二次方程的求根公式 3 利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法 公式的理解 4 由求根公式可知 一元二次方程最多有两个实数根 例例 1 用公式法解下列方程 1 2x2 x 1 0 2 x2 1 5 3x 3 x2 2x 1 2 0 4 4x2 3x 2 0 配套练习题配套练习题 一 选择题一 选择题 1 用公式法解方程 4x2 12x 3 得到 A x 36 2 B x 36 2 C x 32 3 2 D x 32 3 2 2 方程2x2 43x 62 0 的根是 A x1 2 x2 3 B x1 6 x2 2 C x1 22 x2 2 D x1 x2 6 3 m2 n2 m2 n2 2 8 0 则 m2 n2的值是 A 4 B 2 C 4 或 2 D 4 或 2 二 填空题二 填空题 1 一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 的求根公式是 条件是 2 当 x 时 代数式 x2 8x 12 的值是 4 3 若关于 x 的一元二次方程 m 1 x2 x m2 2m 3 0 有一根为 0 则 m 的值是 三 综合提高题三 综合提高题 1 用公式法解关于 x 的方程 x2 2ax b2 a2 0 2 设 x1 x2是一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 的两根 1 试推导 x1 x2 b a x1 x2 c a 2 求代数式 a x13 x23 b x12 x22 c x1 x2 的值 3 某电厂规定 该厂家属区的每户居民一个月用电量不超过 A 千瓦时 那么这户居民这个月只交 10 元电费 如果超过 A 千瓦时 那么这个月除了交 10 元用电费外超过部分还要按每千瓦时 100 A 元收 费 1 若某户 2 月份用电 90 千瓦时 超过规定 A 千瓦时 则超过部分电费为多少元 用 A 表示 2 下表是这户居民 3 月 4 月的用电情况和交费情况 月份用电量 千瓦时 交电费总金额 元 3 80 25 4 45 10 根据上表数据 求电厂规定的 A 值为多少 解法四解法四 分解因式法分解因式法 适用范围适用范围 可解部分一元二次方程 因式分解法又分 提公因式法 公式法 又分 平方差公式 和 完全平方公式 两种 和 十字相乘法 因式分解法是通过将方程左边因式分解所得 因式分解的内容 在八年级上学期学完 例例 1 解方程 1 4x2 11x 2 x 2 2 2x 4 例例 2 已知 9a2 4b2 0 求代数式的值 22 abab baab 配套练习题配套练习题 一 选择题一 选择题 1 下面一元二次方程解法中 正确的是 A x 3 x 5 10 2 x 3 10 x 5 2 x1 13 x2 7 B 2 5x 5x 2 2 0 5x 2 5x 3 0 x1 2 5 x2 3 5 C x 2 2 4x 0 x1 2 x2 2 D x2 x 两边同除以 x 得 x 1 2 下列命题 方程 kx2 x 2 0 是一元二次方程 x 1 与方程 x2 1 是同解方程 方程 x2 x 与方程 x 1 是同解方程 由 x 1 x 1 3 可得 x 1 3 或 x 1 3 其中正确的命题有 A 0 个 B 1 个 C 2 个 D 3 个 3 如果不为零的 n 是关于 x 的方程 x2 mx n 0 的根 那么 m n 的值为 A 1 2 B 1 C 1 2 D 1 二 填空题二 填空题 1 x2 5x 因式分解结果为 2x x 3 5 x 3 因式分解的结果是 2 方程 2x 1 2 2x 1 的根是 3 二次三项式 x2 20 x 96 分解因式的结果为 如果令 x2 20 x 96 0 那么它的两个根是 三 综合提高题三 综合提高题 1 用因式分解法解下列方程 1 3y2 6y 0 2 25y2 16 0 3 x2 12x 28 0 4 x2 12x 35 0 2 已知 x y x y 1 0 求 x y 的值 3 今年初 湖北武穴市发生禽流感 某养鸡专业户在禽流感后 打算改建养鸡场 建一个面积为 150m2的长方形养鸡场 为了节约材料 鸡场的一边靠着原有的一条墙 墙长 am 另三边用竹篱围成 如 果篱笆的长为 35m 问鸡场长与宽各为多少 其中 a 20m 小结 小结 一般解一元二次方程 最常用的方法还是因式分解法 在应用因式分解法时 一般要先 将方程写成一般形式 同时应使二次项系数化为正数 直接开平方法是最基本的方法 公式法和配方法是最重要的方法 公式法适用于任何一元二次方程 有人称之为万能法 在使用公式法时 一定要把原方程化成一般形式 以便确定系数 而且在用公式前应先计 算根的判别式的值 以便判断方程是否有解 配方法是推导公式的工具 掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了 所以 一般不用配方法解一元二次方程 但是 配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用 是初 中要求掌握的三种重要的数学方法之一 一定要掌握好 三种重要的数学方法 换元法 配方法 待定系数法 三种方法 配方法 公式法 因式分解法 的联系与区别 三种方法 配方法 公式法 因式分解法 的联系与区别 联系 联系 降次 即它的解题的基本思想是 将二次方程化为一次方程 即降次 公式法是由配方法推导而得到 配方法 公式法适用于所有一元二次