闽粤赣三省十二校2020届高三数学下学期联考试题 理（PDF）

第 1 页 共 5 页 2020 届 三省十二校 联考 数学 理科 试题 第 i 卷 选择题 共 60 分 一 选择题 本大题共 12 个小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选 项中 只有一项是符合题目要求的 第 i 卷 选择题 共 60 分 一 选择题 本大题共 12 个小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选 项中 只有一项是符合题目要求的 1 已知集合 2 20axr xx 1 0 1 b 则ab a 1 0 1 b 1 0 c 0 1d 0 2 已知 izi43 为虚数单位i 则复数z在复平面上所对应的点在 a 第一象限 b 第二象限 c 第三象限 d 第四象限 3 4 log 0 4m 0 4 4n 0 5 0 4p 则 a mnp b mpn c pmn d npm 4 如图 为等腰直角三角形 为斜边 的高 为线段的中 点 则 a b c d 5 某调查机构对全国互联网行业进行调查统计 得到整个互联网 行业从业者年龄分布饼状图 90 后从事互联网行业者岗位分布条形 图 则下列结论中不一定正确的是 注 90 后指 1990 年及以后出生 80 后指 1980 1989 年之间出生 80 前指 1979 年及以前 出生 a 互联网行业从业人员中 90 后占一半以上 b 互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的 20 c 互联网行业中从事运营岗位的人数 90 后比 80 前多 d 互联网行业中从事技术岗位的人数 90 后比 80 后多 2020 2 19 考试时间 150 分钟总分 150 分 第 2 页 共 5 页 6 已知 a b c是双曲线 22 22 1 0 0 xy ab ab 上的三个点 ab经过原点o ac经过右 焦点f 若bfac 且2 afcf 则该双曲线的离心率是 a 3 5 b 3 17 c 2 17 d 4 9 7 函数 2 2 logf xxx 则不等式0 3 1 fxf的解集为 4 1 a 1 4 b 2 1 1 4 c 4 1 1 1 d 8 已知函数 2sin0 2 fxx 的两条相邻对称轴的距离为 2 把 fx的图象向右平移 6 个单位得函数 g x的图象 且 g x为偶函数 则 fx的单调增 区间为 a 4 2 2 33 kkkz b 4 33 kkkz c 2 2 63 kkkz d 63 kkkz 9 已知直三棱柱 111 abcabc 的各顶点都在球 o 的球面上 且32 2 bcacab 若球 o 的体积为 3 5160 则这个直三棱柱的体积等于 a 24 b 38 c 8 d 54 10 在abc 中 内角 a b c所对的边分别为 a b c s为abc 的面积 sin ac 22 2s bc 且 a b c成等差数列 则c的大小为 a 3 b 3 2 c 6 d 6 5 11 已知函数 2 0 e 0 x x x f x x exg x e是自然对数的底数 若关于x的方程 0g f xm 恰有两个不等实根 1 x 2 x 且 12 xx 则 21 xx 的最小值为 第 3 页 共 5 页 a 1 1ln2 2 b 1 ln2 2 c 1ln2 d 1 1ln2 2 12 设m n是抛物线 2 yx 上的两个不同的点 o是坐标原点 若直线om与on的 斜率之积为 1 2 则 a 4 2omon b 以mn为直径的圆的面积大于4 c 直线mn过抛物线 2 yx 的焦点 d o到直线mn的距离不大于 2 第 ii 卷 非选择题 共 90 分 第 ii 卷 非选择题 共 90 分 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 请把正确的答案填在横 线上 13 已知 1 1 211 2 3 2 2 若幂函数 a f xx 为奇函数 且在 0 上递 减 则a 14 函数 cos x f xex 的图象在点 0 0 f处的切线的倾斜角为 15 有 4 名高三学生准备高考后到上海市 江苏省 浙江省 安徽省 4 个地方旅游 假设 每名同学均从这 4 个地方中任意选取一个去旅游 则恰有一个地方未被选中的概率为 16 如图 三棱锥 a bcd 中 ac ad bc bd 10 ab 8 cd 12 点 p 在侧面 acd 上 且到直线 ab 的距离为21 则 pb 的最大值是 三 解答题 本大题共 6 小题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演 算步骤 解答应写在答题卡上的指定区域内 17 已知公差不为 0 的等差数列 n a满足9 3 a 2 a是 71 a a的等比中项 1 求数列 n a的通项公式 2 数列 n b满足 7 1 n n an b 求数列 n b的前n项的 n s 18 如图 在四棱锥pabcd 中 底面abcd是正方形 1 paab 2pbpd 第 4 页 共 5 页 1 证明 bd 平面pac 2 若e是pc的中点 f是棱pd上一点 且 be平面acf 求二面角facd 的余弦值 19 已知椭圆 22 22 1 0 5 xy cb bb 的一个焦点坐标为 2 0 求椭圆c的方程 已知点 3 0 e 过点 1 0 的直线l 与x轴不重合 与椭圆c交于 m n两点 直 线me与直线5x 相交于点f 试证明 直线fn与x轴平行 20 一年之计在于春 一日之计在于晨 春天是播种的季节 是希望的开端 某种植户对一 块地的 n nn 个坑进行播种 每个坑播 3 粒种子 每粒种子发芽的概率均为 1 2 且每粒 种子是否发芽相互独立 对每一个坑而言 如果至少有两粒种子发芽 则不需要进行补播种 否则要补播种 1 当n取何值时 有 3 个坑要补播种的概率最大 最大概率为多少 2 当4n 时 用x表示要补播种的坑的个数 求x的分布列与数学期望 21 本小题 12 分 已知函数 1 sinln1 22 m f xxxx fx 是 f x的导函数 1 证明 当2m 时 fx 在 0 上有唯一零点 2 若存在 12 0 x x 且 12 xx 时 12 f xf x 证明 2 12 x xm 第 5 页 共 5 页 请考生在 22 23 题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题计分 作答时请写清题 号 请考生在 22 23 题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题计分 作答时请写清题 号 22 本小题满分 本小题满分 10 分 分 选修 4 4 坐标系与参数方程 在极坐标系中 曲线 c 的极坐标方程为6cos 以极点为原点 极轴为 x 轴的正半轴建 立平面直角坐标系 直线 l 的参数方程为 2cos 1sin xt yt t 为参数 若 2 求曲线c的直角坐标方程以及直线 l 的极坐标方程 设点 1 2 p 曲线c与直线 l 交于ba 两点 求 22 papb 的最小值 23 本小题满分本小题满分 10 分分 选修 4 5 不等式选讲 已知函数 1 3 fxxa a r 1 当2a 时 解不等式 1 1 3 xfx 2 设不等式 1 3 xfxx 的解集为m 若 1 1 3 2 m 求实数a的取值范围 第 1 页 共 6 页 2020 届 三省十二校 联考 数学 理科 答案 一 选择题 一 选择题 题 号 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 c b b b d b c d b c a d 二 填空题 13 1 14 4 15 9 16 16 57 三 解答题 17 1 设等差数列的公差为 则 解得 或 舍去 2 18 1 证明 1paabad 2pbpd 222 paabpb 222 paadpd paab paad abada ab ad 平面abcd pa 平面abcd 而bd 平面abcd 第 2 页 共 6 页 pabd 又 abcd为正方形 acbd paaca pa ac 平面 pac bd 平面pac 2 解 如图 连接ed 取ed的中点m 设acbdo 连接om 则be om 从而be 平面acm 平面acm与pd的交点即为f 以ob oc oe 为 x y z轴建立如图所示的空间直角坐标系o xyz 2 0 0 2 oc 1 0 0 2 oe 2 0 0 2 od 21 0 244 oeod om 平面acf即平面acm 设其法向量为 nx y z 则 0 0 n oc n om 即 0 20 y xz 令1x 得 1 0 2n 易知平面acd的一个法向量为 0 0 1m 26 cos 33 m n m n m n 因为二面角facd 为锐二面角 故所求余弦值为 6 3 19 由题意可知 22 2 5 c ab 所以 22 5 1ab 所以椭圆c的方程为 2 2 1 5 x y 当直线l的斜率不存在时 此时mnx 轴 设 1 0d 直线5x 与x轴相交于 第 3 页 共 6 页 点g 易得点 3 0e是点 1 0d和点 5 0g的中点 又因为mddn 所以fgdn 所以直线 fn x轴 当直线l的斜率存在时 设直线l的方程为 10yk xk 1122 m x yn xy 因为点 3 0e 所以直线me的方程为 1 1 3 3 y yx x 令5x 所以 11 11 2 53 33 f yy y xx 由 22 1 55 yk x xy 消去y得 2222 1 510510kxk xk 显然0 恒成立 所以 2 2 1212 22 51 10 5151 k k xxx x kk 因为 211211 1 22 111 3213212 333 f yxyk xxk xy yyy xxx 2 2 22 1212 11 51 10 35 5151 35 33 k k k kk k x xxx xx 222 2 1 51 651 0 513 kkkk kx 所以 2f yy 所以直线 fn x轴 综上所述 所以直线 fn x轴 20 1 当5n 或6n 时 有 3 个坑要补播种的概率最大 最大概率为 5 16 2 见解 1 将有 3 个坑需要补种表示成n的函数 考查函数随n的变化情况 即可得到n为何值 时有 3 个坑要补播种的概率最大 2 n 4 时 x的所有可能的取值为 0 1 2 3 4 分 别计算出每个变量对应的概率 列出分布列 求期望即可 1 对一个坑而言 要补播种的概率 33 01 33 111 222 pcc 有 3 个坑要补播种的概率为 3 1 2 n n c 第 4 页 共 6 页 欲使 3 1 2 n n c 最大 只需 1 33 1 1 33 1 11 22 11 22 nn nn nn nn cc cc 解得56n 因为 nn 所以 5 6 n 当5n 时 5 3 5 15 216 c 当6n 时 6 3 6 15 216 c 所以当5n 或6n 时 有 3 个坑要补播种的概率最大 最大概率为 5 16 2 由已知 x的可能取值为 0 1 2 3 4 1 4 2 xb 所以x的分布列为 x 0 1 2 3 4 p 1 16 1 4 3 8 1 4 1 16 x的数学期望 1 42 2 ex 21 1 证明 当2m 时 1 sinln1 2 f xxxx 11 1cos 2 fxx x 当 0 x 时 fx 为增函数 且 1333 10 344 f 31 0 2 f fx 在 0 上有唯一零点 当 x 时 11 1cos 2 fxx x 1111 10 22x 厖 fx 在 上没有零点 综上知 fx 在 0 上有唯一零点 2 证明 不妨设 12 0 xx 由 12 f xf x 得 111 1 sinln1 22 m xxx 222 1 sinln1 22 m xxx 212121 1 lnlnsinsin 22 m xxxxxx 设 sing xxx 则 1 cos0g xx 故 g x 在 0 为增函数 第 5 页 共 6 页 2211 sinsinxxxx 从而 2121 sinsinxxxx 21 lnln 2 m xx 212121 11 sinsin 22 xxxxxx 21 21 lnln xx m xx 下面证明 21 12 21 lnln xx x x xx 令 2 1 x t x 则1t 即证明 1 ln t t t 只要证明 1 ln0 t t t 设 1 ln t h tt t 则 2 1 0 2 t h t t t h t在 1 单调递减 当1t 时 1 0h th 从而 得证 即 21 12 21 lnln xx x x xx 12 mx x 即 2 12 x xm 22 1 曲线 c 2 6cos 将cos sinxy 代入得 x2 y2 6x 0 即曲线 c 的直角坐标方程为 x 3 2 y2 9 直线 l 2 1 x yt t 为参数 所以 x 2 故直线 l 的极坐标方程为cos2 5 分 2 联立直线 l 与曲线 c 的方程得 22 cossin sin1 9tt 即 2 2 cossin 70tt 设点 a b 对应的参数分别为 t1 t2 则 121 2 2 cossin 7ttt t 因为 22 2222 12121 2 24 cossin 144sin21814papbttttt t 当sin21 时取等号 所以 22 papb 的最小值为 14 1