初中数学 数学名师 弗罗贝尼乌斯

1 弗罗贝尼乌斯弗罗贝尼乌斯 弗罗贝尼乌斯 f g frobenius ferdinand georg 1819 年 10 月 26 日生于德国柏林 1917 年 8 月 3 日卒于柏林州夏洛滕堡 charlottenburg 数学 弗罗贝尼乌斯的父亲 c f 弗罗贝尼乌斯是一位教区牧师 母亲名叫伊丽莎白 elisabeth 姓弗里德里希 friedrich 弗罗贝尼乌斯的青少年时代正值德国资产阶级 力量快速增长 经济迅猛发展 从农业国变成工业国的时期 这种经济的持续繁荣为 1871 年德意志的民族统一打下了基础 社会的巨大变化要求教育体制与之相适应 但弗罗贝尼 乌斯是在传统体制下接受早期教育的 他先就读于柏林的约阿希姆斯塔尔 joachimthal 文 科中学 gymnasium 那是大学的预备学校 自 1834 年后 只有通过文科中学的毕业考试 这条渠道 青年才能进入大学继续深造 文科中学垄断毕业考试的状况直至 20 世纪初才告 结束 弗罗贝尼鸟斯在文科中学打下古典语文 历史 人文学科及数学 自然科学等各门 知识的良好基础后 1867 年进入格丁根大学 开始他的数学学习 当时德国大学中没有数 学系 数学是哲学院中的一个专业 有哲学博士学位 而没有单独的数学博士学位 1870 年 弗罗贝尼乌斯在柏林完成学业并获博士学位 这一年的下半年 他任教于母校约阿希 姆斯塔尔文科中学 次年转入一所实科学校 re alschule 执教 在这种学校里 数学和自 然科学成为教学中的重要组成部分 这是德国中等教育由单轨制学校转变成双轨制学校的 体现 现在 realschu1e 成为 mittleschule 中学 的同义词 当时 随着世界科学中心的转移 数学研究中心也由法国移至德国 除 1825 年创刊的 纯粹与应用数学杂志 journal f r diefeine und angenandte mathematik 外 1869 年又创刊发行了 数学年鉴 mathematische annalen 70 年代 虽然格丁根继 c f 高斯 gauss p g l 狄利克雷 dirichlet 和 g f b 黎曼 riemann 之后处 于相对低潮 但柏林却由于 e e 库默尔 kummer k t w 魏尔斯特拉斯 weierstrass l 克罗内克 kronecker 等人而比较繁荣 处于这样一种良好的研究氛围 中 弗罗贝尼乌斯撰写了一系列比较优秀的数学论文 1874 年 他被聘为柏林大学副教授 第二年又成为瑞士苏黎士高等工业学校 eidgeen ssische polytechnikum 教授 1876 年 弗罗贝尼乌斯与 a 莱曼 lehmann 结婚 1870 年左右 群论成为数学研究的主流之一 弗罗贝尼乌斯在柏林时就受到库默尔和 克罗内克的影响 对抽象群理论产生兴趣并从事这方面的研究 发表了多篇有价值的论 文 1892 年 他重返柏林大学任数学教授 1893 年当选为柏林普鲁士科学院院士 弗罗贝尼乌斯的论文数量很多 其中相当一部分非常重要 他有几篇文章是与其他著 名学者合作的 尤其与 l 施蒂克尔贝格 stickelberger 和 i 舒尔 schur 的合作最为成 功 舒尔是弗罗贝尼乌斯的学生 被认为是抽象群表示论的初创者之一 他发展和简化了 弗罗贝尼乌斯的一些结果 弗罗贝尼乌斯生前没有专著出版 1968 年 他的论文以论文集 的形式重新出版 共 3 卷 弗罗贝尼乌斯在 函数 行列式 矩阵 双线性型以及代数结构方面都有出色的工 作 1874 年 他给出有正则奇点的任意次齐次线性微分方程的一种无穷级数解 后被称为 弗罗贝尼乌斯方法 关于这一问题的系统研究是由魏尔斯特拉斯的学生 i l 富克斯 fiuchs 开创的 1878 年 弗罗贝尼乌斯发表了正交矩阵的正式定义 并对合同矩阵进行 了研究 1879 年 他联系行列式引入矩阵秩的概念 弗罗贝尼乌斯还扩展了魏尔斯特拉斯 在不变因子和初等因子方面的工作 以合乎逻辑的形式整理了不变因子和初等因子理论 这对线性微分方程理论具有重要意义 1880 年 弗罗贝尼乌斯提出发散级数的一种可和性 定义 他的结果后来被 o l 赫尔德 h 1der 推广 成为 h r 求和法 弗罗贝尼乌斯的主要数学贡献在群论方面 尤其是群的表示理论 群的思想萌芽虽然 2 在数学史上出现得很早 但其概念直至 19 世纪后半叶才正式出现 19 世纪 70 80 年代 数学家们通过联系群的三个主要历史根源创造了抽象群的概念 这三个根源是 代数方程 的求解理论 包括伽罗瓦群 置换群 几何 包括有限和无限变换群 李群 数论 包括 二次型的组合 加法群 抽象群是现代意义下第一个抽象的数学结构 弗罗贝尼乌斯对抽 象群概念的形成做出奠基性的贡献 在与施蒂克尔贝格合作的 关于可换元素群 ueber gruppenvon vertauschbaren elementen 1879 中 他指出抽象群的概念应当包含同余 高斯二次型组合以及 伽罗瓦 galois 的置换群 他还提到了无限群 发表于 1895 年的 有限群 ber endliche gruppen 也是关于抽象群概念的一篇重要文章 群的抽象概念 完成之后 弗罗贝尼乌斯开始研究抽象群理论中的具体问题 1887 年 他证明了有限抽象 群的叙洛夫 sylow 定理 即如果一个有限群的阶 有限群的阶指它包含的元素的个数 能被 一个素数 p 的方幂 pn 整除 则它恒包含一个 pn 阶子群 19 世纪 90 年代 弗罗贝尼乌斯 研究可解群 发现阶不能被一个素数的平方整除的群全都是可解的 研究什么样的群可解 对于确定群的结构很重要 19 世纪末 20 世纪初 受 j w r 戴德金 dedekind 来信的鼓舞 弗罗贝尼乌斯开始 创立和发展群论中最系统和最本质的部分 有限群的表示理论 作为群表示论的开端 他对于有限群中 n 个变量的线性代换理论产生重大影响 这一理论的所有重要方面最终由 弗罗贝尼乌斯和舒尔共同完成 群表示论就是用具体的线性群 矩阵群 来描述群的理 论 其核心是群特征标理论 弗罗贝尼乌斯发表的与这一论题相联系的论文有 群特征标 ber die gruppencharaktere 1896 论有限群线性代换 ber die darstellungder endlichen gruppen durch linearesubstitutionen 1897 1899 关于群特征的结构 ber diekomposition der charaktere einer gruppe 1899 以及与舒尔合作的 论实 有限群 ber die reellen darstellungen der end lichen gruppen 1906 等 在发表于 1896 年的三篇文章 可交换矩阵 ber vertausch bare matrizen 群 特征标 和 群行列式的素因子 ber dieprimfaktoren der gruppendeterminante 中 弗罗贝尼乌斯建立了有限群特征论的基础 解决了戴德金提出的非阿贝尔群的群行列式分 解问题 在 论有限群线性代换 中 弗罗贝尼乌斯首次介绍了有限群的表示这一概念 设 g 是有限群 c 是复数域 他定义一个表示是一个同态 t g gld c 这里 gld c 是 c 上可 逆的 d d 矩阵群 d 还对有限群引进可约表示和完全可约表示的概念 证明了一个正则表 示包含所有不可约表示 在这篇文章中 他定义在一般情形下 表示 t 和 t g gld c 是等价的 如果它们有相同的度数 即 d d x t g 特别地 对 g g 矩阵 r g 和 r g 是相似的 因此它们有相同的关于相似性的数值不变量 相同 的特征值集合 相同的特征多项式 迹和行列式 表示论的重要不变量是迹函数 弗罗贝 尼乌斯称 x g t g g g 的迹为表示的特征 这个定义比较简单 成为今天的标准定 义 在 群特征标 一文中 他曾给出一个叙述颇为复杂的定义 特征实际上确定了表示 可以证明 两个表示等价 当且仅当他们的特征等价 可见研究有限群的特征有重要意 义 群的特征的概念后来又被弗罗贝尼乌斯及其他人应用到无限群上 在 群与其子群特征之间的关系 ber relationen zwischenden charakteren einer gruppe und denen iher untergruppen 1898 一文中 弗罗贝尼乌斯对群 g 的特征 和 g 的子群 h 的特征之间的关系进行了深刻的分析 他正确地认识到了解这一关系对于表 示和特征的实际计算非常重要 在这篇文章中 弗罗贝尼乌斯给出诱导类函数的定义 g g 他还证明了一个现在称为弗罗贝尼乌斯互反律的基本结果 即若 与 分别是 g 与 3 h 的不可约表示 则 在 h 即 限制到 h 上 的完全分解中出现的重数等于 在诱导 表示 g 要工具 弗罗贝尼乌斯关于诱导特征的推广称为例外特征理论 从 1896 年至 1907 年间 弗罗贝尼乌斯发表了 20 多篇论文 从各方面扩展了特征论和 表示论 专门论述了对称群的特征 变换群的特征等 他还得出仅存在少数几个不可约表 示 其他所有表示都是由它们组合而成的重要结果 与弗罗贝尼乌斯同时 英国数学家 w 伯恩赛德 burnside 也独立发展了表示论和特 征的方法 他的 有限阶群论 theoryof groups of finite order 1897 的第二版 1911 是群论的经典著作之一 在这本书中他表达了对弗罗贝尼乌斯的感谢 有限阶群 作为线性变换的表示论主要由弗罗贝尼乌斯教授创立 而同源的群特征理论完全由他创立 20 世纪 20 年代 a e 诺特 no ether 强调了 模 这一代数结构的重要性 她将代 数结构和群表示论融合为一 推进了这两个分支的发展 后来 r d 布劳尔 brauer 深 化群表示论的研究 引进模表示论 有限群的表示论已推广到无限群 特别是局部紧拓扑群 这