新人教版七年级下册数学平方根教案.

如皋市江安镇滨江初级中学七年级数学备课组 主备人 张剑峰 21 课题课题 6 16 1 平方根平方根 第第 1 1 课时课时 教学目标 1 通过实际生活中的例子理解算术平方根的概念 2 会求非负数的算术平方根并会用符号表示 教学重点 算术平方根的概念和求法 教学难点 算术平方根的求法 集体智慧集体智慧 活动方案 个性调整个性调整 情境引入 情境引入 问题 学校要举行美术作品比赛 小欧很高兴 他 想裁出一块面积为的正方形画布 画上自己 2 25dm 得意的作品参加比赛 这块正方形画布的边长应取 多少 活动一活动一 认识算术平方根认识算术平方根 1 探索 学生能根据已有的知识即正方形的面积公式 边长的平方等于面积 求出正方形画布的边长为 dm5 接下来教师可以再深入地引导此问题 如果正方形的面积分别是 1 9 16 36 那么正方形的边长分别是多少 25 4 呢 学生会求出边长分别是 1 3 4 6 接下 5 2 来教师可以引导性地提问 上面的问题它们有共同 点吗 它们的本质是什么呢 这个问题学生可能总 结不出来 教师需加以引导 上面的问题 实际上是已知一个正数的平方 求这个正数的问题 2 归纳 归纳 算术平方根的概念 算术平方根的概念 一般地 如果一个正数一般地 如果一个正数 x x 的平方等于的平方等于 a a 即 即 如皋市江安镇滨江初级中学七年级数学备课组 主备人 张剑峰 25 x x2 2 a a 那么这个正数那么这个正数 x x 叫做叫做 a a 的算术平方根 的算术平方根 算术平方根的表示方法 算术平方根的表示方法 a a 的算术平方根记为的算术平方根记为 读作 读作 根号根号 a a 或或a 二次很号二次很号 a a a a 叫做被开方数 叫做被开方数 活动二活动二 求非负数的算术平方根求非负数的算术平方根 例 1 求下列各数的算术平方根 100 64 49 9 7 10001 0 0 解 因为所以的算术平方根是 100102 10010 即 10100 因为 所以的算术平方根是 64 49 8 7 2 64 49 8 7 即 8 7 64 49 因为 所以的算术平方 9 16 3 4 9 16 9 7 1 2 9 7 1 根是 即 3 4 3 4 9 16 9 7 1 因为 所以的算术平方根0001 0 01 0 2 0001 0 是 即 01 0 01 0 0001 0 因为 所以的算术平方根是 002 00 即 00 注 注 根据算术平方根的定义解题 明确平方与开根据算术平方根的定义解题 明确平方与开 平方互为逆运算 平方互为逆运算 求带分数的算术平方根 需要先把带分数化求带分数的算术平方根 需要先把带分数化 成假分数 然后根据定义去求解 成假分数 然后根据定义去求解 0 0 的算术平方根是的算术平方根是 0 0 由此例题教师可以引导学生思考如下问题 如皋市江安镇滨江初级中学七年级数学备课组 主备人 张剑峰 26 你能求出 1 36 100 的算术平方根吗 任 意一个负数有算术平方根吗 归纳 一个正数的算术平方根有归纳 一个正数的算术平方根有 1 1 个 个 0 0 的算术平方根是的算术平方根是 0 0 负数没有算术平方根负数没有算术平方根 即 只有非负数有算术平方根 如果即 只有非负数有算术平方根 如果有意义 有意义 ax 那么那么 0 0 xa 注 且这一点对于初学者不太容易0 a0 a 理解 教师不要强求 可以在以后的教学中慢慢渗 透 例 2 求下列各式的值 1 2 3 4 4 81 49 2 11 2 6 分析 此题本质还是求几个非负数的算术平方根 解 1 24 2 9 7 81 49 3 1111 11 22 4 662 例 3 求下列各数的算术平方根 2 3 3 4 2 10 6 10 1 解 1 因为 所以 932 3932 因为 所以 23 8644 86443 因为 22 10100 10 如皋市江安镇滨江初级中学七年级数学备课组 主备人 张剑峰 27 所以 10100 10 2 因为 所以 63 10 1 10 1 36 10 1 10 1 根据学生的学习能力和理解能力可进行如下总结 根据学生的学习能力和理解能力可进行如下总结 1 1 由 由 可得 可得332 662 0 2 aaa 2 2 由 由 可得 可得11 11 2 10 10 2 0 2 aaa 教师需强调时对两种情况都成立 0 a 课堂小结课堂小结 1 这节课学习了什么呢 2 算术平方根的具体意义是怎么样的 3 怎样求一个正数的算术平方根 课堂检测 1 算术平方根等于本身的数有 2 求下列各式的值 1 25 9 2 5 2 7 3 求下列各数的算术平方根 0025 0 121 2 4 2 2 1 16 9 1 如皋市江安镇滨江初级中学七年级数学备课组 主备人 张剑峰 28 4 已知求的值 011 baba2 如皋市江安镇滨江初级中学七年级数学备课组 主备人 张剑峰 29 课题 6 16 1 平方根平方根 第第 2 2 课时课时 教学目标教学目标 1 1 了解无限不循环小数的特点 会用算术平方根的知识解决实际问题 2 通过探究的大小 培养学生的估算意识 了解两个方向无限逼近的数2 学思想 教学重点教学重点 认识无限不循环小数的特点 会估算一些数的算术平方根 教学难点教学难点 认识无限不循环小数的特点 会估算一些数的算术平方根 集体智慧集体智慧 活动方案 个性调整个性调整 活动一活动一 讨论讨论的大小的大小2 怎样用两个面积为 1 的小正方形拼成一个面积 为 2 的大正方形 如图 把两个小正方形沿对角线剪开 将所得 的 4 个直角三角形拼在一起 就得到一个面积为 2 的大正方形 你知道这个大正方形的边长是多少吗 设大正方形的边长为 则 由算术平方根x2 2 x 的意义可知 2 x 所以大正方形的边长为 2 由上面的实验我们认识了 它的大小是多少2 呢 它所表示的数有什么特征呢 下面我们讨论 的大小 2 因为 所以 42 11 22 2 12 2 2122 因为 所以 96 1 4 1 2 25 2 5 1 2 4 12 5 1 因为 所以9881 1 41 1 2 0164 2 42 1 2 41 1 242 1 如皋市江安镇滨江初级中学七年级数学备课组 主备人 张剑峰 30 因为 所999396 1 414 1 2 002225 2 415 1 2 以 414 1 2415 1 如此进行下去 我们发现它的小数位数无限 且小数部分不循环 像这样的数我们成为无限不循 环小数 241421356 1 注 这种估算体现了两个方向向中间无限逼近 的数学思想 学生第一次接触 不好理解 教师在 讲解时速度要放慢 可能需要讲两遍 2 是个无限不循环小数 但是很抽41421356 1 象 没有办法全部表示出来它的大小 类似这样的 数还有很多 比如等 圆周率 也是一7 5 3 个无限不循环小数 活动二活动二 探索规律探索规律 大多数计算器都有 键 用它可以求出一 个有理数的算术平方根或近似值 例 1 用计算器求下列各式的值 精确到3136 1 2 2 001 0 解 1 依次按键 显示 56 所以 3136 563136 2 依次按键2 显示 这是414213562 1 一个近似值 所以 414 1 2 注 不同品牌的计算器 按键的顺序可能有所不同 例 2用计算器计算 303 0 300 的近似值 写出你发现的规律 你能利30000 用发现的规律写出的值吗 30 学生通过计算器可求出 1 的答案 依次是 从运算结果可以250 1 79 25 91 7 5 2 791 0 25 0 如皋市江安镇滨江初级中学七年级数学备课组 主备人 张剑峰 31 发现 被开方数扩大或缩小 100 倍时 它的算术平 方根就扩大或缩小 10 倍 由可得732 1 3 2 17330000 32 17300 1732 0 03 0 由的值不能求出的值 因为规律是被开方330 数扩大或缩小 100 倍时 它的算术平方根才扩大或 缩小 10 倍 而 3 到 30 扩大的是 10 倍 所以不能由 此规律求出 此题学生可独立完成 活动三活动三 实际应用 实际应用 例 1 小丽想用一块面积为的正方形纸片 2 400cm 沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片 2 300cm 使它的长与宽之比为 不知道能否裁出来 正32 在发愁 小明见了说 别发愁 一定能用一块面 积大的纸片裁出一块面积小的纸片 你同意小明的 说法吗 小丽能否用这块纸片裁出符合要求的纸片 吗 分析 学生一般认为一定能用一块面积大的纸 片裁出一块面积小的纸片 通过计算和讲解纠正这 种错误的认识 解 设长方形纸片的长为 宽为 xcm3xcm2 根据边长与面积的关系可得 30023 xx 3006 2 x50 2 x50 x 长方形纸片的长为 因为cm503 所以 从而 504950750321 即长方形纸片的长应该大于 而已知正方cm21 形纸片的边长只有 这样长方形纸片的长将大cm20 于正方形纸片的边长 答 不能同意小明的说法 小丽不能用这块正 方形纸片裁出符合要求的长方形纸片 课堂小结 课堂小结 1 被开方数增大或缩小时 其相应的算术平方根也 相应地增大或缩小 因此我们可以利用夹值的方法 来求出算术平方根的近似值 2 利用计算器可以求出任意正数的算术平方根的近 如皋市江安镇滨江初级中学七年级数学备课组 主备人 张剑峰 32 似值 3 被开方数扩大 或缩小 与它的算术平方根扩大 或缩小 的规律是怎样的呢 4 怎样的数是无限不循环小数 课堂检测课堂检测 1 估计大小 1 与 2 与14012 2 15 5 0 2 已知 求 414 1 2 02 0 0002 0 的值 20020000 如皋市江安镇滨江初级中学七年级数学备课组 主备人 张剑峰 33 课题课题 6 16 1 平方根 第平方根 第 3 3 课时 课时 教学目标教学目标 1 1 了解平方根的概念 会用根号表示正数的平方根 2 2 了解开平方与平方互为逆运算 会用平方运算求某些非负数的平方根 教学重点教学重点 了解开方和乘方互为逆运算 弄懂平方根与算术平方根的区别和联系 教教学学难难点点 平方根与算术平方根的区别和联系 集体智慧集体智慧 活动方案 个性调整个性调整 活动一活动一 思考归纳 引入概念思考归纳 引入概念 如果一个数的平方等于 9 这个数是多少 学生思考并讨论 使学生明白这样的数有两个 它们是 3 和 3 受前面知识的影响学生可能不易想到 3 这个数 这时可提醒学生 这里的这个数可以是负数 注意 3 2 9 中括号的作用 又如 x2 则 x 等于多少呢 25 4 使学生完成课本 165 页的填表练习 填表 2 x1163649 25 4 x 给出平方根的概念 如果一个数的平方等于 那么这个数平方根的概念 如果一个数的平方等于 那么这个数 就叫做 的平方根 即 如果就叫做 的平方根 即 如果 x x2 2 a a 那么 那么 x x 叫做 的平方根 叫做 的平方根 求一个数的平方根的运算 叫做开平方 求一个数的平方根的运算 叫做开平方 例如 3 的平方等于 9 9 的平方根是 3 所以平方与开平 方互为逆运算 观察 课本 45 页中的图 6 1 2 图 6 1 2 中的两个图描述了平方与开平方互为逆运算的运 算过程 揭示了开平方运算的本质 让学生体验平方和开平方的互逆关系 并根据这个关系说出 1 4 9 的平方根 注意 这阶段主要是让学生建立平方根的概念 先不引入平 方根的符号 给出的数是完全平方数 例 1 课本 45 页的例 4 求下列各数的平方根 1 100 2 3 0 25 建议 教师要规范书写格式 如皋市江安镇滨江初级中学七年级数学备课组 主备人 张剑峰 34 活动二活动二 讨论归纳 深化概念讨论归纳 深化概念 按照平方根的概念 请同学们思考并讨论下列问题 正数的平方根有什么特点 0 的平方根是多少 负数有平方根吗 建议 建议 可引导学生通过观察 x2 a 中的 a 和 x 的取值范围和取 值个数得出 注 注 学生刚开始接触平方根时 有两点可能不太习惯 一个是 正数有两个平方根 即正数进行开平方运算有两个结果 这与学 生过去遇到的运算结果惟一的情况有所不同 另一个是负数没有 平方根 即负数不能进行开平方运算 这种某数不能进行某种运 算的情况在有理数的加 减 乘 除 乘方五种运算中一般不会 遇到 0 作除数的情况除外 教学时 可以通过较多实例说明这 两点 并在本节以后的教学中继续强化这两点 引入符号 引入符号 正数 a 的算术平方根可用表示 正数 a 的负的平方 根可用表示 例如 a 思考思考 表示什么意思 这里的 x 可取什么样的数呢 而对于 又该怎样理解呢 这里的 x 又可取什么样的数呢 活动三活动三 应用知识应用知识 例 2下列各式是否有意义 为什么 1 2 3 4 3 3 2 3 2 10 1 例 3 下列各数有平方根吗 如果有 求出它的平方根 如果没有 说明理由 64 0 4 2 10 2 如果有要用平方根的符号来表示 例 4 求下列各式的值 1 2 3 3681 0 9 49 建议 建议 要让学生明白各式所表示的意义 根据平方关系和平方根 概念的格式书写解题格式 平方根和算术平方根的概念是本章重 点内容 两者既有区别又有联系 区别在于正数的平方根有两个 而它的算术平方根只有一个 联系在于正数的负平方根是它的算 术平方根的相反数 根据它的算术平方根可以立即写出它的负平 方根 因此我们可以利用算术平方根来研究平方根 小结 什么叫做一个数的平方根 正数 0 负数的平方根有什么规律 怎样求出一个数的平方根 数 的平方根怎样表示 如皋市江安镇滨江初级中学七年级数学备课组 主备人 张剑峰 35 课堂反馈课堂反馈 1 判断下列说法是否正确 1 0 的平方根是 0 2 1 的平方根是 1 3 1 的平方根是 1 4 0 01 的平方根是 0 1 的一个平方根 2 填表 x 8 8 5 3 5 3 2 x 160 36 3 计算下列各式的值 1 2 3 949 0 81 64 4 平方根概念的起源与几何中的正方形有关 如果一个正方形的面 积为 A 那么这个正方形的边长是多少 如皋市江安镇滨江初级中学七年级数学备课组 主备人 张剑峰 36 课题课题 6 26 2 立方根立方根 教学目标教学目标 1 1 了解立方根的概念和表示方法 2 2 会求一个数的立方根 3 3 通过探讨一个数的立方根与它的相反数的立方根的关系 可以将求负数的 立方根转化为求正数的立方根的问题 培养学生的转化思想 教学重点教学重点 立方根的概念和求法 教学难点教学难点 立方根的求法 集体智慧集体智慧 活动方案 个性调整个性调整 情景引入情景引入 要制作一种容积为的正方体形状的包装箱 这种包装箱 3 27m 的边长应该是多少 活动一活动一 探索归纳探索归纳 认识立方根认识立方根 1 探索 设这种包装箱的边长为 则 xm27 3 x 这就是要求一个数 使它的立方等于 27 因为 所以 即这种包装箱的边长应为 2733 3 xm3 2 归纳 立方根的概念 一般地 如果一个数的立方等于 那么这个数叫a 做的立方根或三次方根 a 立方根的表示方法 如果 那么叫做的立方根 记作ax 3 xa 读作三次根号 3 ax 3 aa 其中是被开方数 3 是根指数 中的根指数 3 不能省略 a 3 a 开立方的概念 求一个数的立方根的运算 叫做开立方 开立方与立方互为逆运算 可以根据这种关系求一个数的立方根 3 探索立方根的特点 根据立方根的意义填空 并思考正数 0 负数的立方根各有什么 特点 1 因为 所以 8 的立方根是 823 2 因为 所以的立方根是 125 0 3 125 0 如皋市江安镇滨江初级中学七年级数学备课组 主备人 张剑峰 37 3 因为 所以 0 的立方根是 0 3 4 因为 所以 的立方根是 8 3 8 5 因为 所以的立方根是 27 8 3 27 8 学生独立完成后 教师要引导学生从正 负数和零三方面去归纳 总结立方根的特点 归纳 正数的立方根是正数 归纳 正数的立方根是正数 负数的立方根是负数 负数的立方根是负数 0 0 的立方根是的立方根是 0 0 4 探究互为相反数的两个数的立方根的关系 填空 因为 所以 3 8 3 8 3 8 3 8 因为 所以 3 27 3 27 3 27 3 27 由上面两个例子可归纳出 一般地 33 aa 注 这个关系对于正数 负数 零都成立 求负数的立方根 时 可以先求出这个负数的绝对值的立方根 然后再确它的相反 数 活动二活动二 应用新知解题应用新知解题 例 1 求下列各式的值 1 2 3 3 64 3 125 3 64 27 分析 根据立方根的意义求解 解 1 2 3 464 3 5125 3 4 3 64 27 3 例 2 求下列各式中的值 x 1 2 3 008 0 3 x 8 3 3 3 x 8 1 3 x 分析 此题的本质还是求立方根 如皋市江安镇滨江初级中学七年级数学备课组 主备人 张剑峰 38 解 1 008 0 3 x 3 008 0 x2 0 x 2 8 3 3 3 x 8 27 3 x 2 3 x 3 8 1 3 x21 x3 x 例 3 用计算器计算 的 33 10 36 10 39 10 33 10 36 10 值 你发现了什么 并总结出来 利用你前面发现的规律填空 已知 则 6216 3 3 000216 0 3 216000 解 1010 33 236 1010 339 1010 133 1010 236 1010 由此发现 一个数扩大或缩小 1000 倍时 它的立方根扩大或 缩小 10 倍 3 000216 0 06 0 60216000 3 课堂小结课堂小结 1 立方根和开立方的定义 2 正数 0 负数的立方根的特征 3 立方根与平方根的异同 课堂反馈课堂反馈 1 立方根等于本身的数是 2 如果则 11 3 aa a 3 的立方根是 64 的立方根是 3 4 4 已知的立方根是 4 求的算术平方根 163 x42 x 5 已知 求的值 43 x 3 3 10 x 如皋市江安镇滨江初级中学七年级数学备课组 主备人 张剑峰 39 课题课题 6 36 3 实数 第实数 第 1 1 课时 课时 教学目标教学目标 1 1 了解无理数和实数的概念以及实数的分类 2 2 知道实数与数轴上的点具有一一对应的关系 教学重点教学重点 了解无理数和实数的概念 教学难点教学难点 对无理数的认识 6 比较大小 1 3 2 1 3 1 2 2 3 3 2 3 4 3 3 3 3 7 集体智慧集体智慧 活动方案 个性调整个性调整 如皋市江安镇滨江初级中学七年级数学备课组 主备人 张剑峰 40 活动一活动一 引入无理数引入无理数 利用计算器把下列有理数写成小数的形式 9 5 11 9 8 47 5 3 3 它们有什么特征 发现上面的有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式 即 5 0 9 5 18 0 11 9 875 5 8 47 6 0 5 3 0 33 归纳 任何一个有理数 整数或分数 都可以写成有限小数或者无归纳 任何一个有理数 整数或分数 都可以写成有限小数或者无 限循环小数的形式限循环小数的形式 反过来 任何有限小数或者无限循环小数也都是有理数 通过前面的学习 我们知道有很多数的平方根或立方根都是无限不 循环小数 把无限不循环小数叫做无理数把无限不循环小数叫做无理数 比如等都是无理数 也是无理数 3 3 5 2 14159265 3 活动二活动二 认识实数认识实数 1 实数的概念 有理数和无理数统称为实数 2 实数的分类 按照定义分类如下 实数 数 无理数 无限不循环小 小数 有限小数或无限循环 分数 整数 有理数 按照正负分类如下 实数 负无理数 负有理数 负实数 零 负无理数 正有理数 正实数 3 实数与数轴上点的关系 我们知道每个有理数都可以用数轴上的点来表示 无理数是否 也可以用数轴上的点表示出来吗 活动 1 直径为 1 个单位长度的圆其周长为 把这个圆放在数轴 上 圆从原点沿数轴向右滚动一周 圆上的一点由原点到达另一个 点 这个点的坐标就是 由此我们把无理数 用数轴上的点表 示了出来 活动 2 在数轴上 以一个单位长度为边长画一个正方形 则其对 角线的长度就是以原点为圆心 正方形的对角线为半径画弧 2 如皋市江安镇滨江初级中学七年级数学备课组 主备人 张剑峰 41 OA C B 与正半轴的交点就表示 与负半轴的交点就是 22 事实上通过这种做法 我们可以把每一个无理数都在数轴上表示出 来 即数轴上有些点表示无理数 归纳 实数与数轴上的点是一一对应的 即没一个实数都可以用 数轴上的点来表示 反过来 数轴上的每一个点都表示一个实数 对于数轴上的任意两个点 右边的点所表示的实数总比左边 的点表示的实数大 活动三活动三 应用新知应用新知 例 1 下列实数中 无理数有哪些 2 17 2 37 0 14 3 3 50 11121211211121 10 2 4 解 无理数有 2 3 5 注 带根号的数不一定是无理数 比如 它其实是有理 2 4 数 4 无限小数不一定是无理数 无限不循环小数一定是无理数 比如 11121211211121 10 例 2 把无理数在数轴上表示出来 5 分析 类比的表示方法 我们需要构造出长度为的线段 25 从而以它为半径画弧 与数轴正半轴的交点就表示 5 解 如图所示 1 2 ABOA 由勾股定理可知 以原5 OB 点为圆心 以长度为半径画弧 与数轴的正半轴交于点 OOBC 则点就表示 C5 课堂小结课堂小结 课堂检测课堂检测 1 判断下列说法是否正确 无限小数都是无理数 无理数都是无限小数 带根号的数都是无理数 如皋市江安镇滨江初级中学七年级数学备课组 主备人 张剑峰 42 有理数集合无理数集合 课题课题 6 36 3 实数 第实数 第 2 2 课时 课时 所有的有理数都可以用数轴上的点来表示 反过来 数轴上 所有的点都表示有理数 所有实数都可以用数轴上的点来表示 反过来 数轴上的所 有的点都表示实数 2 把下列各数分别填在相应的集合里 7 22 1415926 3 78 3 26 0036 3 313113111 0 3 比较下列各组实数的大小 1