黑龙江省双鸭山一中2013届高三数学上学期期中试题 理（含解析）新人教A版

1 2012 20132012 2013 学年黑龙江省双鸭山一中高三 上 期中数学试卷 理学年黑龙江省双鸭山一中高三 上 期中数学试卷 理 科 科 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 选择题 包括一 选择题 包括 1212 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 6060 分 分 1 5 分 2012 无为县模拟 设集合等 于 A x x 1 B x 1 x 2 C x 0 x 1 D x 0 x 1 考点 交集及其运算 专题 计算题 分析 集合 A 与集合 B 的公共元素构成集合 A B 由此利用 A x 2x 2 1 x x 2 B x 1 x 0 x x 1 能求出 A B 解答 解 A x 2x 2 1 x x 2 0 x x 2 B x 1 x 0 x x 1 A B x x 1 故选 A 点评 本题考查集合的交集及其运算 是基础题 解题时要认真审题 仔细解答 注意合 理地进行等价转化 2 5 分 已知 log7 log3 log2x 0 那么等于 A B C D 考点 对数的运算性质 专题 计算题 分析 从外向里一层一层的求出对数的真数 求出 x 的值 求出值 解答 解 由条件知 log3 log2x 1 log2x 3 x 8 x 故选 C 2 点评 利用对数式与指数式的相互转化从外向里求出真数 3 5 分 2011 上海 若 a b R 且 ab 0 则下列不等式中 恒成立的是 A a2 b2 2ab B C D 考点 基本不等式 专题 综合题 分析 利用基本不等式需注意 各数必须是正数 不等式 a2 b2 2ab 的使用条件是 a b R 解答 解 对于 A a2 b2 2ab 所以 A 错 对于 B C 虽然 ab 0 只能说明 a b 同号 若 a b 都小于 0 时 所以 B C 错 ab 0 故选 D 点评 本题考查利用基本不等式求函数的最值时 必须注意满足的条件 已知 二定 三 相等 4 5 分 2011 江西 若 f x 则 f x 的定义域为 A 0 B 0 C D 0 考点 函数的定义域及其求法 专题 计算题 分析 求函数的定义域即求让函数解析式有意义的自变量 x 的取值范围 由此可以构造一 个关于 x 的不等式 解不等式即可求出函数的解析式 解答 解 要使函数的解析式有意义 自变量 x 须满足 即 0 2x 1 1 解得 故选 A 3 点评 本题考查的知识点是函数的定义域及其求法 其中根据让函数解析式有意义的原则 构造关于 x 的不等式 是解答本题的关键 5 5 分 2006 湖北 若 ABC 的内角 A 满足 则 sinA cosA A B C D 考点 同角三角函数间的基本关系 分析 根据 sinA cosA 2 1 sin2A 即得答案 解答 解 由 sin2A 2sinAcosA 0 可知 A 这锐角 所以 sinA cosA 0 又 故选 A 点评 考查同角三角函数间的基本关系 6 5 分 函数 y f x 在定义域 3 内可导 其图象如图所示 记 y f x 的导 函数为 y f x 则不等式 f x 0 的解集为 A 1 2 3 B 1 C 1 2 D 3 考点 利用导数研究函数的单调性 专题 数形结合 分析 根据导数大于 0 时函数单调递增 导数小于 0 时原函数单调递减确定函数 f x 的 单调性 解答 解 由图象可知 即求函数的单调减区间 从而有解集为 故选 A 4 点评 本题主要考查了函数的单调性与导数的关系 解题的关键是识图 属于基础题 7 5 分 2012 宁城县模拟 若 ABC 的内角 A B C 所对的边 a b c 满足 a b 2 c2 4 且 C 60 则 a b 的最小值为 A B C D 考点 余弦定理 基本不等式 专题 计算题 分析 利用余弦定理表示出 cosC 将 C 的度数代入利用特殊角的三角函数值化简 整理后 得到一个关系式 将已知的等式利用完全平方公式变形后 将得出的关系式代入求 出 ab 的值 然后将 a b 利用基本不等式变形后 将 ab 的值代入即可求出 a b 的最 小值 解答 解 C 60 由余弦定理得 cosC 即 a2 b2 c2 ab 又 a b 2 c2 4 即 a2 b2 2ab c2 4 3ab 4 即 ab a b 2 当且仅当 a b 时取等号 则 a b 的最小值为 故选 D 点评 此题考查了余弦定理 以及基本不等式的运用 熟练掌握余弦定理是解本题的关 键 8 5 分 在 ABC 中 若 sinBsinC cos2 则 ABC 是 A 等腰三角形 B 直角三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形 考点 三角形的形状判断 专题 计算题 分析 利用 cos2 可得 再利用两角和差的余弦可求 5 解答 解 由题意 即 sinBsinC 1 cosCcosB 亦即 cos C B 1 C B 0 C B 故选 A 点评 本题主要考查两角和差的余弦公式的运用 考查三角函数与解三角形的结合 属于 基础题 9 5 分 若过定点 M 1 0 且斜率为 k 的直线与圆 x2 4x y2 5 0 在第一象限内的部 分有交点 则 k 的取值范围是 A 0B C 0D 0 k 5 考点 直线与圆的位置关系 直线的斜率 专题 数形结合 分析 化简圆的方程求出圆与 y 正半轴的交点 画出图象 即可推出过定点 M 1 0 斜 率为 k 的直线的范围 解答 解 圆 x2 4x y2 5 0 化为 x 2 2 y2 9 圆与 y 正半轴交于 0 因为过定点 M 1 0 且斜率为 k 的直线与圆 x2 4x y2 5 0 在第一象限内的部分 有交点 如图 所以 kMA k kMB 0 k 0 k 故选 A 点评 本题是中档题 考查数形结合的思想 直线斜率的求法 考查计算能力 10 5 分 2011 湖南 设 m 1 在约束条件下 目标函数 Z X my 的最大值小 于 2 则 m 的取值范围为 A 1 B C 1 3 D 3 6 考点 简单线性规划的应用 专题 压轴题 数形结合 分析 根据 m 1 我们可以判断直线 y mx 的倾斜角位于区间 上 由此我们不 难判断出满足约束条件的平面区域的形状 再根据目标函数 Z X my 对应 的直线与直线 y mx 垂直 且在直线 y mx 与直线 x y 1 交点处取得最大值 由此构 造出关于 m 的不等式组 解不等式组即可求出 m 的取值范围 解答 解 m 1 故直线 y mx 与直线 x y 1 交于点 目标函数 Z X my 对应的直线与直线 y mx 垂直 且在点 取得最大 值 其关系如下图所示 即 又 m 1 解得 m 1 故选 A 点评 本题考查的知识点是简单线性规划的应用 其中根据平面直线方程判断出目标函数 Z X my 对应的直线与直线 y mx 垂直 且在点取得最大值 并由此 构造出关于 m 的不等式组是解答本题的关键 11 5 分 2012 太原模拟 已知定义在 R 上的函数 y f x 1 的图象关于点 1 0 对称 且 x 0 时 f x xf x 0 成立 其中 f x 是 f x 的导 7 函数 a 30 3 f 30 3 b log 3 f log 3 则 a b c 的大小关系是 A a b c B c b a C c a b D a c b 考点 利用导数研究函数的单调性 函数单调性的性质 导数的乘法与除法法则 专题 计算题 压轴题 分析 由 当 x 0 时不等式 f x xf x 0 成立 知 xf x 是减函数 要得到 a b c 的大小关系 只要比较的大小即可 解答 解 当 x 0 时不等式 f x xf x 0 成立 即 xf x 0 xf x 在 0 上是减函数 又 函数 y f x 1 的图象关于点 1 0 对称 函数 y f x 的图象关于点 0 0 对称 函数 y f x 是定义在 R 上的奇函数 xf x 是定义在 R 上的偶函数 xf x 在 0 上是增函数 又 2 2 30 3 f 30 3 log 3 f log 3 即 30 3 f 30 3 log 3 f log 3 即 c a b 故选 C 点评 本题考查的考点与方法有 1 所有的基本函数的奇偶性 2 抽象问题具体化的思 想方法 构造函数的思想 3 导数的运算法则 uv u v uv 4 指对数 函数的图象 5 奇偶函数在对称区间上的单调性 奇函数在对称区间上的单调性相 同 偶函数在对称区间上的单调性相反 本题结合已知构造出 h x 是正确解答的 关键所在 12 5 分 2012 云南模拟 定义方程 f x f x 的实数根 x0叫做函数 f x 的 新驻点 如果函数 g x x h x lnx x cosx x 的 新驻 点 分别为 那么 的大小关系是 A B C D 8 考点 函数的零点 函数的图象 专题 压轴题 新定义 分析 由题设中所给的定义 方程 f x f x 的实数根 x0叫做函数 f x 的 新驻点 对三个函数所对应的方程进行研究 分别计算求出 的值或存在的大致 范围 再比较出它们的大小即可选出正确选项 解答 解 由题意方程 f x f x 的实数根 x0叫做函数 f x 的 新驻点 对于函数 g x x 由于 g x 1 故得 x 1 即 1 对于函数 h x lnx 由于 h x 故得 lnx 令 r x lnx 可知 r 1 0 r 2 0 故 1 2 对于函数 x cosx 由于 x sinx 故得 cosx sinx 即 tanx 1 故有 2 综上 故选 A 点评 本题是一个新定义的题 理解定义 分别建立方程解出 的值或存在范围 是解题的关键 本题考查了推理判断的能力 计算能力属于基本题型 二 填空题 包括二 填空题 包括 4 4 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 2020 分 分 13 5 分 已知等差数列 an 的公差为 2 项数是偶数 所有奇数项之和为 15 所有偶数 项之和为 35 则这个数列的项数为 20 考点 等差数列的前 n 项和 专题 等差数列与等比数列 分析 设这个数列的项数是 2k 则奇数项之和 a1 a3 a2k 1 15 偶数项之和 a2 a4 a2k 35 故 a2 a1 a4 a3 a2k a2k 1 35 15 20 由等差 数列 an 的公差为 2 能求出这个数列的项数 解答 解 设这个数列的项数是 2k 则奇数项之和 a1 a3 a2k 1 15 偶数项之和 a2 a4 a2k 35 a2 a1 a4 a3 a2k a2k 1 35 15 20 等差数列 an 的公差为 2 a2 a1 a4 a3 a2k a2k 1 2 一共有 k 项 2k 20 这个数列的项数是 20 故答案为 20 点评 本题考查等差数列的性质和应用 是基础题 解题时要认真审题 仔细解答 注意 合理地进行等价转化 9 14 5 分 若 是锐角 且 则 cos 的值是 考点 同角三角函数基本关系的运用 分析 由 是锐角 求出的范围 然后根据的值 利用同角 三角函数间的基本关系即可求出 cos 的值 把 变为 然 后利用两角和的余弦函数公式把所求的式子化简后 把已知的值 和求得的 cos 的值代入即可求出值 解答 解 是锐角 cos 则 cos cos cos cos sin sin 故答案为 点评 此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系 两角和的余弦函数公式及特殊 角的三角函数值化简求值 是一道综合题 15 5 分 已知定义在 R 上的奇函数 f x 和偶函数 g x 满足 f x g x ax a x 2 a 0 且 a 1 若 g 2 a 则 f 2 考点 抽象函数及其应用 函数的值 专题 计算题 分析 根据题意 将 x 2 x 2 分别代入 f x g x ax a x 2 可得 f 2 g 2 a2 a 2 2 和 f 2 g 2 a 2 a2 2 结合题意中函数奇 10 偶性可得 f 2 g 2 f 2 g 2 与 联立可得 f 2 g 2 a 2 a2 2 联立 可得 g 2 f 2 的值 结合题意 可得 a 的值 将 a 的值代入 f 2 a2 a 2中 计算可得答案 解答 解 根据题意 由 f x g x ax a x 2 则 f 2 g 2 a2 a 2 2 f 2 g 2 a 2 a2 2 又由 f x 为奇函数而 g x 为偶函数 有 f 2 f 2 g 2 g 2 则 f 2 g 2 f 2 g 2 即有 f 2 g 2 a 2 a2 2 联立 可得 g 2 2 f 2 a2 a 2又由 g 2 a 则 a 2 f 2 22 2 2 4 故答案为 点评 本题考查函数奇偶性的应用 关键是利用函数奇偶性构造关于 f 2 g 2 的方程 组 求出 a 的值 16 5 分 已知直二面角 l 点 A AC l C 为垂足 B BD l D 为 垂足 若 AB 2 AC BD 1 则 D 到平面 ABC 的距离等于 考点 与二面角有关的立体几何综合题 专题 计算题 空间位置关系与距离 分析 由题意通过等体积法 求出三棱锥的体积 然后求出 D 到平面 ABC 的距离 解答 解 由题意画出图形如图 直二面角 l 点 A AC l C 为垂足 B BD l D 为垂足 若 AB 2 AC BD 1 则 D 到平面 ABC 的距离转化为三棱锥 D ABC 的高为 h 所以 AD CD BC 由 VB ACD VD ABC可知 AC CD BD AC BC h 所以 h 故答案为 11 点评 本题考查点到平面的距离 考查转化思想的应用 考查计算能力 等体积法是求解 点到平面距离的基本方法之一 三 解答题 包括三 解答题 包括 6 6 小题 共小题 共 7070 分 分 17 10 分 已知函数 1 求函数 f x 的最小正周期以及单调递增区间 2 求函数 f x 在区间上的最大值和最小值 并求出相应的 x 的值 考 点 三角函数中的恒等变换应用 三角函数的最值 专 题 三角函数的图像与性质 分 析 1 利用二倍角二倍角公式进行化简 然后利用赋值角公式将其化简成 y Asin x 的形式 从而可求出函数 f x 的最小正周期以及单调递增区间 2 根据 x 求出 2x 的取值范围 再根据正弦函数的性质可求出函 数 f x 在区间上的最大值和最小值 解 答 解 得 1 所以函数 f x 的最小正周期为 由得 所以函数 f x 的单调递增区间为 k Z 2 x 2x 则 sin 2x 1 函数 f x 在区间上的最大值为 2 此时 x 最小值为 1 此时 x 点 评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用 以及三角函数的单调区间 同时考查了 运算求解的能力 属于基础题 12 18 12 分 已知直线 l y k x 2 与圆 O x2 y2 4 相交于 A B 两点 O 是坐标原 点 三角形 ABO 的面积为 S 试将 S 表示成的函数 S k 并求出它的定义域 求 S 的最大值 并求取得最大值时 k 的值 考 点 直线与圆的位置关系 二次函数的性质 专 题 计算题 压轴题 分 析 先求出原点到直线的距离 并利用弦长公式求出弦长 代入三角形的面积公式 进行化简 换元后把函数 S 的解析式利用二次函数的性质进行配方 求出函数的最值 注 意换元后变量范围的改变 解 答 解 直线 l 方程 原点 O 到 l 的距离为 3 分 弦长 5 分 ABO 面积 AB 0 1 K 1 K 0 1 k 1 且 K 0 8 分 令 当 t 时 时 Smax 2 12 分 点 评 本题考查点到直线的距离公式 弦长公式的应用 以及利用二次函数的性质求函数的 最大值 注意换元中变量范围的改变 19 12 分 2013 广州三模 如图 在四棱锥 P ABCD 中 底面为直角梯形 AD BC BAD 90 PA 底面 ABCD PA AD AB 2BC M N 分别为 PC PB 的中点 求证 PB DM 13 求 CD 与平面 ADMN 所成的角的正弦值 考点 用空间向量求直线与平面的夹角 空间中直线与直线之间的位置关系 直线与平面 垂直的判定 分析 解法 1 先由 AD PA AD AB 证出 AD 平面 PAB 得出 AD PB 又 N 是 PB 的 中点 PA AB 得出 AN PB 证出 PB 平面 ADMN 后 即可证出 PB DM 解法 2 如图 以 A 为坐标原点建立空间直角坐标系 A xyz 设 BC 1 通过证明 证出 PB DM 解法 1 取 AD 中点 Q 连接 BQ 和 NQ 则 BQ DC 又 PB 平面 ADMN 所以 CD 与平面 ADMN 所成的角为 BQN 在 Rt BQN 中求解即可 解法 2 通过 PB 平面 ADMN 可知 是平面 ADMN 的一个法向量 的余角即是 CD 与平面 ADMN 所成的角 解答 本题满分 13 分 解 解法 1 N 是 PB 的中点 PA AB AN PB PA 平面 ABCD 所以 AD PA 又 AD AB PA AB A AD 平面 PAB AD PB 又 AD AN A PB 平面 ADMN DM 平面 ADMN PB DM 6 分 解法 2 如图 以 A 为坐标原点建立空间直角坐标系 A xyz 设 BC 1 可得 A 0 0 0 P 0 0 2 B 2 0 0 C 2 1 0 D 0 2 0 因为 所以 PB DM 6 分 14 解法 1 取 AD 中点 Q 连接 BQ 和 NQ 则 BQ DC 又 PB 平面 ADMN CD 与 平面 ADMN 所成的角为 BQN 设 BC 1 在 Rt BQN 中 则 故 所以 CD 与平面 ADMN 所成的角的正弦值为 13 分 解法 2 因为 所以 PB AD 又 PB DM 所以 PB 平面 ADMN 因此的余角即是 CD 与平面 ADMN 所成的角 因为 所以 CD 与平面 ADMN 所成的角的正弦值为 13 分 点评 本题主要考查空间角 距离的计算 线面垂直 面面垂直的定义 性质 判定 考 查了空间想象能力 计算能力 分析解决问题能力 空间问题平面化是解决空间几 何体问题最主要的思想方法 20 12 分 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn a1 1 an 1 3Sn n N 求数列 an 的通项公式 若 bn log4an 试比较 的大小 考点 数列与不等式的综合 不等式比较大小 数列递推式 专题 综合题 分析 由 an 1 3Sn 得 an 2 3Sn 1 故 an 2 an 1 3an 1 整理得 n N 由此能求出数列 an 的通项公式 2 故 n 1 b1 0 n 2 n 2 n 1 由此能比较 的大小 15 解答 解 由 an 1 3Sn 1 得 an 2 3Sn 1 2 2 1 得 an 2 an 1 3an 1 整理得 n N 数列 a2 a3 a4 an 是以 4 为公比的等比数列 其中 a2 3S1 3a1 3 所以 5 分 2 bn log4an n 1 b1 0 n 2 n 2 n 1 1 n 1 12 分 点评 本题考查通项公式的证明和比较大小 考查数列 不等式知识 考查化归与转化 分类与整合的数学思想 培养学生的抽象概括能力 推理论证能力 运算求解能力 和创新意识 21 12 分 2010 崇文区二模 已知椭圆的中心在原点 焦点在 x 轴上 经过点 P 1 且离心率 过定点 C 1 0 的直线与椭圆相交于 A B 两点 求椭圆的方程 在 x 轴上是否存在点 M 使 MA MB 为常数 若存在 求出点 M 的坐标 若不存在 请说明理由 考椭圆的标准方程 直线与圆锥曲线的综合问题 16 点 专 题 计算题 分 析 1 设椭圆的标准方程 根据题设条件和 a b 和 c 的关系联立方程求得 a 和 b 进而 可得椭圆的方程 设 A x1 y1 B x2 y2 M m 0 当直线 AB 与 x 轴不垂直时 设直线 AB 的方程为 y k x 1 椭圆与直线方程联立消元 根据韦达定理求得交点横坐标的和与 积 根据题设中的向量的关系求得 m 进而得出 M 的坐标 当直线 AB 与 x 轴垂直时 则 直线 AB 的方程为 x 1 进而求得 A 和 B 的坐标 求得 m 最后综合可得答案 解 答 解 设椭圆方程为 由已知可得 解得 a2 4 b2 2 所求椭圆的方程为 设 A x1 y1 B x2 y2 M m 0 当直线 AB 与 x 轴不垂直时 设直线 AB 的方程为 y k x 1 17 是与 k 无关的常数 即 此时 当直线 AB 与 x 轴垂直时 则直线 AB 的方程为 x 1 此时点 A B 的坐标分别为 当时 亦有 综上 在 x 轴上存在定点 使为常数 点 评 本题主要考查了椭圆的方程和直线与椭圆的关系 当解决直线与椭圆的关系时 常需要 联立方程进行消元 22 12 分 设函数 当时 求 f x 的最大值 令 0 x 3 其图象上任意一点 P x0 y0 处 切线的斜率 k 恒成立 求实数 a 的取值范围 当 a 0 b 1 方程 2mf x x2有唯一实数解 求正数 m 的值 考点 利用导数求闭区间上函数的最值 利用导数研究曲线上某点切线方程 专题 计算题 压轴题 分析 I 函数的定义域是 0 把代入函数解析式 求其导数 根据求解 目标 这个导数在函数定义域内只有一个等于零的点 判断这唯一的极值点是极大 值点即可 II 即