数学归纳法典型例题

郑老师 高三 1V1 周宇鑫 1 13 四 知识分析 知识梳理 数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法 在高等数学中有着重 要的用途 因而成为高考的热点之一 近几年的高考试题 不但要求能用数学 归纳法去证明现代的结论 而且加强了对于不完全归纳法应用的考查 既要求 归纳发现结论 又要求能证明结论的正确性 因此 初步形成 观察 归纳 猜想 证明 的思维模式 就显得特别重要 一般地 证明一个与正整数n有关的命题 可按下列步骤进行 1 归纳奠基 证明当n取第一个值n n 0时命题成立 2 归纳递推 假设n k 时命题成立 证明当 时命题也成立 只要完成这两个步骤 就可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立 上述证明方法叫做数学归纳法 数学归纳法是推理逻辑 它的第一步称为奠基步骤 是论证的基础保证 即通过验证落实传递的起点 这个基础必须真实可靠 它的第二步称为递推步 骤 是命题具有后继传递性的保证 即只要命题对某个正整数成立 就能保证 该命题对后继正整数都成立 两步合在一起为完全归纳步骤 称为数学归纳法 这两步各司其职 缺一不可 特别指出的是 第二步不是判断命题的真伪 而是证明命题是否具有传递性 如果没有第一步 而仅有第二步成立 命题也 可能是假命题 要点解析 1 用数学归纳法证明有关问题的关键在第二步 即n k 1 时为什么成立 n k 1 时成立是利用假设n k时成立 根据有关的定理 定义 公式 性质 等数学结论推证出n k 1 时成立 而不是直接代入 否则n k 1 时也成假 设了 命题并没有得到证明 用数学归纳法可证明有关的正整数问题 但并不是所有的正整数问题都是 用数学归纳法证明的 学习时要具体问题具体分析 2 运用数学归纳法时易犯的错误 1 对项数估算的错误 特别是寻找n k与n k 1 的关系时 项数发 生什么变化被弄错 郑老师 高三 1V1 周宇鑫 2 13 2 没有利用归纳假设 归纳假设是必须要用的 假设是起桥梁作用的 桥梁断了就通不过去了 3 关键步骤含糊不清 假设n k时结论成立 利用此假设证明n k 1 时结论也成立 是数学归纳法的关键一步 也是证明问题最重要的环节 对推导的过程要把步骤写完整 注意证明过程的严谨性 规范性 典型例题典型例题 例 1 用数学归纳法证明 时 解析 解析 当时 左边 右边 左边 右边 所以 等式成立 假设时等式成立 即有 则当时 所以当时 等式也成立 由 可知 对一切等式都成立 点评 1 用数学归纳法证明与自然数有关的一些等式 命题关键在于 先看项 弄清等式两边的构成规律 等式的两边各有多少项 项的多少与 n 的取值是否有关 由到时等式的两边会增加多少项 增加怎样的 项 2 在本例证明过程中 I 考虑 n 取第一个值的命题形式 时 需认 真对待 一般情况是把第一个值代入通项 考察命题的真假 II 步骤 在 由到的递推过程中 必须用归纳假设 不用归纳假设的证明就不 是数学归纳法 郑老师 高三 1V1 周宇鑫 3 13 本题证明时若利用数列求和中的拆项相消法 即 则这不是归纳假设 这是套用数学归纳法的一种伪 证 3 在步骤 的证明过程中 突出了两个凑字 一 凑 假设 二 凑 结论 关键是明确时证明的目标 充分考虑由到时 命题 形式之间的区别和联系 例 2 解析 解析 1 当时 左边 右边 命题成立 2 假设当时命题成立 即 那么当时 左边 上式表明当时命题也成立 由 1 2 知 命题对一切正整数均成立 郑老师 高三 1V1 周宇鑫 4 13 例 3 用数学归纳法证明 对一切大于 1 的自然数 n 不等式 成立 解析 解析 当时 左 右 左 右 不等式成立 假设时 不等式成立 即 那么当时 时 不等式也成立 由 知 对一切大于 1 的自然数 n 不等式都成立 点评 1 本题证明命题成立时 利用归纳假设 并对照目标式 进行了恰当的缩小来实现 也可以用上归纳假设后 证明不等式 成立 2 应用数学归纳法证明与非零自然数有关的命题时要注意两个步骤缺一 不可 第 步成立是推理的基础 第 步是推理的依据 即 成立 则成立 成立 从而断定命题对所有的自然数均成 立 另一方面 第 步中 验证中的未必是 1 根据题目要求 有时 可为 2 3 等 第 步中 证明时命题也成立的过程中 要作适当的变 形 设法用上归纳假设 郑老师 高三 1V1 周宇鑫 5 13 例 4 若不等式对一切正整数 n 都成立 求正整数 a 的最大值 并证明你的结论 解析 解析 取 令 得 而 所以取 下面用数学归纳法证明 1 时 已证结论正确 2 假设时 则当时 有 因为 所以 所以 即时 结论也成立 由 1 2 可知 对一切 郑老师 高三 1V1 周宇鑫 6 13 都有 故 a 的最大值为 25 例 5 用数学归纳法证明 能被 9 整除 解析 解析 方法一 令 1 能被 9 整除 2 假设能被 9 整除 则 能被 9 整除 由 1 2 知 对一切 命题均成立 方法二 1 原式能被 9 整除 2 若 能被 9 整除 则时 时也能被 9 整除 由 1 2 可知 对任何 能被 9 整除 点评 证明整除性问题的关键是 凑项 而采用增项 减项 拆项和因 式分解等手段凑出时的情形 从而利用归纳假设使问题获证 郑老师 高三 1V1 周宇鑫 7 13 例 6 求证 能被整除 解析 解析 1 当时 命题显然成立 2 设时 能被整除 则当时 由归纳假设 上式中的两项均能被整除 故时命题成立 由 1 2 可知 对 命题成立 例 7 平面内有 n 个圆 其中每两个圆都交于两点 且无三个圆交于一点 求证 这 n 个圆将平面分成个部分 解析 解析 时 1 个圆将平面分成 2 部分 显然命题成立 假设时 个圆将平面分成个部分 当时 第 k 1 个圆交前面 k 个圆于 2k 个点 这 2k 个点将圆分成 2k 段 每段将各自所在区域一分为二 于是增加了 2k 个区域 所以这 k 1 个圆将平面 分成个部分 即个部分 故时 命题成立 由 可知 对命题成立 点评 用数学归纳法证明几何问题的关键是 找项 即几何元素从 k 个 变成 k 1 个时 所证的几何量将增加多少 这需用到几何知识或借助于几何图 形来分析 在实在分析不出来的情况下 将 n k 1 和 n k 分别代入所证的式子 然后作差 即可求出增加量 然后只需稍加说明即可 这也是用数学归纳法 证明几何命题的一大技巧 郑老师 高三 1V1 周宇鑫 8 13 例 8 设 是否存在关于自然数 n 的函数 使等式 对于的一切自然数都成立 并证明你 的结论 解析 解析 当时 由 得 当时 由 得 猜想 下面用数学归纳法证明 当时 等式恒成立 当时 由上面计算知 等式成立 假设成立 那么当时 当时 等式也成立 由 知 对一切的自然数 n 等式都成立 郑老师 高三 1V1 周宇鑫 9 13 故存在函数 使等式成立 点评 1 归纳 猜想时 关键是寻找满足条件的与 n 的关系式 猜 想的关系未必对任意的都满足条件 故需用数学归纳法证明 2 通过解答归纳的过程提供了一种思路 可直接解出 即 模拟试题模拟试题 1 用数学归纳法证明 当 n 为正奇数时 能被整除 时 第二 步归纳假设应写成 A 假设时 命题成立 B 假设时 命题成立 C 假设时 命题成立 D 假设时 命题成立 2 证明 假设时成立 当1 时 左端增加的项数是 A 1 项 B 项 C k 项 D 项 3 记凸 k 边形的内角和为 则凸边形的内角和 A B C D 郑老师 高三 1V1 周宇鑫 10 13 4 某个命题与自然数 n 有关 若时命题成立 那么可推得当 时该命题也成立 现已知当时 该命题不成立 那么可推得 A 当时 该命题不成立 B 当时 该命题成立 C 当 n 4 时 该命题不成立 D 当 n 4 时 该命题成立 5 用数学归纳法证明时 由 到时 不等式左边应添加的项是 A B C D 6 5 分 在数列中 且 2成等差数列 表示数 列的前 n 项和 则 分别为 由此猜想 7 5 分 已知对一切 都成立 那么 a b c 8 14 分 由下列各式 你能得出怎样的结论 并进行证明 9 16 分 设数列满足 1 证明 对一切正整数 n 均成立 2 令 判断与的大小 并说明理由 郑老师 高三 1V1 周宇鑫 11 13 10 14 分 已知函数 设数列满足 数列满足 1 用数学归纳法证明 2 证明 11 16 分 2006 年 江西 已知数列满足 且 1 求数列的通项公式 2 证明 对一切正整数 n 不等式恒成立 试题答案试题答案 1 B 2 D 3 B 4 C 5 C 6