线性空间试题

向量空间 一 判断题 平面上全体向量对于通常的向量加法和数量乘法 作成实数域上 1 kkR R 的向量空间 平面上全体向量对于通常的向量加法和数量乘法 作成实数域上 2 0 kkR R 的向量空间 一个过原点的平面上所有向量的集合是的子空间 3 3 V 所有阶非可逆矩阵的集合为全矩阵空间的子空间 4 n n MR 为的子空间 5 12 1 1 n nii i x xxxxR n R 所有阶实反对称矩阵的集合为全矩阵空间的子空间 6 n n MR 为的子空间 7 11 0 0 nn xxx xR n R 若是数域上的维向量空间的一组基 那么 8 1234 F4V 122334 是的一组基 V 维向量空间的任意个线性无关的向量都可构成的一个基 9 nVnV 设是向量空间中个向量 且中每一个向量都可由 10 12 n VnV 12 n 线性表示 则是的一组基 12 n V 设是向量空间的一个基 如果与等价 则 11 12 n V 12 n 12 n 也是的一个基 12 n V 关于基的坐标为 12 3 x 332 1 1xxx xx 1 1 0 0 设为维空间的子空间 且 若 13 12 s V VV nV 12s VVVV 则为直和 12 dimdimdim s VVVn 12s VVV 设为维空间的子空间 且 若 14 12 s V VV nV 12s VVVV 则为直和 12123 0 0 VVVVV 121 0 Ss VVVV 12s VVV 设为维空间的子空间 且 若 15 12 s V VV nV 12s VVVV 则为直和 0 ij j i VV 12s VVV 设为维空间的子空间 且 若 16 12 s V VV nV 12s VVVV 则为直和 0 ij VVij 12s VVV 设为维空间的子空间 且 零向量表法是唯一 17 12 s V VV nV 12s VVVV 的 则为直和 12s VVV 设是向量空间的一个基 是到的一个同构映射 则的一个 18 12 n VfVWW 基是 12 n fff 设是数域上的维向量空间 若向量空间与同构 那么也是数域上 19 VFnVWWF 的维向量空间 n 把同构的子空间算作一类 维向量空间的子空间能分成类 20 nn 答案 错误 错误 正确 错误 错误 正确 正确 正确 1 2 3 4 5 6 7 8 正确 错误 正确 错误 正确 正确 正确 错误 9 10 11 12 13 14 15 16 正确 17 正确 正确 错误 18 19 20 二 填空题 全体实对称矩阵 对矩阵的 作成实数域上的向量空间 1 R 全体正实数的集合 对加法和纯量乘法构成上的向量空间 2 R k abab k aa R 则此空间的零向量为 全体正实数的集合 对加法和纯量乘法构成上的向量空间 3 R k abab k aa R 则的负向量为 aR 全体实二元数组对于如下定义的运算 4 2 1 2 a bc dac bdac k k ka bka kba 构成实数域上的向量空间 则此空间的零向量为 R 全体实二元数组对于如下定义的运算 5 2 1 2 a bc dac bdac k k ka bka kba 构成实数域上的向量空间 则的负向量为 R a b 数域上一切次数的多项式添加零多项式构成的向量空间维数等于 6 Fn n F x 任一个有限维的向量空间的基 的 但任两个基所含向量个数是 7 复数域作为实数域上的向量空间 维数等于 它的一个基为 8 CR 复数域看成它本身上的向量空间 维数等于 它的一个基为 9 C 实数域上的全体阶上三角形矩阵 对矩阵的加法和纯量乘法作成向量空间 10 Rn 它的维数等于 向量关于基 11 0 0 0 1 123 1 1 0 1 2 1 3 1 1 1 0 0 的坐标为 4 0 1 1 1 关于的一个基的坐标为 12 2 23xx 3 F x 332 1 1xxx xx 三维向量空间的基 则向量 13 12 1 1 0 1 0 1 2 0 0 在此基下的坐标为 和是数域上的两个向量空间 到的映射满足条件 14 VWFVWf 就叫做一个同构映射 数域上任一维向量空间都与向量空间 同构 15 FnV 设的子空间有 则 16 V 123 W W W 121323 0WWWWWW 123 WWW 直和 答案 加法和数量乘法 1 不唯一 相等 1 2 3 1 a 4 0 0 5 2 a ab 6 1n 7 8 2 1 i 9 1 1 10 1 2 n n 11 1 0 1 0 12 0 0 1 2 13 1 1 1 是到的双射 对任意 对任意 14 fVW V fff 不一定是 aFV f aaf 15 n F 16 三 简答题 设 问下列集合是否为的子空间 为什么 1 n VMR V 所有行列式等于零的实阶矩阵的集合 1 n 1 W 所有可逆的实阶矩阵的集合 2 n 2 W 设是实数域上所有实函数的集合 对任意 定义 2 L RR f gL RR fgxf xg xfxf x xR 对于上述运算构成实数域上向量空间 下列子集是否是的子空间 为什么 L RR L R 所有连续函数的集合 1 1 W 所有奇函数的集合 2 2 W 3 3 0 1 WffL Rff 下列集合是否为的子空间 为什么 其中为实数域 3 n RR 1 11212 0 nni Wx xxxxxxR 2 21212 0 nni Wx xxx xxxR 每个分量是整数 3 312 n Wx xx i x 设分别为数域上矩阵 问的所有解向量是上的 4 A X bF 1 1m n nm AXb F 向量空间吗 说明理由 下列子空间的维数是几 5 1 3 2 3 1 1 4 2 5 2 4 LR 2 22 1 1 L xxxxF x 实数域上矩阵所成的向量空间的维数等于多少 写出它的一个基 6 Rm n m n MR 实数域上 全体阶对称矩阵构成的向量空间的维数是多少 7 Rn 若是数域上维向量空间的一个基 8 12 n FnV 也是的一个基吗 122311 nnn V 是向量空间的一个基吗 9 1 2 1 2 xxxx 2 F x 取的两个向量 求的一个含的基 10 4 R 12 1 0 1 0 1 1 2 0 4 R 12 在中求基到基 11 3 R 123 1 0 1 1 1 1 1 1 1 的过渡矩阵 123 3 0 1 2 0 0 0 2 2 在中求向量关于基 12 4 F 1 2 1 1 123 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 的坐标 4 1 1 1 1 设表示几何空间中过原点之某平面的全体向量所构成的子空间 为过原 13 1 W 3 V 1 2 W 点之某平面上的全体向量所构成的子空间 则与是什么 能不 2 12 WW 12 WW 12 WW 能是直和 设求和 其中 14 1123212 WLWL 12 WW 12 WW 123 1 2 1 2 3 1 1 1 1 0 1 1 12 2 5 6 5 1 2 7 3 证明 数域上两个有限维向量空间同构的充分必要条件是它们维数相等 15 F 设都是实数域的向量空间 问与 16 ab Va b cR Wd ed eR bc RV 是否同构 说明理由 W 设为向量空间的一个基 令且 17 12 n 12 1 2 ii in 证明 ii WL 12n VWWW 答案 1 不是的子空间 若若未必等于零 对加法不封闭 1 1 WV 1 A BWAB 1 W 不是的子空间 因为 则 但 对加法不封2 2 WV 3 0AWA 0A 0AA 闭 2 是的子空间 因为两个连续函数的和及数乘连续函数仍为连续函数 1 1 W L R 是的子空间 因为两个奇函数的和及数乘奇函数仍为奇函数 2 2 W L R 是的子空间 因为非空 且对任意有3 3 W L R 3 W 3 f gWR 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 fgfgfgfg ffff 故 3 fgfW 3 是 因是齐次方程组的全体解向量 1 1 W 12 0 n xxx 不是的子空间 因对加法不封闭 2 2 W n R 2 W 不是子空间 因对数乘运算不封闭 3 3 W 当时 的所有解向量不能构成上的向量空间 因维零向量不是 4 0b AXb Fn 的解向量 当时 的所有解向量能构成上的向量空间 AXb 0b 0AX F 5 维数是 2 因线性无关 而 1 2 3 1 1 4 2 5 2 4 2 2 3 1 1 4 2 维数是 2 因易证线性无关 但 2 2 1 1xx 22 1 1 0 xxxx 解 令表示 行列位置元素是 其余是零的矩阵 那么易证这个矩 6 ij Eij1m n ij Em n 阵是线性无关的 它们作成的一个基 故的维数是 m n MR m n MR m n 为全体阶对称矩阵构成的向量空间的一个基 7 1 2 3 iiijji EEEi jn ij n 其中共有个向量 故此向量空间的维数 12 1 nn 1 2 n n 解 由 8 121112 nnnn A 得 当为偶数时 故线性相关 它不构 1 1 1 nA n 0A 12231 n 成基 当为奇数时 故线性无关 它构成一个基 n 0 A 12231 n 解 在基之下有 9 2 1 x x 2 122 1 2 1 2 1 111 001 xxxxx x 因上式右方的阶矩阵为可逆 所以线性无关 它是的一个31 2 1 2 xxxx 2 F x 基 解 取向量 由于 10 34 0 0 1 0 0 0 0 1 1100 0100 10 1210 0001 因此线性无关 所以向量组是的一个基 1234 4 R 解 由 11 123123123123 AB 推出 1 123123 A B 因此所求过渡矩阵为 1 011 320100 11 0002111 22 102111 11 1 22 A B 解 取的标准基 由到的过渡矩阵为 12 4 F 1234 1234 1234 1111 1111 1111 1111 A 于是关于基的坐标为 1 2 1 1 1234 1 5 4 1 1 2 4 11 41 1 4 A 解 由于 皆过原点 它们必相交 因此或重合 或不重合 若与重合 则 13 1 W 2 W 1 W 2 W 若与不重合 则为一条过原点的直线 而 121121 WWW WWW 1 W 2 W 12 WW 但不能是直和 12 WWV 12 WW 解 设为交空间的任意向量 由 14 112233112212 kkkttWW 1122331122 0 kkktt 得齐次线性方程组 12312 1212 12312 12312 320 2520 670 2530 kkktt kktt kkktt kkktt 由行初等变换知方程组的系数矩阵的秩为 解空间的维数为 且求得方程组的一般解为41 因此维 维 12223242 4896 7777 kt kt kt kt 12 1WW 12 4WW 取 令便有 另外显然 2 7t 12 67 12 WWL 121231 WWL 证明 设数域上两个有限维向量空间与的维数均为 因所 15 FVWn nn VFWF 以 VW 反之 若 设 且是到的同构映射 取的一个基VW dim0 Vn fVWV 易证是的一个基 故 12 n 12 n fff WdimWn 与不同构 因 与的维数不相等 16 VWdim3 dim2VW VW 证明 任取 若 那么 17 V 1122nn aaa 12123211 nnnnnnn aaaaaaaa 因此 并且中向量依诸表示唯一 故 12n VWWW V i W 12n VWWW 四 计算题 设由 生成的子空间 试 1 123 1 2 2 2 1 3 0 1 2 1 2 5 4 R W 从向量组中找出 1234 3 1 0 3 2 1 0 3 3 4 2 16 1 7 4 15 的生成元 W 解 以及为列做成矩阵 在对的行施行初等变换 1 123 1234 AA 112 3231 231 1147 202 0024 215 331615 100 11 202 010 01 211 001 11 210 000 0400 A B 由于行初等变换不改变列向量间的线性关系 由矩阵知 B 从而但由还知 113323412 2 134 LW B 线性无关 故为的一组生成元 134 134 W 在向量空间中 求由向量 2 4 R 123 2 1 3 1 4 5 3 1 1 1 3 1 生成的子空间的一个基和维数 4 1 5 3 1 解 对下述矩阵施行行的初等变换 2 24110639 15151515 3333012618 11110426 0000 1302 0000 0213 此变换保持列向量间的线性关系 由右方矩阵知是一个极大无关组 因此 13 的维数实是 而是它的一个基 1234 L 2 13 在中求出向量组的一个极大无关组 然后用它表出剩余的向量 3 4 R 12345 这里 123 2 1 3 1 1 2 0 1 1 1 3 0 45 1 1 1 1 0 12 12 5 解 对下述矩阵施行行的初等变换 3 211 1010105 12111210112 303 112303112 1101511015 0001300013 1011210105 0002600000 1101511002 由右方矩阵知是一个极大无关组 并且有 234 1235234 253 求中与矩阵可交换的矩阵构成的子空间的维数及一个基 其中 4 3 MFA 100 010 312 A 解 设这个子空间为 由于 这里 4 WAIB 000 000 311 B 因此与可交换的阶方阵 就是与可交换的阶方阵 从而A3B3 3 WXMFBXXB 任取 由 可得 ij CW Cc BCCB 132311213133 0 33 cccccc 于是当且仅当的元素为齐次线性方程组 12223233 3cccc CW C 21113133 22123233 33 3 cccc cccc 的解 于是我们得到如下矩阵 100010000 300 030 100 000000100 000000 010 310 010001 它们构成的一个基 故的维数是 WW5 求实数域上关于矩阵的全体实系数多项式构成的向量空间的一个基与维数 其中 5 AV 2 100 13 00 2 00 i A 解 因 所以 5 3 1 223 11 1 1 AAI 易证线性无关 于是任何多项式皆可由线性表示 故 2 I A A f Af xR x 2 I A A 为的一个基 2 I A Adim3V 设为向量关于基 6 1234 x x x x 12 1 0 0 1 0 2 1 0 3 0 0 1 1 的坐标 是关于基的坐标 其中 4 0 0 2 1 1234 y yyy 1234 11 yx 求基 221332442 yxx yxxyxx 1234 解 因且 6 11 22 12341234 33 44 xy xy xy xy 111 222 333 444 1000 1100 0110 0101 yxx yxx P yxx yxx 则 11 22 12341234 33 44 xx xx P xx xx 于是 即 12341234 P 1 12341234 P 故所求的基为 1234 1 2 4 3 0 2 4 2 0 0 1 1 0 0 2 1 设是维向量空间的一个基 也是 7 12 n nV 11212 n 的一个基 又若向量关于前一个基的坐标为 求关于后一个基的V 1 2 1 n n 坐标 解 基到后一个基的过渡矩阵为 7 12 n 1111 0111 0011 0001 P 那么 1 21 11001 1011011 2000121 1000111 n nn y nn y P y 故关于后一个基的坐标为 1 1 1 已知的一个基为 求向量 8 3 R 123 1 1 0 0 0 2 0 3 2 5 8 2 关于这个基的坐标 解 设 的方程组 8 112233 xxx 1 13 23 5 38 222 x xx xx 解得 故关于基的坐标 123 5 2 1xxx 123 5 2 1 已知是的一个基 9 1234 2 1 1 1 0 3 1 0 5 3 2 1 6 6 1 3 4 R 求的一个非零向量 使它关于这个基的坐标与关于标准基的坐标相同 4 R 解 由标准基到基的过渡矩阵为 9 1234 1234 2056 1336 1121 1013 P 设关于两个基的坐标为 则 1234 x x x x 11 22 33 44 xx xx P xx xx 即得齐次线性方程组 134 1334 1234 134 560 2360 0 20 xxx xxxx xxxx xxx 解得 令 则即为所求 1234 xxxx 4 0 xkkR kkk k 已知的一个基 10 4 R 123 2 1 1 1 0 3 1 0 5 3 2 1 4 6 6 1 3 求关于基的坐标 1234 x x x x 1234 解 由标准基到所给基的过渡矩阵为 10 2056 1336 1121 1013 P 那么 11 221 12341234 33 44 xx xx P xx xx 故关于基的坐标为 这里 1234 1234 y yyy 111 2221 333 444 4 91 3111 9 1 274 91 323 27 1 3002 3 7 271 91 326 27 yxx yxx P yxx yxx 五 证明题 设为向量空间的两个子空间 1 12 W W V F 证明 是的子空间 1 12 WW V 是否构成的子空间 说明理由 2 12 WW V 证明 1 显然 即 任取 易知1 12 0WW 12 WW 1212 WW kF 故是的子空间 1212112 WW kWW 12 WW V 不一定 当或时 是的子空间 但当与互不包含时 2 12 WW 21 WW 12 WW V 1 W 2 W 不是的子空间 因为总存在及使 12 WW V 1112 WW 2221 WW 而 因为这时 否则与选取 1212 WW 1212 WW 121122 WW 矛盾 设为向量空间的两个子空间 证明 是的即含又含的最小子 2 12 W WV 12 WW V 1 W 2 W 空间 证明 易知为的子空间 且 2 12121122 WWWW V 112212 WWW WWW 设为的包含与的任一子空间 对任意 有 即WV 1 W 2 W 1122 WW 12 W 故是的即含又含的最小子空间 12 WWW 12 WW V 1 W 2 W 设为向量空间的两个子空间 是的两个向量 其中 但 3 12 W W V F V 2 W 又 证明 1 W 2 W 对任意 1 2 kFkW 至多有一个使得 2 kF 1 kW 证明 3 任意若 则矛盾 故成立 1 kF 2 kW 2 kkW 1 当时 仅当时 有 当时 若存在2 1 W 0k 1 kW 1 W 使得 则 1212 k kF kk 111221 kWkW 12121 kkW 因此 矛盾 故成立 1 W 2 设为向量空间的两个子空间 证明 若 则或 4 12 W WV 1212 WWWW 12 WW 21 WW 证明 因含与中所有向量 含一切形如 4 12 WW 1 W 2 W 12 WW 的向量 因为 所以或 121122 WW 1212 WWWW 121 W 122 W 若 令 则 故 若 令 121 W 12 21 21 WW 122 W 则 故 12 12 12 WW 证明 维向量空间中 任意个线性无关的向量都可作为的一个基 5 nVnV 证明 设是中线性无关的向量 取的单位向量 则 5 12 n VV 12 n 且中每一个可由线性表示 由替换定理知 12 n VL 12 n 12 n 与等价 所以中每一个向量可由线性表示 又 12 n 12 n V 12 n 线性无关 故可作为的一个基 12 n 12 n V 设为维向量空间 中有组线性无关的向量 每组含 个向量 证明 中存在 6 VnVmtV 个向量与其中任一组组成的一个基 nt V 证明 设中组线性无关的向量分别为 令 6 Vm 12 1 2 iiit im tn 则 因存在 使 12 iiiit VL dim i Vtn 1 1 2 i Vim 线性无关 若 令 则也为的非平 121 iiit 1tn 121 iiiit VL i VV 凡子空间 同理存在 而且线性无关 如此 2 1 2 i VVim 1212 iiit 继续下去 可找到使得线性无关 故对每个 12 n t 12 iiit 12 n t i 它们都是的一个基 V 设维向量空间的向量组的秩为 使得 7 nV 12 n r 全体维向量的集合为 证明是的 1122 0 nn kkk n 12 n k kk WW n F 维子空间 nr 证明 显然 今设每个在的某个基下的坐 7 12 dim n Lr i 12 n L 标为 1 2 i i i ir a a a 1 2 in 那么由可得 1122 0 nn kkk 1122 0 nn kkk 它决定了一个含个未知量个方程的齐次线性方程组 其系数矩阵n 12 n k kk r 的秩为 故解空间即的维数为 12 n rWnr 设是数域中个不同的数 且 证明 8 12 n a aa Fn 12 n f xxaxaxa 多项式组是向量空间的一个基 1 2 i i f x f xin xa 1 n Fx 证明 因 所以只需证线性无关 设有 8 1 dim n Fxn 12 n fff 12 n k kkF 使 122 0 nn k fk fk f 由 因此将带入 得 从而 0 0 jiii faij f a i a 0 iii k f a 故线性无关 为的一个基 0 1 2 i kin 12 n fff 1 n Fx 设是的一个非零子空间 而对于的每一个向量来说 或者 9 W n RW 12 n a aa 或者每一个都不等于零 证明 12 0 n aaa i adim1 W 证明 由非零 我们总可以取 且 那么每个且 9 W 12 n b bbW 0 0 i b 线性无关 今对任意 若当然可由线性表示 若 12 n a aaW 0 而 由于其第一个分量为 由题设知 故可作为的一0 1 1 a W b 0 1 1 a b W 个基 且dim1 W 证明 是的一个基 并求关于这个基的坐标 10 22 1xx xx x 2 F x 2 273xx 证明 由基表示的演化矩阵为 10 2 dim 3 F x 22 1xx xx x 2 1 x x 001 111 110 A 但可逆 故是的一个基 A 22 1xx xx x 2 F x 关于这个基的坐标 2 273xx 3 1 3 因为 1 33 71 23 A 若都是的子空间 求证 11 123 W W WV 11231213 WWWWWWWW 证明 任意 则 且 因此 11 1123 WWWW 1 W 123 WWW 但 知 故 1311233 WWW 1 W 313 WW 1213 WWWW 反之 任意 则 1213 WWWW 12112213 WWWW 且 故 1 W 123 WWW 1123 WWWW 设是维向量空间的子空间 如果为直和 12 12 s W WW nV 12s WWW 证明 0 1 2 ij WWij i js 证明 由为直和 有 而 12 12s WWW 0 1 2 ij ij WWij i js 故 0 1 2 ijij ij WWWWij i js 0 1 2 ij WWij i js 设分别是齐次线性方程组与的解空间 13 12 W W 12 0 n xxx 12n xxx 证明 12 n FWW 证明 因的解空间的维数为 且一个基为 13 12 0 n xxx 1n 又 12 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 n 12n xxx 即方程组 12 23 1 0 0 0 nn xx xx xx 的系数矩阵的秩为 其解空间的维数为 且一个基为 但1n 1 1 1 1 线性无关 它是的一个基 且 故 121 n n F 12 dimdimdim n FWW 12 n FWW 证明 每一个维向量空间都可以表成个一维子空间的直和 14 nn 证明 设是维向量空间的一个基 那么 14 12 n nV 12 n LLL 都是一维子空间 显然 12 n VLLL 于是由中向量在此基下表示唯一 立得结论 V 证明维向量空间的任意一个真子空间都是若干个维子空间的交 15 nV1n 证明 设是的任一子空间 且设为的一个基 将其扩充为的 15 WV 12 s WV 一个基 那么令 12 s 1 sn 12111 isss is in WL 于是这些 均为维子空间 且 1 2 i W ins 1n 12n s WWWW 设是数域上向量空间到的一个同构映射 是的一个子空间 16 f VW FVW 1 VV 证明 是的一个子空间 1 f VW 证明 因 所以非空 对任意 由于是到 16 1 0 ff V 1 f V 1 f V f 1 V 的满射 因此存在 使 对任意 有 1 f V 1 V ff a bF 于是 故是 1 abV 1 f abafbfabf V 1 f V 的一个子空间 W 证明 向量空间可以与它的一个真子空间同构 17 F x 证明 记数域上所有常数项为零的多项式构成的向量空间 显然 且 17 FV Vf x 中有形式 这里 V xf x f x F x 定义 显然是到的双射 且对于任意 F xV f xxf x F xV f x g x F x a bF af xbg xx af xbg x axf xbxg xaf xbg x 故是到的同构映射 从而是的一个真子空间 F xVV F x F xV 设是复数 18 0 0 Vf xR xfWg xR xg 证明 是上的向量空间 并且 V WRVW 证明 易证是上的向量空间 18 V WR 设中次数最低的多项式为 则对任意 都有 使V h x f xV s xR x 因此 f xh x s x Vh x s xs xR x 同理 设中次数最低的多项式为 则 W k x Wk x s xs xR x 定义 h x s xk x s x 易证是到的同构映射 故 VWVW 证明 实数域作为它自身上的向量空间与全体正实数集对加法 与 19 RR abab 纯量乘法 构成上的向量空间同构 k k aa R 证明 定义 19 1 x xaa 显然是到的映射 RR 若 则 所以为单射 1 x yR xy xy aa 任意 因 则 即为满射 从而为双射 bR log log b a b a baR log b a b 任 2 x yxyxy x yRxyaa aaaxy 任 3 kxxkx kRkxaak akx 于是是到的同构映射 故 RR RR 设是数域上无限序列的集合 其中 并且只有有限不是零 20 VF 12 a a i aF i a 的加法及中的数与中元的纯量乘法同 则构成上的向量空间 证明 与VFV n FVFV 同构 F x 证明 取的一个基 则中任一多项式 20 F x 2 1 x x F x 01 n n f xaa xa x 关于这个基有唯一确定的坐标 01 0 n a aaV 定义 f x 01 0 n a aa 则是到的一个同构映射 故 F xV F xV 向量空间自测题自测题 一 单项选择题 每小题一 单项选择题 每小题 2 分 共分 共 20 分 分 1 设 n 元齐次线性方程组的系数矩阵的秩 r n 是 n 维向量组 1 2 线性相关的 条件 m A 充分 B 必要 C 充分必要 D 必要而不充 分 二 判断说明题 先判断正确与错误 再简述理由 每小题二 判断说明题 先判断正确与错误 再简述理由 每小题 5 分 共分 共 20 分 分 1 设 1 2是 的基础解系 则也是它的基础解 0 AX 2121 系 2 若是的解 则它的任意线性组合也是的解 n xxx 21 bAX bAX 3 的维数等于 2 021301 2 2 3 3 aaaaRaaxaxaxaW i 且 4 F 上向量空间 V 若含有一个非零向量 则它必含有无穷多个向量 三 简答题 每小题三 简答题 每小题 5 分 共分 共 10 分 分 1 设是的解其中 A 为 5 4 矩阵 若 321 xxxbAX 3 Ar 试写出该方程组的全部解 1 0 2 1 1 x 0 5 1 2 3 32 xx 2 已知可由 1 2 线性表出 那么 在什么情况下 表示 n 法唯一 四 计算题 每小题四 计算题 每小题 8 分 共分 共 32 分 分 1 试将用向量组 线性表出 其中 1 2 3 4 1 1 4 5 1 2 1 1 0 1 3 1 2 4 2 4 1 0 2 1 0 1 3 1 2 已知 是的两个 00 1 Rba ba W 0 0 11 1 1 2 Rca c a W 2 RM 子空间 求的一个基和维数 2121 WWWW 3 已知关于基的坐标为 1 0 2 由基到基 321 321 的过渡矩阵为 求关于基的坐标 321 012 001 423 321 4 求非齐次线性方程组 的全部解 974242 843624 12 23 54321 54321 4321 5421 xxxxx xxxxx xxxx xxxx 五 证明题 每小题五 证明题 每小题 9 分 共分 共 18 分 分 1 设 A 是任一矩阵 将 A 任意分块成 证明 n 元齐次线nm s A A A A 2 1 性方程组的解空间 V 是齐线性方程组的解空间的交 0 AX0 xAi i V 2 1si 2 设向量组 1 2 线性无关 向量可由它线性表示 而向 m 1 量不能由它线性表示 证明 m 1 个向量 1 2 必 2 m 1 2 线性无关 线性空间习题线性空间习题 一 填空题一 填空题 1 已知是的一个子空间 则维 00 0 00 a Vabca b cR cb 3 3 R V 的一组基是 V 2 在中 若线性无关 4 P 1234 1 2 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 kk 则的取值范围是 k 3 已知是数域 P 中的一个固定的数 而a 1 1 2 ni Wa xxxP in 是的一个子空间 则 而维 n PaW 4 设是数域 P 上的维列向量空间 记 n Pn 2 n n APAA 且 12 0 n WAX XPWX XPAX 则 1 2都是 的子空间 且 1 2 WW n PWW 12 WW 5 设是线性空间 V 的一组基 则由基到基 123 1 12233 xxx 123 的过渡矩阵 T 而在基下的坐标是 123 123 二 判断题二 判断题 1 设 则是的子空间 n n VP 0 n n WA APA V 2 已知为上的线性空间 则维 2 Vabi cdi a b c dR RV 3 设 是的解空间 1是 的解空间 2是 n n A BP V0 A X B V0AX V 的解空间 则 0AB X 12 VVV 4 设线性空间的子空间中每个向量可由中的线性无关的向量组VWW 线性表出 则维 12 s Ws 5 设是线性空间的子空间 如果但则必有WV V WW 且 W 三 计算题三 计算题 1 在线性空间中 2 2 P 1212 121 12111 10110137 AABB 1 求的维数与一组基 1212 L A AL B B 2 求的维数与一组基 1212 L A AL B B 2 在线性空间中 求由基到基的过渡矩阵 并求 4 P 1234 1234 在基下的坐标 其中 1 4 2 3 1234 1234 1 0 0 0 4 1 0 0 3 2 1 0 2 3 2 1 1234 1 1 8 3 0 3 7 2 1 1 6 2 1 4 1 1 四 证明题四 证明题 1 为定义在实数域上的函数构成的线性空间 令V 1 2 Wf xf xV f xfx Wf xf xV f xfx 证明 1 2皆为 的子空间 且WWV 12 VWW 2 设是 Pn的一个非零子