浙江省台州市2012-2013学年高二数理4月联考试题

1 浙江省台州市浙江省台州市 2012 20132012 2013 学年高二数理学年高二数理 4 4 月联考试题月联考试题 测试时间 120 分钟 满分 120 分 第 I 卷 一 选择题 本大题共 14 小题 每小题 3 分 共 42 分 在每小题给出的四个选项中 只有 一项是符合题目要求的 1 一个物体的运动方程为 2 1tts 其中s的单位是米 t的单位是秒 那么物体在3秒 末的瞬时速度是 A 7米 秒 B 6米 秒 C 5米 秒 D 8米 秒 2 用三段论推理命题 任何实数的平方大于 0 因为a是实数 所以 2 0a 你认为这个 推理 A 大前题错误 B 小前题错误 C 推理形式错误 D 是正确的 3 已知函数 xxxf2cos 则 xf 的导函数 xf A xxx2sin22cos B xxx2sin2cos C xxx2sin22cos D xxx2sin2cos 4 函数 xfy 在一点的导数值为0是函数 xfy 在这点取极值的 A 充分条件 B 必要条件 C 充要条件 D 必要非充分条件 5 观察按下列顺序排列的等式 9 0 1 1 9 1 211 9 2 321 9 3431 猜想第 n n N 个等式应为 A 9 1 109nnn B 9 1 109nnn C 9 1 101nnn D 9 1 1 1010nnn 6 某个命题与正整数有关 若当 Nkkn 时该命题成立 那么可推得 当 n1 k 时该命题也成立 现已知当 5 n 时该命题不成立 那么可推得 A 当 6 n 时 该命题不成立 B 当 6 n 时 该命题成立 C 当 4 n 时 该命题成立 D 当 4 n 时 该命题不成立 7 用反证法证明命题 三角形的内角中至少有一个不大于 60 度 时 反设正确的是 A 假设三内角都不大于 60 度 B 假设三内角都大于 60 度 C 假设三内角至多有一个大于 60 度 D 假设三内角至多有两个大于 60 度 2 8 若 x f xe 则 x fxf x 1 21 lim 0 A e B e C 2e D 2e 9 已知函数 f x 在 R 上可导 且 2 2 2 f xxxf 则 1 f 与 1 f 的大小 A 1 1 ff B 1 1 ff C 1 1 ff D 不确定 10 设函数 y f x 的图象如图所示 则导函数 y f x 可能为 11 已知 P Q 为抛物线 x2 2y 上两点 点 P Q 的横坐标分别为 4 2 过 P Q 分别作 抛物线的切线 两切线交于点 A 则点 A 的纵坐标为 A 1 B 3 C 4 D 8 12 点P从点O出发 按逆时针方向沿周长为l的图形运动一周 O P 两点连线的距离 y 与点P走过的路程x的函数关系如图 那么点P所走的图形是 13 已知的导函数为 且 则下面在上恒成立的是 14 如图 一个正五角星薄片 其对称轴与水面垂直 匀速地升出水面 记 t 时刻五角星露 出水面部分的图形面积为 00S tS 则导函数 yS t 的图像大致为 填空题 本大题共 6 小题 每小题 4 分 共 24 分 15 若 3 0 3f xxfx 则 0 x 的值为 16 曲线 3 3yxx 在点 1 3 处的切线方程为 3 17 已知函数 mxexf x 2 其中 718 2 e 在区间 0 1 上单调递减 则实数 m的取值范围为 18 直线 ay 与函数 xxxf3 3 的图像有相异的三个公共点 则a的取值范围是 19 用数学归纳法证明不等式 1 n N 成立 其初始值至少应取 1 2 1 4 1 2n 1 127 64 20 类比余弦定理 在 DEF 中有余弦定理 DFEEFDFEFDFDE cos2 222 拓展到空间 类比三角形的余弦定理 写出斜 三棱柱 ABC 111 CBA 的 3 个侧面面积之间的关系式 其中 为侧面为 11A ABB 与 11B BCC 所成 的二面角的平面角 三 解答题 本大题共 5 小题 共 50 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 21 已知函数 23 bxaxy 当 1x 时 有极大值3 1 求 a b的值 2 求函数y 的极小值 22 本题 12 分 已知数列 Sn 为该数列的前 n 项和 8 1 12 32 8 2 32 52 8 n 2n 1 2 2n 1 2 1 计算 S1 S2 S3 S4 2 根据计算结果 猜想 Sn 的表达式 并用数学归纳法进行证明 23 用长为 18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架 要求长方体的长与宽之比为 2 1 问 该长方体的长 宽 高各为多少时 其体积最大 最大体积是多少 24 某同学在一次研究性学习中发现 以下五个式子的值都等于同一个常数 1 sin213 cos217 sin13 cos17 2 sin215 cos215 sin15 cos15 3 sin218 cos212 sin18 cos12 4 sin2 18 cos248 sin2 18 cos248 5 sin2 25 cos255 sin2 25 cos255 试从上述五个式子中选择一个 求出这个常数 根据 的计算结果 将该同学的发现推广位三角恒等式 并证明你的结论 25 已知函数 2 1 ln 0 f xaxx a x I 若 f x 是定义域上的单调函数 求a的取值范围 II 若 f x 在定义域上有两个极值点 1 x 2 x 证明 12 32ln2 f xf x 4 5 012 2013 学年第二学期高二统练试题 参考答案与评分标准 一 选择题 本大题共 14 小题 每小题 3 分 共 42 分 在每小题给出的四个选项中 只有 一项是符合题目要求的 填空题 本大题共 6 小题 每小题 4 分 共 24 分 1 16 2x y 1 0 m 2 18 2 a 2 8 20 cos2 1111111111 222 BBCCAABBBBCCAABBCCAA SSSSS 三 解答题 本大题共 5 小题 共 54 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 22 本小题 10 分 S1 S2 S3 S4 8 9 24 25 48 49 80 81 推测 Sn n N 用数学归纳法证明如下 5 分 2n 1 2 1 2n 1 2 1 当 n 1 时 S1 等式成立 2 1 2 1 2 1 2 8 9 2 假设当 n k 时 等式成立 即 Sk 那么当 n k 1 时 2k 1 2 1 2k 1 2 Sk 1 Sk 8 k 1 2k 1 2 2k 3 2 6 2k 1 2 1 2k 1 2 8 k 1 2k 1 2 2k 3 2 2k 1 2 1 2k 3 2 8 k 1 2k 1 2 2k 3 2 2k 1 2 2k 3 2 2k 3 2 8 k 1 2k 1 2 2k 3 2 2k 1 2 2k 3 2 2k 1 2 2k 1 2 2k 3 2 2k 3 2 1 2k 3 2 2 k 1 1 2 1 2 k 1 1 2 也就是说 当 n k 1 时 等式成立 根据 1 和 2 可知对一切 n N 等式均成立 10 分 23 本小题 10 分 解设长方体的宽为 x m 则长为 2x cm 高为 2 3 0m c 35 4 4 1218 xx x h 3 分 故长方体的体积为 2 3 0 mc 69 35 4 2 3322 xxxxxxV 从而 1 181818 2 xxxxxV 6 分 令 V x 0 解得 x 0 舍去 或 x 1 因此 x 1 当 0 x 1 时 V x 0 当 1 x 3 2 时 V x 0 故在 x 1 处 V x 取得极大值 并且这个极大值就是 V x 的最大值 从而最大体积 V V x 9 12 6 13 cm3 此时长方体的长为 2 cm 高为 1 5 cm 10 分 答 当长方体的长为 2 cm 时 宽为 1 cm 高为 1 5 cm 时 体积最大 最大体积为 3 cm3 7 24 本小题 10 分 25 解 本小题 14 分 f x lnx ax2 x f x 2ax 1 1 x 2 分 2ax2 x 1 x 法一 若 f x 在 0 单调递增 则 0fx 在 0 上恒成立 2 210axx 由于 2 21xaxx 开口向上 所以上式不恒成立 矛盾 4 分 若 f x 在 0 单调递减 则 0fx 在 0 上恒成立 2 210axx 由于 2 21xaxx 开口向上 对称轴为 1 0 4 x a 故只须 1 8a 0 解得 a 1 8 综上 a 的取值范围是 7 分 1 8 法二 令 1 8a 当 a 时 0 f x 0 f x 在 0 单调递减 4 分 1 8 当 0 a 时 0 方程 2ax2 x 1 0 有两个不相等的正根 x1 x2 不妨设 x1 x2 1 8 则当 x 0 x1 x2 时 f x 0 当 x x1 x2 时 f x 0 这时 f x 不是单调函 数 8 综上 a 的取值范围是 7 分 1 8 由 知 当且仅当 a 0 时 f x 有极小值点 x1 和极大值点 x2 1 8 且 x1 x2 x1x2 1 2a 1 2a f x1 f x2 lnx1 ax x1 lnx2 ax x2 2