高中数学 第一章 导数及其应用单元测试 理科 新人教A版选修2-2

1 a b x y xfy O a b x y xfy O 导数及其应用导数及其应用 理科理科 选择题选择题 每题 5 分 共 60 分 1 满足 f xfx 的函数是 A f x 1 xB f x xC f x 0D f x 1 2 曲线 3 4yxx 在点 1 3 处的切线方程是 A 74yx B 72yx C 4yx D 2yx 3 若关于 x的函数 2m n ymx 的导数为4yx 则mn 的值为 A 3 B 1 C 1 D 3 4 设lnyxx 则此函数在区间 0 1 内为 A 单调递增 B 有增有减 C 单调递减 D 不确定 5 已知 f x 3 x sin xx 则 1 f A 3 1 cos1 B 3 1 sin1 cos1 C 3 1 sin1 cos1 D sin1 cos1 6 函数f x x3 3x 1 在闭区间 3 0 上的最大值 最小值分别是 A 1 1 B 3 17C 1 17 D 9 19 7 f x 与g x 是定义在 R 上的两个可导函数 若f x g x 满足f x g x 则 A f x g x B f x g x 为常数函数 C f x g x 0 D f x g x 为常数函数 8 函数 xf的定义域为开区间 ba 导函数 x f 在 ba内的图象如图所示 则函数 xf在开区间 ba内有极小值点 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 9 设函数 f x在定义域内可导 yf x 的图象如图 1 所示 则导函数 yfx 可能为 x y O A x y O B x y O C y O D x x y O 图 1 2 10 设f x g x 分别是定义在 R R 上的奇函数和偶函数 当x 0 且 3 0g 则不等式f x g x 0 2 0 sin4xdx 已知 F xf x 且F x 是以T为周期的函数 则 0 aa T T f x dxf x dx 其中正确命题的个数为 A 1 B 2 C 3 D 0 12 已知函数 2 f xxbx 的图象在点 1 1 Af处的切线的斜率为 3 数列 1 nf 的前n项和为 n S 则 2011 S的值为 2012 2011 2011 2010 2010 2009 2009 2008 DCBA 二 填空题填空题 每题 5 分 共 20 分 13 若 32 33 2 1f xxaxax 有极大值和极小值 则a的取值范围是 14 函数 32 26 f xxxm m 为常数 在 2 2 上有最大值 3 那么此函数在 2 2 上的最小值为 15 周长为 20cm 的矩形 绕一条边旋转成一个圆柱 则圆柱体积的最大值为 16 已知 xf为一次函数 且 1 0 2 f xxf t dt 则 xf 三 解答题解答题 共 70 分 17 本小题满分 10 分 已知曲线 3 2yxx 在点 P0 处的切线 1 l 平行直线 4x y 1 0 且点 P0 在第 三象限 1 求P0的坐标 2 若直线 1 ll 且 l 也过切点P0 求直线l的方程 18 本小题满分 12 分 将边长为a的一块正方形铁皮的四角各截去一个大小相同的小正方形 然后将四边 折起做成一个无盖的方盒 欲使所得的方盒有最大容积 截去的小正方形的边长应为 3 多少 方盒的最大容积为多少 19 本小题满分 12 分 已知a为实数 4 2 axxxf 1 求导数 x f 2 若0 1 f 求 xf在 2 2 上的最大值和最小值 3 若 xf在 2 和 2 上都是递增的 求a的取值范围 20 本小题满分 12 分 已知函数 ln 1 f xxx 1 求函数f x 的单调递减区间 2 若1x 证明 1 1ln 1 1 xx x 21 本小题满分 12 分 已知函数 lnf xx 0 x 函数 1 0 g xafx x fx 1 当0 x 时 求函数 yg x 的表达式 2 若0a 函数 yg x 在 0 上的最小值是 2 求a的值 3 在 的条件下 求直线 27 36 yx 与函数 yg x 的图象所围成图形的面积 22 本小题满分 12 分 若存在实常数k和b 使得函数 f x和 g x对其定义域上的任意实数x分别满足 f xkxb 和 g xkxb 则称直线 lykxb 为 f x和 g x的 隔离直线 已知 2 h xx 2eln exx 为自然对数的底数 1 求 F xh xx 的极值 2 函数 h x和 x 是否存在隔离直线 若存在 求出此隔离直线方程 若不存在 请 说明理由 4 导数及其应用 参考答案 理科 一 选择题 CDBCB BBADD BD 二 填空题 13 2a 或1a 14 37 15 4000 27 cm2 16 1f xx 三 解答题 17 解 由y x3 x 2 得y 3x2 1 由已知得 3x2 1 4 解之得x 1 当x 1 时 y 0 当x 1 时 y 4 又 点P0在第三象限 切点P0的坐标为 1 4 直线 1 ll 1 l的斜率为 4 直线l的斜率为 1 4 l过切点P0 点P0的坐标为 1 4 直线l的方程为 1 4 1 4 yx 即4170 xy 18 解 设小正方形的边长为x 则盒底的边长为a 2x 方盒的体积 2 2 0 2 a Vx axx 121 2 6 0 0 0 0 26226 aaaaa Vax axVxxxxV 令则由且对于 0 6 2 a a xV 函数V在点x 处取得极大值 由于问题的最大值存在 a 6 V 即为容积的最大值 此时小正方形的边长为 a 6 2a3 27 a 6 19 解 由原式得 44 23 axaxxxf 4 23 2 axxxf 由0 1 f 得 2 1 a 此时有43 2 1 4 22 xxxfxxxf 由0 x f得 3 4 x或 x 1 又 0 2 0 2 2 9 1 27 50 3 4 ffff 所以 f x 在 2 2 上的最大值为 2 9 最小值为 27 50 解法一 423 2 axxxf的图象为开口向上且过点 0 4 的抛物线 由条件得 0 2 0 2 ff 即 480 840 a a 2 a 2 所以a的取值范围为 2 2 解法二 令0 x f即 0423 2 axx 由求根公式得 5 2 1 212 12 3 aa xxx 所以 4 23 2 axxxf在 1 x 和 2 x上非负 由题意可知 当2x 或2x 时 x f 0 从而 1 2x 2 2x 即 612 612 2 2 aa aa 解不等式组得 2 a 2 a的取值范围是 2 2 20 解 函数f x 的定义域为 1 fx 1 1x 1 1 x x 由 fx 1 得x 0 当x 0 时 f x 是减函数 即f x 的单调递减区间为 0 证明 证明 由 知 当x 1 0 时 fx 0 当x 0 时 fx 0 因此 当1x 时 f x 0 f 即ln 1 xx 0 ln 1 xx 令 1 ln 1 1 1 g xx x 则 2 11 1 1 g x xx 2 1 x x 当x 1 0 时 g x 0 当x 0 时 g x 0 当1x 时 g x 0 g 即 1 ln 1 1 1 x x 0 1 ln 1 1 1 x x 综上可知 当1x 时 有 1 1ln 1 1 xx x 21 解 lnf xx 当0 x 时 lnf xx 当0 x 时 ln f xx 当0 x 时 1 fx x 当0 x 时 11 1 fx xx 当0 x 时 函数 a yg xx x 由 知当0 x 时 a g xx x 当0 0ax 时 2 g xa当且仅当xa 时取等号 函数 yg x 在 0 上的最小值是2 a 依题意得22a 1a 6 由 27 36 1 yx yx x 解得 21 2 1 3 2 2 5 13 2 6 xx y y 直线 27 36 yx 与函数 yg x 的图象所围成图形的面积 2 3 2 271 36 Sxxdx x 2ln23ln 24 7 22 解 1 F xh xx 2 2eln 0 xx x 2e2 e e 2 xx F xx xx 当ex 时 0F x 当0ex 时 0F x 此时函数 F x递减 当ex 时 0F x 此时函数 F x递增 当ex 时 F x取极小值 其极小值为0 2 解法一解法一 由 1 可知函数 xh和 x 的图象在ex 处有公共点 因此若存在 xh和 x 的隔离直线 则该直线过这个公共点 设隔离直线的斜率为k 则直线方程为e e yk x 即eeykxk 由 ee R h xkxkx 可得 2 ee0 xkxk 当Rx 时恒成立 2 2 e k 由0 得2 ek 下面证明 2 eexx 当0 x时恒成立 令 2 eeG xxx 2eln2 eexx 则 2e2 e e 2 e x G x xx 当xe 时 0G x 7 当0ex 时 0G x 此时函数 G x递增 当ex 时 0G x 此时函数 G x递减 当ex 时 G x取极大值 其