高中数学《直线与圆》同步练习1 北师大版必修2

1 直线与圆直线与圆 变式题变式题 1 北师大版必修 2 第 93 页 A 组第 1 题 已知点 33 1 3 1 BA 求直线AB的斜率 变式 1 已知点 33 1 3 1 BA 则直线AB的倾斜角是 A 3 B 6 C 3 2 D 6 5 解 3 11 333 AB k 3tan 0 3 2 3 故选 C 变式 2 2006 年北京卷 若三点 0 0 0 2 2 abbCaBA共线 则 ba 11 的值等于 解 A B C三点共线 ACAB kk 20 2 2 20 b a 2baab 2 111 ba 变式 3 已知点 2 5 1 1 BA 直线l的倾斜角是直线AB的倾斜角的一半 求直线 l的斜率 解 设直线l的倾斜角为 则直线AB的倾斜角为 2 依题意有 4 3 15 1 2 2tan 4 3 tan1 tan2 2 03tan8tan3 2 3 1 tan 或3tan 由 00 18020 得 00 900 0tan 3 1 tan 直线l的斜率为 3 1 2 人教 A 版必修 2 第 111 页 A 组第 9 题 求过点 3 2 P 并且在两轴上的截距相等的直线方程 变式 1 直线0632 yx在x轴上的截距为a 在y轴上的截距为b 则 A 2 3 ba B 2 3 ba C 2 3 ba D 2 3 ba 解 令0 x得2 y 直线在y轴上的截距为2 b 令0 y得3 x 直线在 x轴上的截距为3 a 故选 B 变式 2 过点 3 2 P 且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是 解 依题意 直线的斜率为 1 或直线经过原点 直线的方程为23 xy或xy 2 3 2 即01 yx或023 yx 变式 3 直线l经过点 3 2 P 且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形 求直线l的方程 解 依题意 直线l的斜率为 1 直线l的方程为23 xy或 2 3 xy 即 01 yx或05 yx 3 人教 A 版必修 2 第 124 页 A 组第 3 题 求直线01052 yx与坐标轴围成的三角形的面积 变式 1 过点 5 4 且与两坐标轴围成的三角形面积为 5 的直线方程是 解 设所求直线方程为 5 4 xky 依题意有5 45 5 4 2 1 k k 0163025 2 kk 无解 或0165025 2 kk 解得 5 2 k或 5 8 k 直线的方程是01052 yx或02058 yx 变式 2 2006 年上海春季卷 已知直线l过点 1 2 P 且与x轴 y轴的正半轴分别交 于A B两点 O为坐标原点 则 OAB面积的最小值为 解 设直线AB的方程为 0 2 1 kxky 则 4 1 4 24 2 1 1 4 4 2 11 44 2 1 21 1 2 2 1 k k k k k kk k S OAB 当且仅当 k k 1 4 即 2 1 k时取等号 当 2 1 k时 OAB S 有最小值 4 变式 3 已知射线 0 4 xxyl和点 4 6 M 在射线l上求一点N 使直线MN与 l及x轴围成的三角形面积S最小 解 设 1 4 000 xxxN 则直线MN的方程为0 4 6 6 44 00 yxxx 令 0 y得 1 5 0 0 x x x 2 1 1 1 10 1 1 1 10 1 10 4 1 5 2 1 0 0 0 2 0 0 2 0 0 0 0 x x x x x x x x x S 40 2 1 1 1 2 10 0 0 x x 当且仅当 1 1 1 0 0 x x 即2 0 x时取等号 当N为 2 8 时 三角形面积S最小 4 北师大版必修 2 第 117 页 A 组第 10 题 3 求过点 4 1 A 且与直线0532 yx平行的直线的方程 变式 1 2005 年全国卷 已知过点 2 mA 和 4 mB的直线与直线012 yx平行 则m的值为 A 0 B 8 C 2 D 10 解 依题意有2 2 4 m m 解得8 m 故选 B 变式 2 与直线0532 yx平行 且距离等于13的直线方程是 解 设所求直线方程为032 myx 则13 32 5 22 m 解得18 m或8 m 直线方程为01832 yx或0832 yx 变式 3 已知三条直线0 0134 0532 ymxyxyx不能构成三角形 求 实数m的取值集合 解 依题意 当三条直线中有两条平行或重合 或三条直线交于一点时 三条直线不能构 成三角形 故 2 3 m 或 3 4 m或1 m 实数m的取值集合是 2 4 1 3 3 5 北师大版必修 2 第 117 页 A 组第 7 题 若直线062 yax和直线0 1 1 2 ayaax垂直 求a的值 变式 1 1987 年上海卷 若直线062 1 yaxl与直线 0 1 1 2 2 ayaxl平行但不重合 则a等于 A 1 或 2 B 1 C 2 D 3 2 解 21 l l 21 kk 且 21 bb 1 1 2 a a 且 1 1 3 2 a a 解得1 a 故 选 B 变式 2 2005 年北京春季卷 2 1 m 是 直线013 2 myxm与直线 03 2 2 ymxm相互垂直 的 A 充分必要条件 B 充分而不必要条件 C 必要而不充分条件 D 既不充分也不必要条件 解 由20 2 3 2 2 0 212121 mmmmmBBAAll或 2 1 m 4 知由 2 1 m可推出 21 ll 但由 21 ll 推不出 2 1 m 故 2 1 m是 21 ll 的充分不必要条 件 故选 B 变式 3 设直线062 yax与圆042 22 yxyx相交于点P Q两点 O为 坐标原点 且OQOP 求m的值 解 圆042 22 yxyx经过原点O 且OQOP PQ是圆的直径 圆心 1 2 在直线062 yax上 2 m 6 人教 A 版必修 2 第 110 页 A 组第 3 题 已知 4 7 A 6 5 B 求线段AB的垂直平分线的方程 变式 1 已知 4 7 A关于直线l的对称点为 6 5 B 则直线l的方程是 A 01165 yx B 0156 yx C 01156 yx D 0165 yx 解 依题意得 直线l是线段AB的垂直平分线 6 5 AB k 5 61 AB l k k AB的中点为 1 1 直线l的方程是 1 5 6 1 xy即0156 yx 故选 B 变式 2 已知圆16 4 7 22 yx与圆16 6 5 22 yx关于直线l对称 则直线l的方程是 解 依题意得 两圆的圆心 4 7 A与 6 5 B关于直线l对称 故直线l是线段AB的垂 直平分线 由变式 1 可得直线l的方程为0156 yx 变式 3 求点 4 7 A关于直线0156 yxl的对称点B的坐标 解 设 yxB 由lAB 且AB的中点在直线l上 得 01 2 4 5 2 7 6 1 5 6 7 4 yx x y 解得 6 5 y x 6 5 B 7 北师大版必修 2 第 118 页 B 组第 2 题 光线自点 3 2 M射到点 0 1 N后被x轴反射 求反射光线所在直线的方程 5 变式 1 一条光线从点 3 2 P射出 经x轴反射 与圆1 2 3 22 yx相切 则反 射光线所在直线的方程是 解 依题意得 点P关于x轴的对称点 3 2 P在反射光线所在的直线上 故可设反射光 线所在直线的方程为 2 3 xky 即032 kykx 由反射光线与圆相切得 1 1 55 2 k k 解得 3 4 k或 4 3 k 反射光线所在直线的方程是 2 3 4 3 xy或 2 4 3 3 xy 即0134 yx或0643 yx 变式 2 2003 年全国卷 已知长方形的四个顶点 0 0 A 0 2 B 1 2 C和 1 0 D 一质点从AB的中点 0 P沿与AB夹角为 的方向射到BC上的点 1 P后 依次反射到CD DA和AB上的点 2 P 3 P和 4 P 入射角等于反射角 设 4 P的坐标为 0 4 x 若 20 4 x 则 tan的取值范围是 A 1 3 1 B 3 2 3 1 C 2 1 5 2 D 3 2 5 2 解 用特例法 取1 4 x 则 1 P 2 P 3 P 4 P分别为BC CD DA AB的中点 此时 2 1 tan 依题意 包含 2 1 tan 的选项 A B D 应排除 故选 C 变式 3 已知点 15 2 5 3 BA 在直线0443 yxl上求一点 P 使 PBPA 最小 解 由题意知 点 A B 在直线l的同一侧 由平面几何性质可知 先作出点A关于直线l的 对称点 A 然后连结BA 则直线BA 与l的交点 P 为所求 事实上 设点 P是l上异于 P 的点 则PBPABABPAPBPAP 设 yxA 则 04 2 5 4 2 3 3 1 4 3 3 5 yx x y 解得 3 3 y x 3 3 A 直线 BA 的方程为05118 yx 由 05118 0443 yx yx 解得 3 3 8 y x 3 3 8 P 6 8 人教 A 版必修 2 第 144 页 A 组 3 求以 3 1 N为圆心 并且与直线0743 yx相切的圆的方程 变式 1 2006 年重庆卷 过坐标原点且与圆0 2 5 24 22 yxyx相切的直线的方 程为 A xy3 或xy 3 1 B xy3 或xy 3 1 C xy3 或xy 3 1 D xy3 或xy 3 1 解 设直线方程为kxy 即0 ykx 圆方程可化为 2 5 1 2 22 yx 圆 心为 2 1 半径为 2 10 依题意有 2 10 1 12 2 k k 解得3 k或 3 1 k 直线方 程为xy3 或xy 3 1 故选 A 变式 2 2006 年湖北卷 已知直线0125 ayx与圆02 22 yxx相切 则 a的值为 解 圆1 1 22 yx的圆心为 1 0 半径为 1 1 125 5 22 a 解得8 a或 18 a 变式 3 求经过点 5 0 A 且与直线02 yx和02 yx都相切的圆的方程 解 设所求圆的方程为 222 rbyax 则 r baba rba 5 2 5 2 5 222 解得 5 3 1 r b a 或 55 15 5 r b a 圆的方程为5 3 1 22 yx或125 15 5 22 yx 9 人教 A 版必修 2 第 144 页 A 组 第 5 题 求直线063 yxl被圆042 22 yxyxC截得的弦AB的长 变式 1 1999 年全国卷 直线0323 yx截圆4 22 yx得的劣弧所对的圆心 角为 A 6 B 4 C 3 D 2 解 依题意得 弦心距3 d 故弦长22 22 drAB 从而 OAB是等边三角形 7 故截得的劣弧所对的圆心角为 3 AOB 故选 C 变式 2 2006 年天津卷 设直线03 yax与圆4 2 1 22 yx相交于A B两点 且弦AB的长为32 则 a 解 由弦心距 半弦长 半径构成直角三角形 得 222 2 2 3 1 1 a a 解得0 a 变式 3 已知圆6 2 1 22 yxC 直线01 mymxl 1 求证 不论m取什么实数 直线l与圆C恒交于两点 2 求直线l被圆C截得的弦长最小时l的方程 解 1 直线 1 1 xmyl恒过定点 1 1 P 且65 rPC 点P在 圆内 直线l与圆C恒交于两点 2 由平面几何性质可知 当过圆内的定点P的直线l垂直于PC时 直线l被圆C截得 的弦长最小 此时2 1 PC l k k 所求直线l的方程为 1 21 xy即 012 yx 10 北师大版必修 2 第 117 页 A 组 第 14 题 已知直线0323 yx和圆4 22 yx 判断此直线与已知圆的位置关系 变式 1 2006 年安徽卷 直线1 yx与圆 0 02 22 aayyx没有公共点 则 a的取值范围是 A 12 0 B 12 12 C 12 12 D 12 0 解 依题意有a a 2 1 解得1212 a 0 a 120 a 故选 A 变式 2 2006 年湖北卷 若直线2 kxy与圆1 3 2 22 yx有两个不同的交 点 则k的取值范围是 解 依题意有1 1 12 2 k k 解得 3 4 0 k k的取值范围是 3 4 0 变式 3 若直线mxy 与曲线 2 4xy 有且只有一个公共点 求实数m的取值范 围 8 解 曲线 2 4xy 表示半圆 0 4 22 yyx 利用数形结合法 可得实数 m的取值范围是22 m或22 m 11 北师大版必修 2 第 101 页例 8 判断圆02662 22 1 yxyxC与圆0424 22 2 yxyxC的位置关系 并画出图形 变式 1 1995 年全国卷 圆02 22 xyx和圆04 22 yyx的位置关系是 A 相离 B 外切 C 相交 D 内切 解 圆1 1 22 yx的圆心为 0 1 1 O 半径1 1 r 圆4 2 22 yx的圆心为 2 0 2 O 半径2 2 r 1 3 5 122121 rrrrOO 212112 rrOOrr 两圆相交 故选 C 变式 2 若圆042 222 mmxyx与圆08442 222 mmyxyx相切 则实数m的取值集合是 解 圆4 22 ymx的圆心为 0 1 mO 半径2 1 r 圆 9 2 1 22 myx的圆心为 2 1 2 mO 半径3 2 r 且两圆相切 2121 rrOO 或 1221 rrOO 5 2 1 22 mm或1 2 1 22 mm 解得 5 12 m或2 m 或0 m或 2 5 m 实数m的取值集合是 2 0 2 5 5 12 变式 3 求与圆5 22 yx外切于点 2 1 P 且半径为52的圆的方程 解 设所求圆的圆心为 1 baO 则所求圆的方程为20 22 byax 两圆外切 于点P 1 3 1 OOOP 3 1 2 1 ba 6 3 ba 所求圆的方程为 20 6 3 22 yx 12 人教 A 版必修 2 第 145 页 B 组第 2 题 已知点 2 4 6 2 2 2 CBA 点P在圆4 22 yx上运动 求 222 PCPBPA 的最大值和最小值 9 变式 1 2006 年湖南卷 圆01044 22 yxyx上的点到直线014 yx的 最大距离与最小距离的差是 A 36 B 18 C 26 D 25 解 圆18 2 2 22 yx的圆心为 2 2 半径23 r 圆心到直线的距离 rd 25 2 10 直线与圆相离 圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是 262 rrdrd 故选 C 变式 2 已知 0 2 A 0 2 B 点P在圆4 4 3 22 yx上运动 则 22 PBPA 的最小值是 解 设 yxP 则 828 2 2 2 2 222222 22 OPyxyxyxPBPA 设圆心为 4 3 C 则 325 min rOCOP 22 PBPA 的最小值为26832 2 变式 3 已知点 yxP在圆1 1 22 yx上运动 1 求 2 1 x y 的最大值与最小值 2 求yx 2的最大值与最小值 解 1 设k x y 2 1 则k表示点 yxP与点 2 1 连线的斜率 当该直线与圆相切 时 k取得最大值与最小值 由1 1 2 2 k k 解得 3 3 k 2 1 x y 的最大值为 3 3 最小值为 3 3 2 设myx 2 则m表示直线myx 2在y轴上的截距 当该直线与圆相切时 m取得最大值与最小值 由1 5 1 m 解得51 m yx 2的最大值为51 最小值为51 13 人教 A 版必修 2 第 135 页 B 组第 3 题 10 已知点M与两个定点 0 0 O 0 3 A的距离的比为 2 1 求点M的轨迹方程 变式 1 2006 年四川卷 已知两定点 0 2 A 0 1 B 如果动点P满足PBPA2 则点P的轨迹所包围的面积等于 A B 4 C 8 D 9 解 设点P的坐标是 yx 由PBPA2 得 2222 1 2 2 yxyx 化简 得4 2 22 yx 点P的轨迹是以 2 0 为圆心 2 为半径的圆 所求面积为 4 故选 B 变式 2 2004 年全国卷 由动点P向圆1 22 yx引两条切线PA PB 切点分别为 A B APB 600 则动点P的轨迹方程是 解 设 yxP APB 600 OPA 300 APOA 22 OAOP 2 22 yx 化简得4 22 yx 动点P的轨迹方程是4 22 yx 变式 3 2003 年北京春季卷 设 0 0 0 ccBcA为两定点 动点P到A点的距 离与到B点的距离的比为定值 0 aa 求P点的轨迹 解 设动点P的坐标为 yxP 由 0 aa PB PA 得a ycx ycx 22 22 化简得0 1 1 2 1 1 2222222 acxacyaxa 当1 a时 化简得 0 1 1 2 2 2 2 22 cx a ac yx 整理得 2 2 22 2 2 1 2 1 1 a ac yc a a x 当1 a时 化简得0 x 所以当1 a时 P点的轨迹是以 0 1 1 2 2 c a a 为圆心 1 2 2 a ac 为半径的圆 当1 a时 P点的轨迹是y轴 14 人教 A 版必修 2 第 133 页例 5 已知线段AB的端点B的坐标是 4 3 端点A在圆4 1 22 yx上运动 求线段 AB的中点M的轨迹方程 变式 1 已知定点 0 3 B 点A在圆1 22 yx上运动 M是线段AB上的一点 且 11 MBAM 3 1 则点M的轨迹方程是 A 9 1 22 yx B 1 3 22 yx C 16 9 4 3 22 yx D 9 16 1 22 yx 解 设 11 yxAyxM MBAM 3 1 3 3 1 11 yxyyxx yyy xxx 3 1 3 3 1 1 1 yy xx 3 4 1 3 4 1 1 点A在圆1 22 yx上运动 1 2 1 2 1 yx 1 3 4 1 3 4 22 yx 即 16 9 4 3 22 yx 点M的轨迹方程 是 16 9 4 3 22 yx 故选 C 变式 2 已知定点 0 3 B 点A在圆1 22 yx上运动 AOB 的平分线交AB于点M 则点M的轨迹方程是 解 设 11 yxAyxM OM是AOB 的平分线 3 1 OB OA MB AM MBAM 3 1 由变式 1 可得点M的轨迹方程是 16 9 4 3 22 yx 变式 3 已知直线1 kxy与圆4 22 yx相交于A B两点 以OA OB为邻边作 平行四边形OAPB 求点P的轨迹方程 解 设 yxP AB的中点为M OAPB是平行四边形 M是OP的中点 点 M的坐标为 2 2 yx 且ABOM 直线1 kxy经过定点 1 0 C CMOM 0 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 yyxyxyx CMOM 化简得 1 1 22 yx 点P的轨迹方程是1 1 22 yx 15 人教 A 版必修 2 第 144 页练习第 3 题 某圆拱桥的水面跨度 20m 拱高 4m 现有一船宽 10m 水面以上高 3m 这条船能否从 桥下通过 变式 1 某圆拱桥的水面跨度是 20m 拱高为 4m 现有一船宽 9m 在水面以上部分高 3 m 故通行无阻 近日水位暴涨了 1 5m 为此 必须加重船载 降低船身 当船身至少应 降低 m时 船才能通过