吉林省长春市2016届高三质量监测理科数学试卷（四）含答案

第 1 页 共 10 页 2016 四 模理科 长春市普通高中 2016 届高三质量监测（四） 数学理科 第 卷 （选择题，共 60 分） 一、选择题（本大题包括 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，每小题给出的四个选项中， 只有一项 是符合题目要求的，请将正确选项涂在答题卡上） 1. 已知 集合 | A y y x x ， 3 , 1, 2 , 4B ，则 元素的个数为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 已知 复数 z 满足 512z i ，则 A. 2 B. 5 C. 3 D. 5 3. 设 , ， 则“22lo g lo 是“ 21 ”的 | a |=| b | ， 2 （ ）a b a ，则 | 2 |A. 2 B. 23 C. 4 D. 8 5. 执行如图所示的程序框图，若输出 k 的值为 8 ，则判断框内可填入的条件是 A. 34sB. 56sC. 1112sD. 2524s6. 祖暅原理：“幂势既同，则积不容异” .“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两个同高的几何体，如在等高处截面的面积恒相等， 则 体积相等 图所示的几何体满足“幂势同”，则 该不规则 几何体的 体 积为 A. 42B. 483C. 8 D. 82 是 否 开始 2输出 k 结束 0, 0 1 第 2 页 共 10 页 2016 四 模理科 7. 函数 ( ) s i n ( ) ( 0 0 0 )2f x A x A ,的部分图象如图所示，则 2()9f A. 3 B. 1 C. 2 D. 2 8. 已知实数 满足 202 2 04 1 0 0 ， + ( )z k x y k4,6) 处取得最大值， 则 k 的取值范围是 A. 1k B. 1k C. 12kD. 4k 9. 如图，从高为 h 的气球 ()A 上测量待建规划铁桥 ()长，如果测得桥头 ()B 的俯角是 ，桥头 ()C 的俯角是 ，则桥 长为 A. )B. )C. )D. )10. M 为双曲线 22: 1 ( 0 , 0 )a 右支上一点， A 、 F 分别为双曲线 的左顶点和右焦点，且为等边三角形， 则双曲线 C 的离心率为 A. 51 B. 2 C. 4 D. 6 11. 棱长为 1 的正四面体 ， E 为棱 一点（不含 ,点 E 到平面 平面 距离分别为 ， 则 ( 1)( )a b a 的最小值为 A. 2 B. 23 C. 26 D. 76312. 已知 ()是定义在 R 上的函数 () 满足 ( ) 2 ( ) 0f x f x ，且 ( 1) 0f ，则 ( ) 0的解集为 第 3 页 共 10 页 2016 四 模理科 A. ( , 1) B. ( 1,1) C. ( ,0) D. ( 1, ) 第 卷 （非选择题，共 90 分） 本卷包括必考题和选考题两部分，第 13 题 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22 题 24题为选考题，考生根据要求作答 . 二、填空题 (本大题包括 4小题，每小题 5分，共 20 分，把正确答案填在答题 卡 中的横线上 ). 的圆心在直线 2 1 0 上，且经过原点和点 ( 1 5), ，则圆 C 的方程为 _. 14. 任取实数 0 1,，则满足 12 x y x 的概率为 _. 15. 等差数列 n 项和为已知10 0S ，15 25S ，则使 ( 1) 最小值的 n 等于 _ _. 16. 下列说法中正确的有： _. 已知直线 ,，若 m ， n ， ，则 ； 用数学归纳法证明 *( 1 ) ( 2 ) ( ) 2 1 3 ( 2 1 ) ( )nn n n n n n 到 1时，等式左边需乘的代数式是 ( 2 1)( 2 2 )； 对命题“正三角形与其内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体与其内切球切于各面中心； 在判断两个变量 y 与 x 是否相关时，选择了 3 个不同的模型，它们的相关指数 2R 分别为：模型 1 模型 2 为 模型 3 为 其中拟合效果最好的是模型 1 ； 在空间直角坐标系中，点 (1 2 1)A , 关于 y 轴的对称点 A 的坐标为 ( 1 2 1), . 三、解答题（本大题包括 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） . 17.（本小题满分 12 分） 已知函数 ( ) c o s ( 2 ) s i n 26f x x x . （ 1）利用“五点法”列表，并画出 ()66 ,上的图象； （ 2） 分别是锐角 中角 的对边 a ， ( ) 3 ，求 的周长的取值范围 . 18. （本小题满分 12 分） 某便携 式灯具厂的检验室，要检查该厂生产的某一批次产品在使用时的安全性 件，通过对其加以不同的电压（单位：伏 特）测得相应电流（单位：安培），数据见下表： 1 0 1 5 2 0 2 5 3 00 6 0 8 1 4 1 2 1 5 编 号 电 压电 流 . . . . .()()（ 1）试估计如对该批次某件产品加以 110 伏电压，产生的电流是多少？ （ 2）依据其行业标准 ，该类产品电阻在 18,22内为合格品 从该批 次产品中随机抽取 5 件，记随机变量 X 表示其中合格品个数，求随机变量 X 的分布 列、期望和方差 . （附： 回 归方程： y bx a，其中： 1221()y n x yb a y b xx n x ， 参考数据： 55 2 1 i = 1= 2 0 , 1 1 , = 1 2 1 2 2 5 0y x y x ,. ） 19. （本小题满分 12 分） 第 4 页 共 10 页 2016 四 模理科 在四棱锥 P 中， D ， 平面 2 2 3A D = B C = ， 30 ，M 为 点 . （ 1） 证明： 面 （ 2） 若二面角 M 的余弦值为 64，求 长 . 20 （本小题满分 12 分） 已知椭圆 : 1 ( 0 ) = a 22 的左 、 右焦点分别为12过点1l 交椭圆 于 两点， 的最小值为 3，且2. （ 1） 求椭圆的方程； （ 2） 当直线 l 不垂直于 x 轴时，点 A 关于 x 轴的对称点为 A ，直线 交 x 轴于 点 M ，求 积的取值范围 . 21.（本小题满分 12 分） 已知函数 ( ) l n ( )f x = x + a x a R. （ 1） 若曲线 ()y= f x 在点 (1 (1)f, 处与直线 32y = x 相切，求 a 的值； （ 2） 函数 2( ) ( )g x f x k x有两个零点12试判断122的符号，并证明 . 请考生在 22、 23、 24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 . 22. （本小题满分 10 分）选修 4 1：几何证明选讲 . 如图， 圆 O 的直径，弦 延长线相交于点 M ， 直 延长线于点 N . （ 1） 求证： 的角平分线 ； (2) 求证： 2 2 2 2B M A B A M A B A N . 第 5 页 共 10 页 2016 四 模理科 23. （本小题满分 10 分）选修 4 4：坐标系与参数方程 . 在极坐标系中，点 P 的坐标是 (1,0) ，曲线 C 的方程为 2 2 c o s ( )4轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率为 1 的直线 l 经过点 P . （ 1）写出 直线 l 的参数方程和 曲线 C 的直角坐标方程 ； （ 2）若 直线 l 和 曲线 C 相交于两点 ，求 22| | | |P A P B 的值 . 24. （本小题满分 10 分）选修 4 5：不等式选讲 . 已知函数 ( ) | 1 | | 2 |f x x x ， 不等式 ()f x t 对 xR 恒 成立 . (1)求 t 的取值范围； (2) 记 t 的最大值为 T ，若正实数 满足 22a b T，求证： 2611 2. 长春市普通高中 2016 届高三质量监测（四） 数学 (理科 )参考答案及评分标准 一、选择题 (本大题包括 12小题，每小题 5分，共 60分 ) 1. B 2. D 3. A 4. B 5. C 6. C 7. B 8. B 9. A 10. C 11. D 12. A 简答与提示： 1. 【试题解析】 B 由 题意可知 | 0A y y， 所以 2, 4 . 故选 B. 2. 【试题解析】 D 复数 12121 5 ，,则 5 故选 D. 3. 【试题解析】 A “ 2 ”等价于“ 0，“ 12 等价于“ ”，故 选 A. 4. 【试 题解析】 B 由 2 , ( ) 2a b a b a r r r r 则 222 4 4 2 3a b a a b b r r r r r r. 故选 B. 5. 【试题解析】 C 由程序框图可知，要输出 8k ，需1211614121 242581614121 而1211s. 故选 C. 6. 【试题解析】 C 由 祖暅原理 可知，该不规则几何体的体积与已知三视图几何体体积相等，图示 几何体是一个正方体去掉一个半圆柱，从而其体积为 8 . 故选 C. 7. 【试题解析】 B 由题意可知 3 , , 26 A ，进而 2 s i n 36f x x ，从而 2( ) 19f . 故选 B. 8. 【试题解析】 B 可行域如图所示，目标函数可化为 y kx z ，若目标函数仅在 (4,6) 处取最大值，则 1k，即 1k . 故选 B. 第 6 页 共 10 页 2016 四 模理科 765432112348 6 4 2 2 4 6 8 10 12 14（ 4, 6 ）【试题解析】 A 设气球在地面上的射影点为 D ，在 中，在 中，s i n ( )s i n ( )s i n s i n s i h . 故选 A. 10. 【试题解析】 C 由题意可知，设双曲线左焦点为 F ，由 为等边三角形 ，所以| | | |M F A F a c ，从而 | | 3M F a c ，在 中，由余弦定理得，2 2 2( 3 ) ( ) 4 2 ( )a c a c c c a c ，解得 4e 或 1e (舍 ). 11. 【试题解析】 D 连结 ,E ，由正四面体棱长为 1，有 63由于A B C D E B C D E A C V ，有 63 ，由 2a b 可得214 6()a b a b ，所以( 1 ) ( ) 6 1 7 6(1 )33a b a ba b a b . 故选 D. 12. 【试题解析】 A 由 0)(2)( 知 0)()()( 22 即 )()( 2 x 在 R 上单调递增 ， 由 0)1( f 得 0)1( g ，则 当 0)( ， 1 ，x . 故选 A. 二、 填空题 (本大题包括 4小题，每小题 5分，共 20分 ) 13. 22( 2 ) ( 3 ) 1 3 14. 51215. 6 或 7 16. 简答与提示： 13. 【试题解析】 由题意可知，该圆心原点和点 ( 1, 5) 的中垂线 2 1 0 2 6 0 上，又在直线2 1 0 上，因此圆心为 (2, 3) ，半径为 13 ，因此圆的方程为 22( 2 ) ( 3 ) 1 3 . 14. 【试题解析】 由题意 ，点 ( , )满足的区域如图所示，因此 1,0, 件下， 21的概率即为图中阴影面积与正方形面积的比值，其中阴影面积为 3 21 12001 2 5( ) ( ) |2 3 4 1 2xx x d x x ，由几何概型可知概率为 5 5121 12. yO 【试题解析】 由题意可知， 380，而8 53a ，故公差 23d， 1 3a ，则 ( 1 0 )3n ，现要求 ( 1 ) ( 1 0 )( 1 )3nn n 的最小值，对上式求导可知，当 6n 或 7n 时取最小值 . 16. 【试题解析】 由题意可知，中 m 的位置 不确定，因此错误；用数学归纳法证明第 7 页 共 10 页 2016 四 模理科 *( 1 ) ( 2 ) ( ) 2 1 3 ( 2 1 ) ( )nn n n n n n 从 到 1，等式左边需乘的代数式应为 2(2 1)k ，因此错误；满足合情推理，因此正确；根据相关指数的定义可知，相关指数越接近于 1，模型的拟合效果越好，因此正确；根据空间直角坐标系的性质可知，关于 y 轴对称的点对为 ( , , )x y z 和 ( , , )x y z，因此正确 . 故答案为 . 三、解答题 (本大题必做题 5小题，三选一选 1小题，共 70 分 ) 17. (本小题满分 12分 ) 【试题解析】 (1) 将函数 s 2c o s ()( 化简成为 ( ) 3 c o s ( 2 )3f x x ，根据列表 2 3x 0 2 32 2 x 612371256y 3 0 3 0 3 可知函数图像如图所示 . (6 分 ) (2) 在锐角 中， 3)(,3 可知3A ，由正弦定理可知 2s i n s i n s i na b C ， 即 2， 2，周长23 2 s i n 2 s i n 3 2 s i n ( ) 2 s i n 3 2 3 s i n ( )36L B C C C C ， 其中62C，因此 L 的取值范围是 (3 3 , 3 3 . (12 分 ) 18. (本小题满分 12分 ) 【试题解析】 (1)由题意可得 0 4 , 0 ，所以回归直线 0 4 0 ，故当电压加为 110伏时，估计电流为 培 (6 分 ) (2)经计算，产品编号为 的不合格品，其余为合格品，合格概率为 35则 3 (5, )5 55 32( ) ( ) ( ) ( 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 )55i i i C i X 的分布列为： X 0 1 2 3 4 5 第 8 页 共 10 页 2016 四 模理科 P 52()5 145 32( )( )55 35 32( ) ( )55 25 32( ) ( )55 15 32( ) ( )555由于 3 (5, )5 3535 ； 3 3 65 (1 )5 5 5 . (12 分 ) 19. (本小题满分 12分 ) 【试题解析】 解： 取 中点为 N ，连结 ,N (1) 中点， 1/ / , 2M N B C M N B C /且 2D ， /N M A D N M A D且 ， 四边形 平行四边形， /D ， 又 平面 平面 所以 /面 (6 分 ) (2)以 A 为坐标原点， x 轴， y 轴， z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 ( 0)PA t t， 3 0 , 1D A C C D Q ，由题意可求得： ( 0 , 2 3 , 0 ) , (1 , 0 , 0 ) , (1 , 3 , )B C D C P C t u u ur u u u r u u 设 ( , , 1)m x y平面 法向量， ( , ,1)n x yr 为平面 法向量，则有： 0 3 000 2 3 0m P C x y t x C y ur u u u u 所以 ( , 0 , 1) 00 3000 3 C x y C r u u u u u r ，所以 3(0 , ,1)3ntr Q 二面角 M 的余弦值为 64，22164| | | | 113 ur r 化简得 424 5 0 ，所以 1t ，即 1 (12 分 ) 20. (本小题满分 12分 ) 【试题解析】 解： (1) 因为 过焦点1以当 AB x 轴时， |小，且最小值为 22题意可知 22 3，再由椭圆定义知，2周长为 4a ，所以 2, 3，所以椭圆的方程为22143(4 分 ) (2)设 程为1 1 2 2 1 1( 1 ) , ( , ) , ( , ) , ( , )y k x A x y B x y A x y ， 则 22( 1)143y k ，化简得 2 2 2 2( 3 4 ) 8 4 1 2 0k x k x k 所以 212 2834k ， 212 24 1 234k 第 9 页 共 10 页 2016 四 模理科 则2121,AB 方程为 211121()y x 化简有1 2 1 2 1 22 1 2 1( ) 2 2 ( )k x x k k x x k x x x x ，将 代入可得 2 2 22 1 2 11 6 2 4 6 43 4 3 4 ( 3 4 ) ( )k k ky x xx x k k k x x ， 所以直线 恒过定点 ( 4,0) ，所以121 3 | |2y y 设 : 1 ( 0 )A B x m y m ，则 221143x ，整理得 22( 3 4 ) 6 9 0m y m y ， 1 2 1 22269,3 4 3 4my y y ，所以 2 2212 2 2 2 2 2226 3 6 1 4 4 ( 1 )|3 4 3 4 9 ( 1 ) 6 ( 1 ) 11 4 4 1 4 491 169 ( 1 ) 61m m 因为 0m ，所以120 | | 3 ，所以 90,2 (12 分 ) 21. (本小题满分 12分 ) 【试题解析】 解： (1) ( ) 1 , ( 1 ) = 3 , 2af x f (4 分 ) (2)易知 0a ， 21 1 1 122 2 2 2( ) l n 0 ,( ) l n 0g x x a x k xg x x a x k x 不妨设1122,1xx x 所以1 2 1 2 1 2 1 2( l n l n ) ( ) ( )x x a x x k x x x x 所以12 1212( l n l n )1 ( )a x x k x 1 2 1 2121 2 1 2 1 2121 2 1 2 2 2( ) 1 2 ,( l n l n )22( ) 1 ( ) 1 12l n l l n 1 2 ( 1 ) 1 1ag x k x a x k x xx x x x x a t a x x x x t t x t t 令 2 ( 1 )( ) l n ( 1 )1th t t ， 2224 1 ( 1 ) 0( 1 ) ( 1 )t t t 所以 () (0,