第8讲奇数与偶数的灵活运用.教师版

2010 年 暑假 第 8 讲 教师版 本讲知识点属于数论大板块内的“定性分析”部分，小学生的数学思维模式大多为“纯粹的定量计算，拿到一个题就先去试数，或者是找规律，在性质分析层面几乎为 0，本讲力求实现的一个主要目标是提高孩子对数学的严密分析能力，培养孩子明白做题前有时要“先看能不能这么做，再去动手做”的思维模式。无论是小升初还是杯赛会经常遇到，但不会单独出题，而是结合其他知识点来考察学生综合能力。 一、 奇 数和偶 数的定义 整数可以分成奇数和偶数两大类 整除的数叫做偶数，不能被 2 整除的数叫做奇数。通常偶数可以用 2k（ 示，奇数则可以用 2k+1（ 示。 特别注意，因为 0能被 2整除，所以 0是偶数。 二、 奇数与偶数的运算性质 性质 1：偶数偶数 =偶数，奇数奇数 =偶数 性质 2：偶数奇数 =奇数 性质 3：偶数个奇数的和或差是偶数 性质 4：奇数个奇数的和或差是奇数 性质 5：偶数奇数 =偶数，奇数奇数 =奇数，偶数偶数 =偶数 三、两个实用的推论 推论 1：在加减法中偶数不改变运算结果奇偶 性，奇数改变运算结果的奇偶性。 推论 2：对于任意 2个整数 a,b ,有 a+b与 模块一、 奇数偶数基本概念及 基本 加减法运算性质 【例 1】 1 2 3 1 9 9 3 的和是奇数还是偶数？ 【 解解 析析 】 在 1至 1993 中，共有 1993 个连续自然数，其中 997 个奇数， 996个偶数，即共有奇数个奇数，那么原式的计算结果为奇数 例题精讲 知识点拨 教学目标 第八讲： 奇数与偶数 的灵活 运用 2010 年 暑假 第 8 讲 教师版 【 巩巩 固固 】 1 2 3 4 5 6 7 9 9 1 0 0 9 9 9 8 9 7 9 6 7 6 5 4 3 2 1 什么？ 【 解解 析析 】 在算式中， 199 都出现了 2 次，所以 1 2 3 4 9 9 9 9 9 8 9 7 9 6 4 3 2 1 100 也是偶数，所以 1 2 3 4 5 6 7 9 9 1 0 0 9 9 9 8 9 7 9 6 7 6 5 4 3 2 1 的 和是偶数 【例 2】 1 2 3 4 5 6 7 9 8 9 9 什么？ 【 解解 析析 】 特殊数字：“ 1 ” 在这个算式中，所有做乘法运算的都是奇数 偶数，所以它们的乘积都是偶数，这些偶数相加的结果还是偶数，只有 1 是奇数，又因为奇数 偶数 = 奇数，所以这个题的计算结果是奇数 【例 3】 能否在下式的“”内填入加号或减号，使等式成立，若能请填入符号，不能请说明理由 （ 1） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 （ 2） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 27 【 解解 析析 】 不能。很多学生拿到这个题就开始试数，试了半天也试不出来因为，这时给他讲解，原式有 5个奇数，无论经加、减运算后结果一定是奇数。本小题是一个典型的奇偶性质“先定性分析后定量计算的题目”（ 2）可以 。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 7 或 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 7 【例 4】 能否从四个 3，三个 5，两个 7 中选出 5 个数，使这 5 个数 的 和等于 22. 【解析】 不能。因为不论如 何选，选出的 5个数均为奇数， 5个奇数的和还是奇数，不可能等于 22。 【 巩巩 固固 】 能否从、四个 6，三个 10，两个 14 中选出 5 个数，使这 5 个数的和等于 44. 【解析】 从性质上看，选出 5个偶数的和仍然是偶数。而从计算层面上考虑，假设等式可以成立，那么 可以把题目中的数都除以 题相当于：能否从、四个 3，三个 5，两个 7中选出 5 个数，使这 5个数的和等于 ， 5， 7都是奇数，而且 5个奇数的和还是奇数，不可能等于偶数 22，所以不能 . 【例 5】 一个自然数数分别与另外两个相邻奇数相乘，所得的两个积相差 150，那么这个数是多少？ 【解析】 由定义知 道，相邻两个奇数相差 2，那么说明 150是这个未知自然数的两倍，所以原自然数为 75 【 巩巩 固固 】 一个 偶数分别与其相邻的两个偶数相乘，所得的两个乘积相差 80，那么这三个偶数的和是多少？ 【解析】 由定义知道，相邻两个 偶数 相差 2，那么 80 恰好是原偶数的 4 倍，即原来的偶数是 20。而由题意知道原来的三个偶数分别 18,20,22，它们的和是 60。 模块二、 奇偶模型与应用题 【例 6】 试找出两个整数，使大数与小数之和加 上大数与小数之差，再加上 1000 等于 1999 如果找得出来，请写出这两个数，如果 找不出来，请说明理由 【 解解 析析 】 因为两个数的和 与两个数的差 的奇偶性相同，所以 a b a b （ ） （ ） 的和是偶数由结论三可知，这两数之和与这两数之差的和为偶数，再加 1000 还是偶数，所以它们的和不能等于奇数 1999 【例 7】 你能不能将自然数 1 到 9 分别填入 3 3 的方格表中，使得每一行中的三个数之和都是偶数 【 解解 析析 】 不能。此题学生容易想到九宫格数阵问题， 其实不是。 1到 9中共有 5个奇数，分别分成 3组后会分布在每一行里面，也就是说要想实现每一行都是偶数，就需要每一行都有偶数个奇数，从而需要三行奇数的和是偶数，但是现在仅有 5个奇数，所以无法填入。 2010 年 暑假 第 8 讲 教师版 【 巩巩 固固 】 你能不能将整数数 0 到 8 分别填入 3 3 的方格表中，使得每一行中的三个数之和都是奇数 ? 【 解解 析析 】 不能。分析过程与例 8类似 。 【例 8】 任意交换某个三位数的数字顺序，得到一个新的三位数，原三位数与新三位数之和能否等于999？ 【 解解 析析 】 不能。 2 个三位数的和为 999，说明在两个数相加时不产生任何进位。如果不产生进位说明两个三 位数的数字之和相 加求和，就会等于和的数字之和，这是一个今后在数字谜中的常用结论。那么 999 的数字之和是 27，而原来的 2 个三位数经调换数字顺序后数字之和是不会变的，若以 么另一个也为 a，则会有 2a=27的矛盾式子出现。说明原式不成立。 【例 9】 有一 串数，最前面的四个数依次是 1、 9、 8、 7。从第五个数起，每一个数都是它前面相邻四个数之和的各位数字，那么在这一串数中，会依次出现 1、 9、 8、 8 这四个数吗？ 【 解解 析析 】 不会。观察前 4个数，奇偶性排列次序为奇奇偶奇， 而一个数的奇偶性仅与它的个位数字有关，所以之后的第 5个 数为奇数，第 6个为偶数，第 7个为奇数，第 8个为奇数， 整体的出现规律为奇奇偶奇奇偶奇奇偶奇奇偶，所以不肯能有两个连续的偶数，所以 1、 9、 8、 8不会出现。 【 巩巩 固固 】 数列 1 ， 1 ， 2 ， 3 ， 5 ， 8 ， 13 ， 21 ， 34 ， 55 ， L 的排列规律 是 前两个数是 1 ，从第三个数开始，每一个数都是它前两个数的和，这个数列叫做 斐波那契 数列，在 斐波那契 数列前 2009 个数中共有 几 个偶数 ？ 【 解解 析析 】 三个一组 三个一组看，可以发现奇数，偶数交替变化的规律可以发现有奇奇偶奇奇偶奇奇偶奇奇偶这样的变化规律，因为 2 0 0 9 3 6 6 9 2 L ，所以前 2009 个数有 669 个偶数 . 【例 10】 沿着河岸长着 8 丛植物，相邻两丛植物上所结的浆果数目相差 1 个问： 8 丛植物上能否一共结有 225 个浆果 ?说明理由 【 解解 析析 】 不能。本题为俄罗斯小学生奥数竞赛题，可以给学生介绍。相邻的两个植物果实数目差 1 个意味着相邻 2 个植物的奇偶性不同 ，所以一定有 4 棵植物的果实为奇数个，总和一定为偶数，不能为225. 【例 11】 在一次聚会时，朋友们陆续到来，见面时，有些人互相握手问好主人很高兴，笑着说：“不论你们怎样握手，你们之中，握过奇数次手的人必定有偶数个”请你想一想，主人为什么这么说，他有什么理由呢？ 【 解解 析析 】 握偶数次手的人：不管奇数个人还是偶数个人总次数 偶数次 人数 偶数 握奇数次手的总次数 握手总次数 偶数次握手总次数，即偶 偶 偶，而偶 奇数次 人数 人数为偶数，由此证明 【例 12】 桌子上有 6 只开口向上的杯子，每次同时翻动其中的 5 只 杯子，问能否经过若干次翻动，使得全部杯子的开口全都向下？ 【 解解 析析 】 杯子要翻过来得翻奇数次， 6个杯子都要翻过来，则总共需要翻动 (6奇数 )偶数次杯子；按规定每次同时翻动 5只杯子，因为 5是奇数，由奇数 偶数 = 偶数可知，要想翻动总次数也是偶数，需要将 5只杯子翻动偶数次因此有可能经过有限次翻动，使得全部杯子的开口全都向下 【例 13】 在 8 个房间中，有 7 个房间开着灯， 1 个房间关着灯如果每次拨动 4 个不同房间的开关，能不能把全部房间的灯都关上？为什么？ 【 解解 析析 】 按要求每次拨动 4个不同房间的开关，而 4是偶数，所以，这样的一次操作，拨动房间开关次数是偶数那么经过有限次拨动后，拨动各房间开关次数总和是偶数可是，要使 7个房间的灯由 2010 年 暑假 第 8 讲 教师版 开变为关，需要拨动各个房间开关奇数次；第 8个房间的开关仍为关，需要这个房间拨动开关偶数次这样，需要拨动开关的总次数是奇数个奇数与一个偶数的和，是奇数所以按照要求不能把全部房间的灯关上 【例 14】 四个人一道去郊游，他们年龄的和是 97 岁，最小的一人只有 10 岁，他 与 年龄最大的 人的岁数和比另外两人岁数的和大 7 岁问： 年龄最大的人是多少岁？ 另外两人的岁数的奇偶性相同吗？ 【 解解 析析 】 先将四个人的岁数暂时分为两组进行分析，如果将 97 岁减去 7 岁，则两组人的岁数和相等（可以按照和差问题求出大小数），然后再求出年龄最大的人的岁数，再说明另外两人的岁数的奇偶性 另外两人的岁数和是： 97 7 2 45 （ ） （岁）年龄最大的人的岁数： 45 7 10 42 （岁） 因为另外两人的年龄和是 45岁，是一个奇数，那么他们中一个的岁数是奇数，另一个人的岁数 是偶数，也就是他们的岁数的奇偶性不同 【例 15】 多米诺骨牌是由塑料制成的 1 2 长方形，共 28 张，每张牌上的两个 1 1 正方形中刻有“点”，点的个数分别为 0， 1， 2， 6 个不等，其中 7 张牌两端的点数一样，即两个 0，两个 1，两个 6；其余 21 张牌两端的点数不一样，所谓连牌规则是指：每相邻两张牌必须有一端的点数相同，且以点数相同的端相连，例如：现将一付多米诺骨牌按连牌规则连成一条链，如果在链的一端为 6 点，那么在链的另一端为多少点 ?并简述你的理由 【解析】 由 连牌规则可知，在链的内部各种点数均成对相连，即所有点都有偶数个，而 6 点的个数为 8，所以在链的两端一定有偶数个点，所以链的另一端也应为 6 【例 16】 在“ 88 ”的方格中放棋子，每格至多放枚棋子若要求 8 行、 8 列、 30 条斜线（如图所示）上的棋子数均为偶数那么“ 88 ”的 方格中最多可以放 多少 枚棋子 ？ 第 11 题【 解解 析析 】 如图，观察向左下倾斜的 15条斜线，其中的方格数依次是： 1， 2， 3， L ， 7， 8， 7， L ， 3， 2，1，其中有 8 个奇数，表明有 8 条斜线中必须至少缺一个棋子同理右下倾斜的斜线中，也有 8条必须缺一个棋子这样，总共至少缺 16个子下图表明缺 16 个棋子的时候是可以办到的，其中黑点占据的空格表示不放棋子的空格 图 1【例 17】 有 8 个棱长是 1 的小正方体，每个小正方体有三组相对的面，第一组相对的 面上都写着数字 1，第二组相对的面上都写着数字 2，第三组相对的面上都写着数字 3(如图 )现在把这 8 个小正方体拼成一个棱长是 2 的大正方体 .。问：是否有一种拼合方式，使得大正方体每一个面上的 4 个数字之和恰好组成 6 个连续的自然数 ? 2010 年 暑假 第 8 讲 教师版 1231 32H 解解 析析 】 假设满足条件的大正方体 见图 2)，即它的每个面上的 4个数字之和恰好组成 6 个连续的自然数那么这个大正方体的六个面上的 24 个数字之和 S 就等于这 6 个连续自然数之和又因为， 6 个连续自然数之中必有三个偶数、三个奇数，所 以 6 个连续自然数之和必是奇数，即 S 是奇数另一方面，考虑大正方体的 8个顶点 A、 B、 C、 D、 E、 F、 G、 H，它们分别是一个小正方体的顶点由于，交于这些顶点的小正方体的三个面互不相对，因此，在这三个面上所写的 3个数字分别为 1、 2、 3这样大正方体的六个面上的 24个数之和 S=8 (1 2 3)=48即以这是不可能的 【例 18】 圆桌旁坐着 2k 个人，其中有 k 个物理学家和 k 个化学家，并且其中有些人总说真话，有些人则总说假话今知物理学家中说假话的人同化学家中说假话的人一样多又当问及：“你的右邻是什么人 ”时，大家全部回答：“是化学家”那么请你证明： k 为偶数 【 解解 析析 】 由题目条件可发现不仅物理学家与化学家总人数相同，其中说真话与说假话的人数也分别相同，如果有 a 个物理学家说谎，同时也会有 a 个化学家说谎。所以总共有 2a 个人说谎。而最后发现有 一个人只能影响有右邻的人，说明有 么 k=2a，则说明 【例 19】 有一个袋子里边装着红、黄、蓝三种颜色的球，现在小峰每次从口袋中取出 3 个球，如果发现三个球中有两个球的颜色相同，就将第三个球放还回口袋，如果三个球的颜色各不相同，就往口袋中放一个黄球，已知原来有红球 42 个、黄球 23 个、蓝球 43，那么取到不能再取的时候，口袋里还有蓝球，那么蓝球有多少个？ 【 解解 析析 】 一共有 108 个球，每次取 3 还 1，所以取到不能再取的时候还剩下 2 个球，对于每次取 3 个球，如果 3个球颜色中有两个相同，那么第三个球还回去后，实际上取走了两个相同的球，如果每次取 3 个不同颜色的球，那么还回一个黄球，实际上黄球并没有被去掉 ,所以对于黄球来说每次都取掉偶数个黄球，到最后剩下的球中只剩下 1 个黄球，那么剩下两个球中另一个球一定是蓝球 . 练习 1. ( 2 0 0 2 0 1 2 0 2 2 8 8 1 5 1 1 5 2 1 5 3 2 3 3 ） （ ）得数是奇数还是偶数？ 【 解解 析析 】 200 至 288 共 89 个数，其中偶数比奇数多 1， 44 个奇数的和是偶数； 151 至 233 共 83 个数，奇数比偶数多 1， 42 个奇数，为偶数；偶数减去偶数仍为偶数。 练习 2. 黑板上写着两个数 1 和 2，按下列规则增写新数，若黑板有两个数 a 和 b，则增写 a b a 如可增写 5（因为 1 2 1 2 5）增写 11（因为 1 5 1 5 11），一直写下去，问能否得到 2008，若不能，说明理由，若能则说出最少需要写几 次得到？ 【 解解 析析 】 黑板上的数起初为一奇一偶，按照规则增写出的第三个数一定是一个奇数，第四个数如果选择仍由一奇一偶写出来的，那么仍然是奇数；另一种可以选择两个奇数开始，那么“奇奇奇奇=奇”，所以不论如何增写，新增的数一定是奇数，所以不可能出现 2008。 练习 3. 桌子上有 6 只开口向上的杯子，每次同时翻动其中的 4 只杯子，问能否经过若干次翻动，使得全部杯子的开口全都向下？ 课后练习 2010 年 暑假 第 8 讲 教师版 【 解解 析析 】 杯子要翻过来得翻奇数次， 6个杯子都要翻过来，则总共需要翻动 (6奇数 )偶数次杯子；按规定每次同时翻 动 4只杯子，因为 4是偶数，所以翻动有限次后，翻动次数的总和也是偶数因此有可能经过有限次翻动，使得全部杯子的开口全都向下 练习 4. 两个四位数相加，第一个四位数每个数码都小于 5，第二个四位数仅仅是第一个四位数的四个数码调换了位置，两个数的和可能是 7356 吗？为什么？ 【 解解 析析 】 不能。 【 解解 析析 】 测试 1、 一条线段上分布着 n 个点，这些点的颜色不是黑的就是白