4-2-1 二次根式基本运算(根式的加减)讲义教师版

4次根式基本运算 题库教师版 6 内容 基本要求 略高要求 较高要求 二次根式的化简和运算 理解二次根式的加、减、乘、除运算法则 会进行二次根式的化简，会进行二次根 式的混合运算（不要求分母有理化） 板块 一 二次根式的 乘除 最简二次根式： 二次根式 a （ 0a ）中的 a 称为被开方数满足下面条件的二次根式我们称为最简二次根式： 被开放数的因数是整数，因式是整式（被开方数不能存在小数、分数形式） 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 分母中不含二次根式 二次根式的计算结果要写成最简根式的形式 二次根式的乘法法则 ： a b （ 0a ， 0b ） 二次根式的除法法则 ： （ 0a ， 0b ） 利用这两个法则时注意 a 、 b 的取值范围，对于 ab a b， a 、 b 都非负，否则不成立， 如 ( 7 ) ( 5 ) ( 7 ) ( 5 ) 一、 二次根式的加减 几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式 合并同类二次根式： ()a x b x a b x 同类二次根式才可加减合并 【例 1】 若最简二次根式 35a 与 3a 是可以合并的二次根式，则 _a 。 【考点】 同类二次根式 【难度】 1星 【题型】填空 【关键词】 【解析】 最简二次根式 35a 与 3a 是可以合并的二次根式 中 考要求 例题精讲 二次根式基本运算、分母有理化 4次根式基本运算 题库教师版 6 3 5 3 ，解得 4a 【答案】 4 【例 2】 下列二次根式中，与 a 是可以合并的是（ ） A 2a B 23a C 3a D 4a 【考点】同类二次根式 【难度】 1星 【题型】选择 【关键词】 【解析】略 【答案】 C 【巩固】 判断下列各组二次根式是不是同类二次根式： 3322x y x 2227 348x 2332455点】 同类二次根式 【难度】 2星 【题型】 解答 【关键词】 【解析】 332 2 , 2 2x y x x y x y z x x y z 3322x y x 是同类二次根式 2 1 12 , 222b a ba a b b 22 2 7 3 3 13 , 64 2 8 4x x yx y x 27 348x 不是同类二次根式 233242 5 , 55 5 5 5a b a ba b a b a b 324535 点评：判断两个二次根式是不是同类二次根式，要严格按照定义，先化简，然后再看被开方数是否相同即可解此题必须要把所给二次根式化成最简形式化成最简二次根式后只须看被开方数是否相同 【答案】（ 1）不是同类二次根式；（ 2）是同类二次根式；（ 3）不是同类二次根式；（ 4）不是同类二次根式 【例 3】 下列 二次根式中，哪些是同类二次根式？（字母均为正数） 4次根式基本运算 题库教师版 6 1 275 ； 48 ； 20 ； 1 1252 ； 1 【考点】同类二次根式 【难度】 3星 【题型】 解答 【关键词】 【解析】21 1 32 7 3 3 35 5 5 ； 24 8 4 3 4 3 ； 22 0 2 5 2 5 ； 21 1 51 2 5 5 5 52 2 2 ；2211 x yx x x x x；2x x yy y x ； 1 275与 48 、 20 与 1 1252、 1 xy 【答案】 1 275与 48 、 20 与 1 1252、 1 xy 【例 4】 若最简二次根式 22ab a b a b 与 是同类根式，求 2的值 【考点】同类二次根式 【难度】 3星 【题型】 解答 【关键词】 【解析】根据同类二次根式的定义可知， 22a b a b ， 2 ，通过解方程组即可求出 a 、 b ，再代如求 2的值 解：由已知得 222b a b ，解得 11 2211 点评：二次根式隐含由根指数 2 这一条件另外注意若没有最简二次根式这一条件，不能得出22a b a b 【答案】 1 【巩固】 若 为非负数， 4与 3是可以合并的二次根式，则 的值是（ ） A 02， B 11， C 02， 或 11， D 20， 【考点】同类二 次根式 【难度】 2星 【题型】选择 【关键词】 【解析】略 【答案】 C 【例 5】 已知最简根式 27a b 与 是同类二次根式，则满足条件的 a ,b 的值（ ） A不存在 B有一组 C有二组 D多于二组 【考点】同类二次根式 4次根式基本运算 题库教师版 6 【难度】 3星 【题型】 选择 【关键词】 【解析】 根据同类二次根式定义可知： 227，解之得 31 【答案】 B 【巩固】 若 4与最简二次根式 3为同类二次根式，其中 a ， b 为整数，则 a _， b _； 【考点】同类 二次根式 【难度】 3星 【题型】 填空 【关键词】 【解析】 由题意可知， 2 ，故 42a b a ，又 30a b b a ， 2b ； 【答案】 0； 2 【例 6】 方程 1998 的整数解有 组 . 【考点】同类二次根式 【难度】 4星 【题型】填空 【关键词】 第十届，五羊杯，竞赛 【解析】 1998， 为同类二次根式， 1998 3 222 ， 原方程为： 3 2 2 2 22， 222， 3 ， m 、 n 的值有四组，即 03， 12， 21， 30故原方程的整数解有 4组 . 【答案】 4 【巩固】在 1 ， 2 ， 3 ， ， 1999 这 1999 个式子中，与 2000 是同类二次根式的共有多少个？ 【考点】同类二次根式 【难度】 4星 【题型】解答 【关键词】 【解析】 2000 20 5 ，所以 5 ， 25， ， 195 与 2000 同类，共 19个 【答案】 19 【例 7】 化简： 226 9 1 0 2 5a a a a 【考点】二次根式的加减 4次根式基本运算 题库教师版 6 【难度】 2星 【题型】解答 【关键词】 【解析】 原式 35 当 5 a 时，原式 3 5 2 2a a a 当 35a 时，原式 3 5 8 当 3a 时，原式 3 5 2 2a a a 【答案】当 5 a 时，原式 22a 当 35a 时，原式 8 当 3a 时，原式 22a 【例 8】 计算： 114 8 2 7 52 7 8 【考点】二次根式的加减 【难度】 2星 【题型】解答 【关键词】 【解析】 1 1 3 1 8 0 24 8 2 7 5 4 3 2 5 3 32 7 8 9 2 9 2 【答案】 80 2392【巩固】 11( 3 0 . 5 4 1 . 5 ) ( 0 . 2 4 4 )22 【考点】二次根式的加减 【难度】 3星 【题型】解答 【关键词】 【解析】 1 1 1 3 1 2 4 9 1 9( 3 0 . 5 4 1 . 5 ) ( 0 . 2 4 4 ) 3 4 3 2 62 2 2 2 2 1 0 0 2 1 0 【答案】 193 2 610【例 9】 333 y x y x 【考点】 二次根式的加减 【难度】 3星 【题型】 解答 【关键词】 【解析】333 3 ( 4 )y x y x y x y x y x x y y x y x y x 【答案】 (4 )x y 4次根式基本运算 题库教师版 6 【例 10】 计算： 5 2 8 7 1 8 【考点】二次根式的加减 【难度】 2星 【题型】 解答 【关键词】 【解析】原式 5 2 2 2 2 1 2 1 4 2 【答案】 14 2 【巩固】 计算： 1 1 21 2 3 1 5 4 83 3 3 【考点】二次根式的加减 【难度】 3星 【题型】 解答 【关键词】 【解析】原式 4 3 82 3 2 3 3 033 【答案】 0 【巩固】 计算： 212 4 0 . 5 2 638 【考点】二次根式的加减 【难度】 3星 【题型】 解答 【关键词】 【解析】 2 1 1 2 2 7 32 4 0 . 5 2 6 2 6 2 6 6 6 23 8 2 3 4 3 4 【答案】 736234【例 11】 计算： 128 2 0 . 2 5 1 5 0 7 283 【考点】二次根式的加减 【难度】 3星 【题型】 解答 【关键词】 【解析】 1 2 3 28 2 0 . 2 5 1 5 0 7 2 2 2 1 2 5 2 4 2 18 3 2 2 4次根式基本运算 题库教师版 6 【答案】 2 12【巩固】 11( 2 7 ) ( 1 2 4 5 )35 【考点】二次根式的加减 【难度】 3星 【题型】解答 【关键词】 【解析】 1 1 3 5 4 1 4( 2 7 ) ( 1 2 4 5 ) 3 3 2 3 3 5 3 53 5 3 5 3 5 【答案】 4 143535【例 12】 先化简后求值。当 149，时，求314 4xx y 【考点】二次根式的 化简求值 【难度】 3星 【题型】 解答 【关键词】 【解析】 原式 112322x y x y x y 当 149，时，原式 1 1 0。 【答案】 3 【例 13】 3 2 2 2 2 31144x x y x y x y x y y 【考点】二次根式的加减 【难度】 3星 【题型】 解答 【关键词】 【解析】 原式 ( ) ( )22x y y 注意分析隐含条件 【答案】 ( ) ( )22x y y 【例 14】 设直角三角形的两条直角边分别为 ，直角边为 c ，周长为 C 。 （ 1）如果 5 0 2 8 8， ，求 C 。 （ 2）如果 3 5 5 5， ，求 C 。 【考点】二次根式的加减 【难度】 3星 4次根式基本运算 题库教师版 6 【题型】 解答 【关键词】 【解析】（ 1）由勾股定理得 22 5 0 2 8 8 3 3 8 1 3 2c a b ， 5 0 2 8 8 1 3 2 5 2 1 2 2 1 3 2 3 0 2C a b c （ 2）由勾股定理得 22 4 5 1 2 5 1 7 0c a b ， 8 5 1 7 0C a b c 。 【答案】（ 1） 30 2 ； （ 2） 8 5 170 【例 15】 计算 2 3 6a b a 【考点】二次根式 的混合运算 【难度】 2星 【题型】解答 【关键词】 【解析】原式 1 2 1 8a 【答案】 12 18a 【巩固】 计算： 2 3 7 2 2 5 0 【考点】二次根式的混合运算 【难度】 2星 【题型】解答 【关键词】 【解析】原式 2 3 6 2 1 0 2 2 3 4 2 8 6 【答案】 86 【巩固】 计算： 3 3 51 3 716 2 4 8a a a a 【考点】 二次根式的混合运算 【难度】 3星 【题型】 解答 【关键词】 【解析】原式 4 6 8 2 3 48 9 1 4 8 9 1 4a a a a a a 【答案】 2 3 48 9 1 4a a a 【例 16】 计算： 6 ( 1 2 1 8 ) 【考点】二次根式的混合运算 【难度】 3星 【题型】 【关 键词】 4次根式基本运算 题库教师版 6 【解析】 6 ( 1 2 1 8 ) 6 2 6 3 【答案】 6 2 6 3 【例 17】 计算： 113 1 8 5 0 4 3 252 。 【考点】 二次根式的混合运算 【难度】 3星 【题型】 解答 【关键词】 【解析】原式 9 2 2 2 2 4 2 2 【答案】 2 【例 18】 计算： 3 1 3 2 【考点】二次根式的混合运算 【难度】 3星 【题型】 解答 【关键词】 【解析】原式 3 3 2 3 2 5 3 3 【答案】 5 3 3 【巩固】 计算： ( 3 2 4 8 ) ( 1 8 4 3 ) 【考点】二次根式的混合运算 【难度】 3星 【题型】解答 【关键词】 【解析】 ( 3 2 4 8 ) ( 1 8 4 3 ) ( 3 2 4 3 ) ( 3 2 4 3 ) 3 0 【答案】 30 【巩固】 计算： ( 2 3 6 ) ( 6 2 3 ) 【考点】二次根式的混合运算 【难度】 3星 【题型】解答 【关键词】 【解析】 22( 2 3 6 ) ( 6 2 3 ) ( 6 ) ( 2 3 ) 6 【答案】 6 4次根式基本运算 题库教师版 0 6 【例 19】 计算： ( 5 2 1 0 ) ( 1 0 5 2 ) 【考点】二次根式的混合运算 【难度】 3星 【题型】解答 【关键词】 【解析】 2( 5 2 1 0 ) ( 1 0 5 2 ) ( 5 2 1 0 ) 2 0 5 6 0 【答案】 20 5 60 【例 20】 计算： ( 3 2 6 ) ( 6 2 3 ) 【考点】二次根式的混合运算 【难度 】 4星 【题型】解答 【关键词】 【解析】 22( 3 2 6 ) ( 6 2 3 ) ( 2 ) ( 3 6 ) 6 2 7 【答案】 6 2 7 【巩固】 计算： ( 2 3 5 ) ( 3 2 2 3 3 0 ) 2 =_. 【考点】二次根式的混合运算 【难度】 4星 【题型】填空 【关键词】 第 18届， 希望杯，培训试题 【解析】原式 6 ( 2 3 5 ) ( 2 3 5 ) 2 26 ( 2 3 ) 5 2 6 2 6 2 1 4 【答案】 14 【巩固】 计算： ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )x x x x x x 【考点】二次根式的混合运算 【难度】 4星 【题型】解答 【关键词】 【解析】 3( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 1x x x x x x x 【答案】 31 x 【巩固】 计算： ( 2 3 5 ) ( 2 3 5 ) ( 2 3 5 ) ( 2 3 5 ) _. 【考点】二次根式的混合运算 【难度】 4星 4次根式基本运算 题库教师版 1 6 【题型】填空 【关键词】 【解析】 原式 ( 2 5 3 ) ( 2 5 3 ) ( 2 5 3 ) ( 2 5 3 ) 22( 2 5 ) 3 ( 2 5 ) 3 229 3 ( 2 5 ) 3 ( 2 5 ) 9 2 4 【答案】 24 【例 21】 计算： 22( 3 2 ) ( 3 2 ) 【考点】二次根式的混合运算 【难度】 4星 【题型】解答 【关键词】 【解析】 22( 3 2 ) ( 3 2 ) ( 5 2 6 ) ( 5 2 6 ) 1 222( 3 2 ) ( 3 2 ) ( 3 2 ) ( 3 2 ) 1 【答案】 1 【巩固】 计算： 1 6 1 7( 2 3 1 1 ) ( 2 3 1 1 ) 【考点】二次根式的混合运算 【 难度】 4星 【题型】解答 【关键词】 【解析】 1 6 1 7 1 6( 2 3 1 1 ) ( 2 3 1 1 ) ( 2 3 1 1 ) ( 2 3 1 1 ) ( 2 3 1 1 ) 2 3 1 1 【答案】 2 3 11 【例 22】 计算： 22( 1 0 2 5 ) ( 1 0 2 5 ) 【考点】二次根式的混合运算 【难度】 4星 【题型】解答 【关键词】 【解析】 22( 1 0 2 5 ) ( 1 0 2 5 ) 4 2 0 4 5 0 8 5 2 0 2 【答案】 8 5 20 2 【例 23】 441 1 21 3 1 3 1 3 【考点】二次根式的混 合运算 【难度】 4星 4次根式基本运算 题库教师版 2 6 【题型】 解答 【关键词】 【解析】441 1 2 2 2 21 3 1 3 1 3 1 3 1 3 【答案】 2 【例 24】 计算： 2 4 a b a b a b 【考点】二次根式的混合运算 【难度】 3星 【题型】 解答 【关键词】 【解析】原式 2a b a b a b 【答案】 【例 25】 求下列式子的值： 22x xy y，其中 7 5 7 5 ， 【考点】二次根式的 化简求值 【难度】 3星 【题型】 解答 【关键词】 【解析】原式 227 5 7 5 7 5 7 5 2 4 7 5 2 6 。 【答案】 26 【巩固】求下列式子的值： 27 4 3 2 3 3 ，其中 23x ； 【考点】二次根式的混合运算 【难度】 【题型】 【关键词】 【解析】原式 222 3 2 3 2 3 2 3 3 1 1 3 2 3 。 【例 26】 计算： 53 ( 5 2 2 5 ) ( 5 2 2 5 ) 【考点】二次根式的混合运算 【难度】 4星 【题型】解答 【关键词】 【解析】原式 521 0 1 533 4次根式基本运算 题库教师版 3 6 【答案】 521 0 1 533【例 27】 计算： 473 1 3 2 _ 【考点】二次根式的混合运算 【难度】 4星 【题型】 填空 【关键词】 2005 年，上海市，初三，宇振杯 【解析】 根据题目， 30x ， 3 1 0x ， 3 2 0x ，所以 3x 且 7x 如果 4x ，则 3 1 0x ， 40x ， 原式 4 3 1 7 3 2473 1 3 2 3 1 3 1 3 2 3 2x x x x x x 3 1 3 2 3 当 4x 时，原式 30312 所以原式 3 另解： 223 1 3 247 3 1 3 2 33 1 3 2 3 1 3 2x x x 【答案】 3 【例 28】 计算： 13 2 2【考点】二次根式的混合运算 【难度】 2星 【题型】解答 【关键词】 【解析】原式 3 2 23 2 2( 3 2 2 ) ( 3 2 2 ) ； 【答案】 3 2 2 【例 29】 计算： 5 ( )()8 ( ) ( 0 ) 【考点】二次根式的混合运算 【难度】 3星 【题型】解答 【关键词】 【解析】 221 0 ( )5 ( )()8 ( ) 4【答案】 2210( )44次根式基本运算 题库教师版 4 6 1. 下列各组二次根式中，属于可以合并的是（ ） A 12 与 72 B 63 与 28 C 34x 与 22x D 18 与 23【考点】同类二次根式 【难度】 2星 【题型】选择 【关键词】 【解析】略 【答案】 B 2. 如果最简根式 4 4 11 与 26 41是同类二次根式，求 100()的值 . 【考点】同类二次根式 【难度】 3星 【题型】解答 【关键词】 【解析】根据题意可得 4 2 64 1 1 4