【龙门亮剑】2011高三数学一轮理数 第九章 第五节 空间的距离(课时提能精练) 全国版

专心 爱心 用心1 本栏目内容 学生用书中以活页形式单独装订成册 一 选择题 每小题 6 分 共 36 分 1 平面 内的 MON 60 PO 是 的斜线 PO 3 POM PON 45 那么点 P 到平面 的距离是 A B 3 3 3 4 C D 3 2 3 3 解析 cos POM cos POH cos MOH cos POH 2 2 3 2 cos POH 2 3 sin POH 1 3 PH PO sin POH 3 1 33 答案 A 2 在正三棱锥 P ABC 中 三条侧棱两两互相垂直 侧棱长为 a 则点 P 到平面 ABC 的 距离为 A a B a 2 2 C a D a 3 33 解析 作 PH 平面 ABC 于 H 连结 CH 并延长 交 AB 于 D 连结 PD 由 PH CD PC PD 求得 PH a 3 3 答案 C 3 在棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1中 E F 分别为棱 AA1 BB1的中点 G 为棱 A1B1上的一点 且 A1G 0 1 则点 G 到平面 D1EF 的距离为 A B 3 2 2 C D 2 3 5 5 解析 A1B1 面 D1EF G 到面 D1EF 的距离为 A1到面 D1EF 的距离 在 A1D1E 中 过 A1作 A1H D1E 交 D1E 于 H 显然 A1H 面 D1EF 则 A1H 即为所求 在 Rt A1D1E 中 A1H A1D1 A1E D1E 1 1 2 1 1 2 2 5 5 答案 D 4 空间四点 A B C D 每两点的连线长都等于 a 动点 P 在线段 AB 上 动点 Q 在线段 CD 上 则点 P 与 Q 的最小距离为 专心 爱心 用心2 A B a a 2 2 2 C a D a 3 2 6 2 解析 当 P Q 为中点时 PQ 为 AB 和 CD 的公垂线 此时最短 求出得 PQ a 2 2 答案 B 5 如图所示 平面 平面 A B AB 与两平面 所 成的角分别为 和 过 A B 分别作两平面交线的垂线 垂足为 4 6 A B 则 AB A B 等于 A 2 1 B 3 1 C 3 2 D 4 3 解析 由已知条件可知 BAB ABA 4 6 设 AB 2a 经计算 BB a A B a 23 在 Rt BB A 中得 A B a AB A B 2 1 答案 A 6 已知平面 平面 直线 m 直线 n 点 A m 点 B n 记点 A B 之间的距 离为 a 点 A 到直线 n 的距离为 b 直线 m 和 n 的距离为 c 则 A b c a B a c b C c a b D c b a 解析 如图 考虑 m n 异面时 m 和 n 的距离等于 间距离 点 A 到 n 的 距离可以如下作出 过 A 作 AO 面 于 O 过 O 作 OC n 于 C 则 AC 为 A 点到直线 n 的距离 显然 此时 c b a 故选 D 答案 D 二 填空题 每小题 6 分 共 18 分 7 如图所示 在正三棱柱 ABC A1B1C1中 AB 1 若二面角 C AB C1的大 小为 60 则点 C 到平面 ABC1的距离为 解析 如图所示 在 ABC 中 AB 1 则 AB 边上的高 CD 长度为 3 2 C1DC 60 CC1 C1D 3 23 在 CDC1中 CO C1D 由图可知 CO 为面 ABC1的垂线 由等面积法可得 C1D CO CD CC1 1 2 1 2 CO 3 4 专心 爱心 用心3 答案 3 4 专心 爱心 用心4 8 如图所示 在 ABC 中 ACB 90 AB 8 BAC 60 PC 平面 ABC PC 4 M 为 AC 边上的一个动点 则 PM 的最小值为 解析 作 CH AB 交 AB 于 H 连结 PH PC 平面 ABC PH AB 则当点 M 在 H 处时 PH 最小 AC 8cos 60 4 CH 4sin 60 2 3 PH 2 CH2 PC27 即 PM 的最小值 2 7 答案 2 7 9 2008 年全国 已知菱形 ABCD 中 AB 2 A 120 沿对角线 BD 将 ABD 折起 使二面角 A BD C 为 120 则点 A 到 BCD 所在平面的距离等于 解析 如图所示 取 BD 中点 E 连接 AE CE ABD BCD 均为等腰三角形 AE BD CE BD BD 平面 AEC AEC 为二面角 A BD C 的平面角 AEC 120 在平面 AEC 内过 A 作 CE 的垂线 AH 垂足为 H 则 H 在 CE 的延长线上 BD 平面 AEC BD AH 又 AH CE AH 平面 BCD BAD 120 BAE 60 cos BAE AE 1 AE AB 又 AEH 60 AH 3 2 答案 3 2 三 解答题 10 11 每题 15 分 12 题 16 分 共 46 分 10 如图所示 棱长均为 a 的正三棱柱中 D 为 AB 中点 连结 A1D DC A1C 1 求证 BC1 面 A1DC 2 求 BC1到面 A1DC 的距离 解析 1 证明 如图所示 连结 AC1交 A1C 于 E 连结 DE 则 DE BC1 而 DE 平面 A1DC BC1 平面 A1DC 2 BC1 平面 A1DC BC1上任一点到平面 A1DC 的距离等于 BC1到平面 A1DC 的距离 求 C1到平面 A1DC 的距离即可 平面 A1DC 过线段 AC1中点 A 到平面 A1DC 的距离等于 C1到平面 A1DC 的距离 由题意知 CD AB CD AA1 CD 面 ABB1A1 过 A 作平面 A1DC 的垂线 垂足 H 在 A1D 上 在 Rt A1AD 中 A1A AD A1D AH AH a A1A AD A1D a 1 2a a2 1 4a2 5 5 专心 爱心 用心5 即 BC1到平面 A1DC 的距离为a 5 5 11 如图 已知 ABCD 是矩形 AB a AD b PA 平面 ABCD PA 2c Q 是 PA 的中点 连结 QB QD BD 求 1 Q 到 BD 的距离 2 P 到平面 BQD 的距离 解析 1 在矩形 ABCD 中 作 AE BD E 为垂足 连接 QE QA 面 ABCD 由三垂线定理 得 QE BD QE 的长为 Q 到 BD 的距离 在矩形 ABCD 中 AB a AD b AE ab a2 b2 在 Rt QAE 中 QA PA c 1 2 QE QA2 AE2 c2 a2b2 a2 b2 Q 到 BD 的距离为 c2 a2b2 a2 b2 2 平面 BQD 经过 PA 的中点 Q P 到平面 BQD 的距离等于 A 到平面 BDQ 的距离 在 AQE 中 作 AH QE H 为垂足 BD AE BD QE BD 面 AQE BD AH AH 面 BQE 即 AH 为 A 到面 BQE 的距离 在 Rt AQE 中 AQ c AE ab a2 b2 AH abc a2 b2 c2 a2b2 P 到面 BQD 的距离为 abc a2 b2 c2 a2b2 12 2008 年北京高考 如图所示 在三棱锥 P ABC 中 AC BC 2 ACB 90 AP BP AB PC AC 1 求证 PC AB 2 求二面角 B AP C 的大小 3 求点 C 到平面 APB 的距离 解析 1 证明 如图 1 所示 取 AB 中点 D 连结 PD CD AP BP PD AB AC BC CD AB PD CD D AB 平面 PCD PC 平面 PCD PC AB 2 AC BC AP BP PC PC APC BPC 又 PC AC PC BC 又 ACB 90 即 AC BC 且 AC PC C BC 平面 PAC 1 专心 爱心 用心6 如图 2 所示 取 AP 中点 E 连结 BE CE 2 AB BP BE AP EC 是 BE 在平面 PAC 内的射影 CE AP BEC 是二面角 B AP C 的平面角 在 BCE 中 BCE 90 BC 2 BE AB 3 26 sin BEC BC BE 6 3 二面角 B AP C 的大小为 arcsin 6 3 3 由 1 知 AB 平面 PCD 平面 APB 平面 PCD 如图 3 所示 过 C 作 CH PD 垂足为 H 3 平面 APB 平