基于形态学图像处理方法研究

UNIVERSITY OF TECHNOLOGY毕 业 论 文题 目 基于形态学图像处理方法研究 学 生 姓 名 学 号 专 业 班 级 通 信 工 程 指 导 教 师 学 院 计 算 机 与 通 信 答 辩 日 期 2012 年 基于形态学图像处理方法研究Research on image processing method on morphologyxxx摘 要数学形态学是一种基于集合论的方法和理论，它的基本思想是利用一个结构元素去探测一个图像，通过目标图像的形态变换实现结构分析和特征提取的目的。本论文围绕数学形态学图像处理方法，介绍了形态学在击中或击不中变换、图像的细化和粗化、图像重构和图像平滑方面的基本应用，重点对各种形态学图像边缘检测算法做了仿真实现，并和传统边缘检测算法做比较，最后对结果进行了分析。关键词：形态学；图像处理；边缘检测AbstractMathematical morphology founded on set theory is a new method applied in the field of image processing and pattern recognition. Its prime principle is using a certain structuring element to measure and extract the corresponding form in an image so that we can analyze and recognize the image. This paper focusing on the mathematical morphology image processing method introduces the morphological applications in hit or miss transform, image of refinement and coarsening, image reconstruction, image smoothing, focuses on a variety of morphological image edge detection algorithm to do the simulation experiments, and compares to the traditional edge detection algorithm. Finally the results will be analyzed.Keywords：morphology; image processing; edge detection目 录第 1 章 绪论 .11.1 形态学的研究现状 .12.2 形态学的研究目的和意义 .2第 2 章 形态学基本理论 .42.1 形态学的研究内容 .42.2 二值图像形态学 .52.2.1 数字图像的表示及反射平移 .52.2.2 二值图像的腐蚀和膨胀运算 .62.2.3 二值形态膨胀和腐蚀运算的性质 .82.2.4 二值图像开运算和闭运算 .92.2.5 二值图像开闭运算性质 .102.3 灰度图像形态学 .112.3.1 灰度形态学理论基础 .112.3.2 灰度形态学腐蚀和膨胀运算 .122.3.3 灰度形态学腐蚀和膨胀运算性质 .152.3.4 灰度形态学开运算和闭运算 .162.3.5 灰度形态学开运算和闭运算性质 .172.4 软数学形态学 .182.5 模糊数学形态学 .18第 3 章 形态学在图像处理的基本应用 .193.1 击中或击不中变换 .193.2 细化和粗化 .193.3 形态学重构 .203.4 形态学图像平滑 .213.5 图像的骨架化及边界像素值的测定 .23第 4 章 基于形态学的图像边缘检测 .244.1 图像边缘的定义 .244.2 结构元素的确定 .244.2.1 结构元素的形状 .254.2.2 结构元素的尺寸 .254.3 形态学算法和传统算法的边缘检测比较 .264.4 基于单尺度单结构的抗噪型形态学边缘检测 .304.5 基于多尺度单结构的边缘检测 .324.6 基于单尺度多结构的边缘检测 .344.7 基于多尺度多结构的边缘检测 .35结论 .36参考文献 .37附录 外文文献翻译 .38附录 程序清单 .68致谢 .76第 1 章 绪论1.1 形态学的研究现状数学形态学历史可回溯到 19 世纪的 Eular,Steiner Crofton 和本世纪的 Minkowski, Matheron 和 Serra。1964 年法国的 Matheron 和 Serra 在积分几何的研究成果上，将数学形态学引入图像处理领域，并研制了基于数学形态学的图像处理系统 1。1982 年出版的专著Image Analysis andMathematical Morphology是数学形态学发展的重要里程碑，表明数学形态学在理论上趋于完备及应用上不断深入。数学形态学蓬勃发展，由于其并行快速，易于硬件实现，已引起了人们的广泛关注。目前，数学形态学已在计算机视觉、信号处理与图像分析、模式识别、计算方法与数据处理等方面得到了极为广泛的应用。Sinha 和 Dougherty 于 90 年代初将模糊数学引入数学形态学领域，形成模糊数学形态学。在模糊数学形态学的方法中，图像不再看成是硬二值化集合，而是模糊集合 2。集合的交、并运算分别由凸的交、并运算代替，从而分别形成模糊腐蚀和模糊膨胀。周煦潼、施鹏飞等在此方面进行了较深入的研究。此外，Koskinen 3等还提出了另一种数学形态学方法软数学形态学。软数学形态学方法用排序加权统计方法代替最小、最大法。权值与结构元素有关，并由核心和软边界两大部分组成。软数学形态学具有硬数学形态学相似的代数特性，但具有更强的抗噪声干扰的能力，对加性噪声及微小形状变化不敏感。舒昌献、莫玉龙等对基于软化形态学的边缘检测算子的性能也进行了分析和比较。Gasteratos4等将模糊集合理论应用到软数学形态学提出了模糊软数学形态学。模糊软数学形态学将模糊数学形态学和软数学形态学结合起来，可根据图像的拓朴结构，合理选择模糊集合运算算子及结构元素核心、软边界的定义域，并通过改变反映结构元素与图像间匹配程度的参数 K 的值调整图像处理的输出结果。对于形态学兴趣的增长势头，可以从近几年大量涌现的研究期刊和会议论文的数量，以及许多已经开发和正在开发的工业应用系统中窥见一斑。形态学的应用覆盖了图像处理的几乎所有领域，包括文字识别、医学图像处理、图像编码压缩、视觉检测、材料科学以及机器人视觉等，不胜枚举。形态学方法已经迅速成为图像应用领域工程技术人员的必备工具。形态学图像处理的基本思想，是利用一个称作结构元素的“探针” 收集图像的信息。当探针在图像中不断地移动时，便可以考察图像各个部分间的相互关系，从而了解图像的结构特征。数学形态学基于探测的思想，与人的视觉特点有类似之处。作为探针的结构元素，可直接携带知识( 形态、大小、甚至加入灰度和色度信息)，来探测研究图像的结构特点。数学形态学是一种非线性滤波方法。形态和差(膨胀与腐蚀)是数学形态学的基础。数学形态学可以用来解决抑制噪声、特征提取、边缘检测、图像分割、形状识别、纹理分析，图像恢复与重构、图像压缩等图像处理问题。深入了解数学形态学会发现，数学形态学的基本思想及方法适用于与图像处理有关的各个方面，如基于击中击不中变换的目标识别，基于流域概念的图像分割，基于腐蚀和开运算的骨架抽取及图像编码压缩，基于测地距离的图像重构，基于形态学滤波器的颗粒分析等。迄今为止，还没有一种方法能够像数学形态学那样既有坚实的理论基础，简洁、朴素、统一的基本思想，又具有如此广泛的实际应用价值。有人称数学形态学在理论上是严谨的，在基本观念上却是简单和优美的。显然，这并不是一句简单的褒奖。2.2 形态学的研究目的和意义近年来，形态学图像处理已经发展成为图像处理的一个主要研究领域。数学形态学是一门建立在严格数学理论基础上的学科 5，其基本思想和方法对图像处理的理论和技术产生了重大影响。许多非常成功的理论模型和视觉检测系统都采用了数学形态学算法作为其理论基础或组成部分。事实上，数学形态学已经构成一种新型的图像处理方法和理论，形态学图像处理已成为计算机数字图像处理的一个主要研究领域。这门学科在计算机文字识别，计算机显微图像分析( 如定量金分析，颗粒分析)，医学图像处理，工业检测(如印刷电路自动检测)，机器人视觉等方面都取得了许多非常成功的应用。一些形态学的算法，已经做成了计算机芯片，许多研究成果已经作为专利出售，其影响已波及到与计算机图像处理有关的各个领域，包括图像增强、分割、恢复、边缘检测、纹理分析、颗粒分析、特征生成、骨架化、形状分析、压缩、成分分析及细化等诸多领域。目前，有关形态学的技术和应用正在不断地发展和扩大。所以，对数学形态学的理论研究是非常有意义的。随着计算机技术的发展，图像及信号处理技术越来越为大众所需求。经典的信号处理方法主要是基于线性系统的理论、传统的信号与系统的概念及 Fourier 分析，并广泛地运用于不同的科学与技术领域中 4。然而，对于图像的形态特征和几何结构等非线性因素的分析和描述却由于系统的线性特征而受到限制。 近几十年发展起来的数学形态学从理论和方法上弥补了这一缺憾。数学形态学不仅提供了描述和分析图像几何及形状特征的多种技术和方法，同时它对于经典的信号处理技术也产生了极大的影响并扩展了原有的技术。基于数学形态学的图像处理技术是一种采用集合的概念表示图像、非线性叠加方式描述图像的非线性系统技术，称之为形态系统， 它广泛地应用于生物医学和电子显微镜图像的分析以及数字图像处理和计算机视觉等领域，并已发展成为一种新型的图像处理方法和理论。用于图像处理的形态系统， 具有完备的结构和理论体系，是进行非线性性态分析和描述的有力工具。本文结合目前的研究进展，对数学形态学的理论研究及其应用进展进行了综合性阐述。目前已经有很多图像处理的方法，但是由于数学形态学是基于集合论的方法，属于非线性处理，实际上相比传统的多种线性算法更加适合数字图像的处理。数学形态学可以通过本身的运算性质实现对噪声的抑制，还可以通过对结构元素的调整实现各种场合条件下的应用，且容易用硬件实现，所以利用数学形态学进行图像处理已经渐渐发展为与线性方法并行的主流方向。第 2 章 形态学基本理论2.1 形态学的研究内容形态学运算是针对二值图像，并依据数学形态学集合论方法发展起来的图像处理方法。数学形态学起源于岩相学对岩石结构的定量描述工作，近年来在数字图像处理和机器视觉领域中得到了广泛的应用，形成了一种独特的数字图像法系方法和理论。数学形态学是图像处理和模式识别领域的新方法 5，其基本思想是用具有一定形态的结构元素去度量和提取图像中的对应的形状，已达到对图像分析和识别的目的。用于描述数学形态学的是集合论，因此可以用一个统一且强大的工具来处理图像处理中所遇到的问题，它利用形态学基本概念和运算，将结构元灵活的组合分解，应用形态变换达到了分析问题的目的。数学形态学比其他空域或频域图像处理和分析方法具有一些明显的优势。比如在图像恢复处理方面，基于数学形态学的形状滤波器可借助于先验的几何特征信息，利用形态学算子就能有效地滤除噪声，还可以保留图像中原有的信息；另外，基于数学形态学的边缘信息提取处理优于基本微分运算的边缘提取算法，它对噪声不像微分算法那样敏感，且提取的边缘也较平滑。利用数学形态学方法提取的图像骨架也比较连续，断点少。数学形态学是一种非线性滤波方法 6。可以用来解决抑制噪声、特征提取、边缘检测、图像分割、形状识别、纹理分析、图像恢复与重建、图像压缩等图像处理问题。它首先处理二值图像，数学形态学将二值图像看成是集合，并用结构元素来探察。结构元素是一个可以在图像上平移、且尺寸比图像小的集合。基本的数学形态学运算是将结构元素在图像范围内平移，同时施加交、并等基本的集合运算。二值数学形态学和灰度数学形态学构成了经典的数学形态学。在此基础上，众多学者进行了大量、深入的研究，提出了一系列新的数学形态学理论。目前形态学研究内容主要集中在 7：1结构元素的设计。结构元素对数学形态学的运算结果具有决定性的作用，结合实际应用背景和期望设计合理的结构元素是数学形态学研究的重点之。2优化滤波器设计。数学形态学实质上是一类非线性滤波器，最基本的是开、闭滤波器。将开、闭算子组合起来可以构成性能更优越的滤波器。3快速算法。灰度形态学、模糊形态学和形态金字塔等算法运算速度慢，不适合实时处理。快速算法的研究旨在结合实际背景，优化计算方法，提高运算速度。4运动分析的研究。数学形态学非常适合对形状描述，将数学形态学应用于目标基图像编码与运动景物描述是当前的研究热点之一。5彩色图像处理的研究。彩色图像包含更丰富的信息，也有特殊的性质，研究彩色图像的数学形态学处理与分析方法是形态学研究内容之一。6形态小波研究。形态小波包含了目前几乎所有已知的线性和非线性小波，构成了统一的非线性小波变换框架。用形态学算子作为提升算子，用提升方法还可以构造出性能更优良的非线性小波。改善数学形态学的通用性，增强其适应性，结合其他领域的最新应用进展门发展数学形态学理论和方法，拓展其应用领域，是数学形态学重要研究内容。2.2 二值图像形态学数学形态学将二值图像看成是集合，并用结构元素进行“探测” 。结构元素是一个可以在图像上平移、且尺寸比图像小的集合 7。基本的数学形态学运算是将结构元素在图像范围内平移，同时施加交、并等基本集合运算。数学形态学的实质是通过图像集合与结构元素间的相互作用来提取有意义的图像信息，不同的结构元素可以提取不同层面的图像信息。数学形态学算子的性能主要以几何方式进行刻画，而几何描述的特点更适合视觉信息的处理和分析，其基本思想如图 2-1 所示。图 2-1 二值图像形态学的基本思想2.2.1 数字图像的表示及反射平移在形态学中，二值数字图像可以用集合 来表示。在研究数学形态学原理及其应用以前，A首先要掌握集合论中的一些基本概念。其中 表示元素， ， 表示集合。集合论中的基本aB概念包括口 ， ， ， ， ， ， 。一幅二值图像可AaBCDcA以看成是 和 的一个二值函数，形态学理论把二值图像看成是前景像素的集合，集合的元xy素属于 。集合的运算可以直接应用于二值图像的集合。例如，若 和 是二值图像，则2Z仍是一幅二值图像，若 和 中相应的像素是前景像素，则 中的这个像素也是BCAC前景像素。按照这种种观点，函数 为C（2-1）其 他 ， 或 是 均 为为或若01),(),(1),( yxByx原始图像 移位、交、并 等集合运算 结构元 处理算法输出图像另一方面，运用集合的观点， 的定义如式（2-2）所示。C（2-2）)(),),(),(|, BAyxByxAyx和或或 还有两个广泛应用于形态学的附加定义，在集合中定义如定义 1 和定义 2 所示。定义 1：设集合 及 ，将 平移到点 ，表示为 ，其定义如式（2-3）所A),(21zZzz)(示。（2-3）,|)(Aacz定义 2：集合对于原点的反射，称为 的反射，表示为 ，其定义如式（2-4）所示。BB（2-4）,|bw图 2-2 说明了这两个定义， 是将集合 平移到点 ， 是集合 对于原点的反射。)(az)(图 2-2 平移和反射示意图2.2.2 二值图像的腐蚀和膨胀运算膨胀和腐蚀变换是建立在集合的和与差基础上的，是所有复合形态变换或形态分析的基础 8。以后所有的形态学变换都可以由膨胀和腐蚀变换的复合运算来实现。对集合 和 ，使用 对 进行膨胀，用 表示，其定义如式（2-5）所示。ABABA（2-5）)(|空 集zz其中 称为输入图像， 称为结构元素。 被 膨胀是所有位移 的集合，这样 和zzB)(至少有一个元素是重叠的。根据这种解释，还可以写为如式（2-6）的形式。（2-6）)(|空 集AzBA膨胀的直观解释是：将结构元素 做映像后，在图像上 移动，当 与 的映像有交集A的时候， 的映像的原点所经过的所有的点构成的集合就是 膨胀 的结果；腐蚀的直观解B B释是：当集合 完全包含在集合 中时， 的原点位置的集合就是用 腐蚀 的结果。图 2-37给出了二值图像膨胀示意图，(a)和(b)分别给出结构元素在原点和不在原点的情况。图 2-49给出了膨胀运算的例子，其中(a)是二值图像 ；(b)是结构元素 ；(c)是结构元素 的映AB像；(d) 是 膨胀 后的结果，深色的部分就是相对原图扩大的部分。可以看出此时膨胀的BA结果是包含原图 的，即 。B图 2-3 二值图像膨胀示意图图 2-4 二值膨胀运算结果对集合 和 ，使用 对 进行腐蚀，用 表示，其定义如式（ 2-7）所示。ABABA（2-7）|)(|zzBz被 腐蚀是所有位移 的集合。 平移 后得到的图像仍包含于 。A图 2-57给出了二值图像腐蚀示意图，(a)和(b)分别给出原点在结构元素内部和不在结构元素内部的情况。一般地，如果原点在结构元素的内部，则腐蚀后的图像为输入图像的一个子集，这就是称作“ 腐蚀”的原因；如果原点在结构元素的外部，那么腐蚀后的图像可能不在输入图像的内部。图 2-5 二值图像腐蚀示意图图 2-6 给出了腐蚀运算的例子，其中(a)是二值图像 ；(b)是结构元素 ；(c)是 腐蚀AB后的结果，深色的部分就是相对原图剩下的部分。可见腐蚀运算使得图像区域收缩变小了。A并且用这样的结构元素腐蚀后的结果也是包含于原图 的，即 。图 2-6 二值腐蚀运算的结果2.2.3 二值形态膨胀和腐蚀运算的性质1. 对偶性如式（2-8）所示。（2-8）)()()( BABACC2. 单调性如式（2-9）和式（2-10）所示。（2-9） ,（2-10）B3. 递减（增）性如式（2-11）所示。（2-11）BABO,如果结构元素包含原点， 腐蚀的结果是使图像 收缩，是 的一个子集；而 是膨胀A A结果的子集。4. 交换律如式（2-12）所示。（2-12）AB需要说明的是腐蚀运算不满足交换律，即 通常不成立。5. 结合律如式（2-13）和式（2-14）所示。（2-13）CA)()(（2-14）B式（2-13 ）和式（2-14 ）十分重要，它们表明采用一个较大结构元素 的形态学)(CB运算可以由两个采用较小结构元素 B 和 C 的形态学运算的级联来实现。这在实际应用中对提高算法效率和硬件实现意义极大。6. 尺度伸缩性如式（2-15）所示。（2-15）,)(,)( tBAttAt 7. 平移不变性如式（2-16）和式（2-17）所示。（2-16）xxBxA)()(,)()(（2-17）平移不变性意味着图像或结构元素的位置变化仅引起变换结果的位置变化，而结果的形态无任何改变。这符合实际的要求，因为当同一目标出现在图像的不同位置时，对它们的分析不应因位置差异而不同。2.2.4 二值图像开运算和闭运算使用结构元素 对集合 进行开运算，表示为 ，其定义如式（2-18）所示。BABA（2-18）)(用结构元素 对集合 进行开操作就是用 B 对 A 腐蚀，然后用 B 对结果进行膨胀。为了更好地理解开运算在图像处理中的作用，可以参考式（2-19）所示的等价方程：（2-19）)(|Azz图 2-77表示了先腐蚀后膨胀所描述的开运算。图中给出了利用圆盘对一个矩形先腐蚀后膨胀所得到的结果。图 2-7 二值图像开运算示意图使用结构元素 对集合 进行闭操作，表示为 ，其定义如式（2-20）所示。BABA（2-20）)(图 2-8 为闭运算的示意图，闭运算是先膨胀后腐蚀，也可以利用对偶性，即沿图像的外图 2-8 二值图像闭运算示意图边缘填充或滚动结构元素，闭运算磨光了凸向图像内部的尖角，即对图像外部滤波。二值图像开运算和闭运算的仿真结果如图 2-9 所示，(a)是一幅原始的二值图像，(b)是采(a)原图像(b)开运算 (c)闭运算图 2-9 二值图像开闭运算仿真结果用半径为 3 的圆形结构元素对原始图像作开运算后得到的结果。比较(a)和(b)可以看到，开运算完全删除了不能包含结构元素的对象区域，平滑了对象的轮廓，断开了狭窄的连接，去掉了细小的突出部分。对原始二值图像作闭运算的结果如图 2-9(c)所示，采用和开运算一样的半径为 3 的圆形结构元素，从图(c)看到，细长弯口、指向内部的齿状边缘和小洞都已被删除。闭运算具有填充物体内细小空洞，连接邻近物体和平滑边界的作用。2.2.5 二值图像开闭运算性质1对偶性如式（2-21）所示。（2-21）BABACC)()(，2扩展收缩性如式（2-22）所示。（2-22）3单调性如式（2-23）和式（2-24）所示。（2-23）BABA,（2-24）CCB,4幂等性如式（2-25）所示。（2-25）)(,)(5平移不等性如式（2-26）所示。（2-26）xBAxBAx )()(,)(开、闭运算是由腐蚀和膨胀组成的二次运算，因此具有与腐蚀和膨胀相类似的性质。值得说明的是，与腐蚀和膨胀运算不同，开、闭运算具有幂等性，这意味着一次运算与重复运算将得到相同的结果，这是一个独特的性质。2.3 灰度图像形态学随着数字成像技术的发展和数字图像处理技术应用范围的扩展，对二值图像的处理已经不能满足数字图像处理日新月异的变化需要，而对高分辨率图像的处理已成为图像工程中的迫切需要解决的问题。但是对高分辨率的多值图像进行处理的形态学方法不同于二值形态学，它是将排序统计学与二值形态学有机结合起来的多值形态变换，一般称为灰度形态学。灰度形态学是二值形态学的推广，研究的主要对像是灰度图像。2.3.1 灰度形态学理论基础灰度形态变换是建立在二值形态变换的基础上的，在二值形态学中，集合的平移和交、并等变换仍然起着关键性的作用，但是对于图像和结构元素模型已经不能仅用二值的集合表示，而用的是函数表示。所以在介绍灰度形态变换之前，先介绍一些与之相应的概念。将信号，向右水平移动 ，称移位，其定义如式（2-27）所示。x（2-27）)()xzffx将信号，竖直移动 ，称为偏移，记为 ，其定义如式（2-28）所示。yy（2-28）ffx)()(当移位和偏移同时存在时，称为形态学平移，记为 ，其定义如式（2-29）所示。yx（2-29）zfyfx)()(假设 和 分别定义在域 和 上的两个信号，如果（1） ；（2）gfgDfDg对 ，有 ，则称 在 下方，记为 。Dx)(xfffg和 g 的极小为：如果 x 在定义域的交集 中，那么f Df（2-30）)(,min)(xf和 的极大为：如果 在定义域的并集 ，那么f f（2-31）)(,a)(gxf信号 对原点的反射记为 ，其定义如式（2-32）所示。f )(（2-32）)()(xff图 2-10 表示了一个信号的移位、平移及相应的形态学平移。如果 在 的定义域内，xf但在 的定义域外，那么定义 。如果 在 的定义域内，但在 的定义域g )()(fxgfg外，图 2-10 信号的移位、平移及相应的形态学平移那么，定义 。如果 不在 和 的定义域内，即 不在 之内，)()(xgffgxgDf则 无定义。如图 2-11 所示。gf图 2-11 信号的极大极小表示反射的定义是参照集合在平面内相对原点的旋转而提出来的。如图 2-12 所示，信号的反射是通过先对纵轴反射，然后对横轴反射得到的。图 2-12 信号的反射2.3.2 灰度形态学腐蚀和膨胀运算灰度形态学是二值形态学对灰度图像的自然扩展，其中二值形态学所用到的交、并运算分别用极大、极小极值代替就是灰度形态学的相应运算。利用结构元素 对信号 的灰度膨胀记为 ，其定义如式 2-33 所示。bf bf （2-33）),()(,|),(),(max),( Dbyxytxsybtsftsbf f和式中， 和 分别是 和 的定义域。这里限制 和 在 的定义域之内，fD类似于二值膨胀定义中要求两个运算集合至少有一个(非零)元素相交。式（2-33）与 2-D 卷积的形式很类似，区别是这里用 max(极大) 替换了卷积中的求和 (或积分)，用加法替换了卷积中的相乘。膨胀灰度图像的结果是，比背景亮的部分得到扩张，而比背景暗的部分受到收缩。在 1-D 中膨胀的定义表达式将简化为如式（2-34）所示的形式。（2-34）)(|)(max)( bfDxsxbsfsbf 和在此利用了结构元素的反射，求将信号限制在结构元素的定义域内时，上推结构元素使其原点超过信号时最小值，即为该点的膨胀结果。与二值情况一样，灰度腐蚀也可用灰度膨胀的对偶运算来定义。利用结构元素 对信号 的灰度腐蚀记为 ，其定义如式（2-35）所示。bfbf（2-35）),()(,|),(,(min),( bfDyxytxsytxstsf 和式中， 和 分别是 和 的定义域。这里限制 和 在 的定义域之内，fDbfb类似于二值膨胀定义中要求两个运算集合至少有一个(非零)元素相交。式（2-32）与 2-D 卷积的形式很类似，区别是这里用 min(极小)替换了卷积中的求和(或积分)，用加法替换了卷积中的相乘。膨胀灰度图像的结果是，比背景暗的部分得到扩张，而比背景暗的部分受到收缩。在 1-D 中腐蚀的定义表达式将简化为如式（2-36）所示的形式。（2-36）)(|)(min)( bfDxsxbsfsbf 和从几何角度讲，为了求出信号被结构元素在点 x 腐蚀的结果，可以在空间滑动这个结构元素，使其原点与 x 点重合，然后上推结构元素，使其处于信号下方所能达到的最大值，即为该点的腐蚀结果。结构元素必须在信号下方，故空间平移结构元素的定义域必为信号定义域的子集。否则腐蚀在该点没有定义。图 2-13 灰度图像的膨胀和腐蚀变换图 2-13 描述了这两种变换。其中(1)是结构元素；(2)是原始信号；(3) 是灰度腐蚀后的结果；(4)是灰度膨胀后的结果。从图 2-13 可以看出，灰度腐蚀与二值腐蚀之间的一个基本关系：被灰度腐蚀信号的定义域等于利用结构元素的定义域作为结构元素，再对信号的定义域作二值腐蚀所得的结果。灰度膨胀与二值膨胀之间也有类似关系。看图 2-13，其效果相当于半圆形结构元素在信号的下面“滑动” 时，其圆心画出的轨迹。但是这里存在一个限制条件，即结构元素必须在信号曲线的下面平移。从图中不难看出，半圆形结构元素从信号的下面对信号产生滤波作用，这与圆盘从内部对二值图像滤波的情况是相似的。灰度膨胀和腐蚀除了具有前面逐点定义的形式外，还有的全局定义的形式，其分别如式（2-37 ）和式（ 2-38）所示。（2-37）|)(bDxfbfx（2-38）根据以上的定义形式，灰度膨胀可按下面步骤完成：对结构元素 的定义域 中的每bD一个点 将信号 平移 x，然后再对每次平移的信号的值加上 ，这样对于结构元素定义xf )(xb域中的每个点都得到一个信号，对所有这些信号逐点取其最大值，便可得到膨胀的结果；灰度腐蚀则可按下面步骤完成：对于结构元素 的定义域中的每一点 ，将信号 平移 ，然bxfx后再从每次平移信号值减去 ，这样对于结构元素定义域中的每一点都得到一个信号，对)(xb所有这些信号逐点取其最小值，便得到腐蚀的结果。(a) 原始灰度图像(b)灰度膨胀图像 (c)灰度腐蚀图像图 2-14 灰度图像膨胀腐蚀仿真结果图 2-14 给出了灰度图像膨胀和腐蚀结果。(a)为原始的灰度图像，(b)为膨胀后的图像，(c)为腐蚀后的图像，采用的是 的方形结构元。从(b)可以看出图像经过膨胀后，比原图3像更明亮且消除了小的、暗的细节。从(c)中可以看到与膨胀相反的结果，被腐蚀的图像更暗并且尺寸小、明亮的部分被削弱了。从图中效果可以看出，膨胀变换是由结构元素确定的邻域中选取图像值与结构元素值的和的最大值，致使输出图像比输入图像亮；腐蚀变换是由结构元素确定的邻域块中选取图像值与结构元素值的差的最小值，致使输出图像比输入图像暗。2.3.3 灰度形态学腐蚀和膨胀运算性质灰度膨胀和腐蚀具有类似二值腐蚀和膨胀的一些性质，这些性质在实际应用中具有非常重要的作用，下面不加证明的给出这些性质。1对偶性如式（2-39）所示。（2-39）)(,)( gffgffgf 2单调性如式（2-40）和式（2-41）所示。（2-40）ffff ,（2-41）ggg3扩展缩小性如式（2-42）所示。（2-42）ff0)(4. 交换律如式（2-43）所示。（2-43）fgf5. 结合律如式（2-44）所示。（2-44）gfffgf )()(,)()( 12121216. 平移不变性如式（2-45） 、式（2-46） 、式（2-47）和式（2-48）所示。（2-45）)(,)( hfghffhf （2-46）g（2-47）ffff )()(,)()(（2-48）hghh7. 与极大（极小）函数关系如式（2-49） 、式（2-50）和式（2-51）所示。（2-49）)()()(qfpfqpf （2-50）（2-51）)()(ff2.3.4 灰度形态学开运算和闭运算具备了腐蚀和膨胀这两种初级形态学运算，我们便可以定义二级运算一灰度开启和灰度闭合运算。与二值情况相同，这两种运算为对偶运算。灰度数学形态学中关于开启和闭合的表达与它们在二值数学形态学中的对应运算是一致的。用 (灰度)开启 记为 ，其定义bfbf如式（2-52 ）所示。（2-52）fbf)(开启运算可以通过求出所有结构元素的形态学平移都可填入输入信号下方的极大点来计算。这种填充表达方式可以从几何角度直观地描述开运算：在信号的下方滑动结构元素，并在每一点记录结构元素上的最高点，原点相对结构元素的位置不会对运算结果产生影响。用 (灰度 )闭合 记为 ，其定义如式（2-53）所示。bfbf（2-53）bff)(闭合运算的直观描述则是一种滚球的效果：在信号上方滚动结构元素，并记录每一点结构元素上的最低点，同样原点相对结构元素的位置不会对运算结果产生影响。图 2-15 形态学灰度开启和闭合变换图 2-159中，用 开启 ，即 ，可看作将 贴着 的下沿从一端滚到另一端。图(b)bfbfbf给出 在开启中的几个位置。图(c)给出开启操作的结果。从图(c)可看出，对所有比 的直径b b小的山峰其高度和尖锐程度都减弱了。换句话说，当 贴着 的下沿滚动时， 中没有与ff接触的部位都落到与 接触。实际中常用开启操作来消除与结构元素相比尺寸较小的亮细b节，而保持图像整体灰度值和大的亮区域基本不受影响。具体就是第一步的腐蚀去除了小的亮细节并同时减弱了图像亮度，第二步的膨胀增加了图像亮度但又不重新引入前面去除的细节。图 2-16 给出了一个原始灰度图像为图 2-15 中的原始图像的开启和闭合运算的结果，其中用的结构元素为 的菱形结构元素。可以看出开启运算后的图像消除了原始图像中的亮7点，整体图案显得比原始图像暗，因为原始图像中的亮细节往往让人主观感觉图像偏亮，所以开启运算后图像让人感觉就暗了很多，而图像整体灰度值却没有受到很大影响，因为开启（1）灰度开运算 （2）灰度闭运算图 2-16 灰度图像开闭运算仿真结果运算的第二步会恢复一些图像亮度，只是使得整个图像没有了亮细节；闭合运算后的图像消除了原始图像中的暗点，整体图案由于没有了这些原来的暗区域，看起来会比较明亮清楚一些，但人眼往往对暗的细节不敏感，所以主观感觉不是很明显，但图像整体的灰度值却没有受到很大影响，因为闭合运算的第二步腐蚀还会降低一些灰度，只是使得整个图像没有了暗细节。2.3.5 灰度形态学开运算和闭运算性质灰度膨胀、腐蚀、开启和闭合四种基本运算的一些性质和二值图像形态学运算性质相比，有许多相同之处。二值形态学中的一些基本运算性质，在灰度形态学中依然成立，只是二值形态学是在集合的层次上，在灰度形态学中一律以函数代替；二值形态学用的是集合的交、并和补等集合关系的运算，在灰度形态学中就以函数的相加、减并取结果的极大值或极小值的关系的运算代替；例如开运算的平移不变性可表示为式（2-54）的形式。（2-54）ygfyfxx)()(同样，开运算的递增性、非扩展性和幂等性可表示为式（2-55）和式（2-56）的形式。（2-55）hfhf（2-56）gfg)(,2.4 软数学形态学在软数学形态学的运算中，注入了 “顺序统计” 的数学思想.标准形态学里用到的极大极小运算用加权排序统计法代替并将结构元素分为核心和软边界两大部分。软数学形态学可进一步分为灰度软数学形态学和二值软数学形态学。在灰度软形态学的膨胀与腐蚀运算中，图像 f 的灰度值与传统的形态学一样，需要与结构元素的灰度值结合起来。与结构元素软边界对应的处理结果和与结构元素核心(重复 K 次)对应的结果按升序或降序排列。该排列表中的第 K 个元素即为软数学形态膨胀或腐蚀的结果。令 表示 重复 K 次，软灰度结)(xfk）f(构元素 对灰度图像 的软形态腐蚀的定义 10如式（2-57）所示。k， f（2-57）)()(, 21)( zxzfyfofsmaletthxf Kzxy 其中， 是空间坐标， 是图像的灰度值， 是灰度结构元素2,ZzyZFf: Z1:的核心，