高中数学人教A版必修5导学案：2.4 第1课时 等比数列（一）

1 自学目标 1 通过实例 理解等比数列的概念并学会简单应用 2 掌握等比中项的概念并会应用 3 掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程 1 等比数列的概念 如果一个数列从第 项起 每一项与它的前一项的比等于同一常数 那么这个数列叫做 等比数列 这个常数叫做等比数列的 通常用字母 表示 q 0 2 等比中项的概念 如果 a G b 成等比数列 那么 G 叫做 a 与 b 的 且 G ab 3 等比数列的通项公式 已知等比数列 an 的首项为 a1 公比为 q 该等比数列的通项公式为 情境导学 在前面我们学习了等差数列 其特点是从第 2 项起 每一项与它前一项的差等于同一常数 在生活中也常见从第 2 项起 每一项与它前一项的比等于同一常数的数列 本节我们就来研 究这类数列 2 探究点一 等比数列的概念 思考 1 阅读教材 48 页至 49 页上半页列举了 4 个实例 请同学们写出这 4 个实例对应的 4 个数列 并观察它们有什么共同特点 思考 2 结合等差数列的定义 给等比数列下一个准确定义 思考 3 我们在使用等比数列定义时 往往需要符号化 等式化 如何用符号语言简洁地表 示它 思考 4 下列所给数列中 是等比数列的为 1 1 1 1 1 1 2 0 1 2 4 8 3 2 1 2 33 4 1 3 9 27 81 探究点二 等比中项 思考 1 请你类比等差中项的概念 给出等比中项的概念 3 思考 2 下表是等差中项与等比中项概念的对比 请填充完整 对比项等差中项等比中项 定义 若 a A b 成等差数列 则 A 叫做 a 与 b 的 若 a G b 成 数列 则 G 叫做 a 与 b 的等比中项 定义式A a b A G a b G 公式 A a b 2 G ab 个数a 与 b 的等差中项唯一a 与 b 的等比中项有 个 且互为 备注任意两个数 a 与 b 都有等差中项只有当 时 a 与 b 才有等比中项 探究点三 等比数列的通项公式 思考 1 如果等比数列 an 的首项为 a1 公比为 q 你能用归纳的方法给出数列 an 的通项 公式吗 思考 2 除了利用归纳法 你还有其它的方法推导等比数列的通项公式吗 4 思考 3 已知等比数列 an 的前三项依次为 a 1 a 1 a 4 则 an等于什么 为什么 例 1 某种放射性物质不断变化为其他物质 每经过一年剩留的这种物质是原来的 84 这 种物质的半衰期为多长 精确到 1 年 放射性物质衰变到原来的一半所需时间称为这种物质 的半衰期 跟踪训练 1 某制糖厂 2011 年制糖 5 万吨 如果从 2011 年起 平均每年的产量比上一年增 加 20 那么到哪一年 该糖厂的年制糖量开始超过 30 万吨 保留到个位 lg 6 0 778 lg 1 2 0 079 5 例 2 根据下图中的框图 写出所打印数列的前 5 项 并建立数列的递推公式 这个数列是等比数列吗 跟踪训练 2 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn 且 Sn an 1 n N 1 3 1 求 a1 a2 2 证明 数列 an 是等比数列 6 例 3 一个等比数列的第 3 项与第 4 项分别是 12 与 18 求它的第 1 项与第 2 项 7 跟踪训练 3 在等比数列 an 中 1 已知 a1 3 q 2 求 a6 2 已知 a3 20 a6 160 求 an 1 在等比数列 an 中 a1 8 a4 64 则 a3等于 A 16 B 16 或 16 C 32 D 32 或 32 2 若等比数列的首项为 4 末项为 128 公比为 2 则这个数列的项数为 A 4 B 8 C 6 D 32 3 已知等比数列 an 满足 a1 a2 3 a2 a3 6 则 a7等于 A 64 B 81 C 128 D 243 8 4 若数列 an 的前 n 项和 Sn an 则 an 的通项公式是 an 2 3 1 3 呈重点 现规律 1 等比数列的判断或证明 1 利用定义 q 与 n 无关的常数 an 1 an 2 利用等比中项 a anan 2 n N 2n 1 2 两个同号的实数 a b 才有等比中项 而且它们的等比中项有两个 而不是一个 ab 这是容易忽视的地方 ab 3 等比数列的通项公式 an a1qn 1共涉及 a1 q n an四个量 已知其中三个量可求得第 四个量 一 基础过关 1 在等比数列 an 中 a4 4 则 a2 a6等于 A 4 B 8 C 16 D 32 2 在等比数列 an 中 an 0 且 a1 a2 1 a3 a4 9 则 a4 a5的值为 A 16 B 27 C 36 D 81 3 等比数列 x 3x 3 6x 6 的第 4 项等于 A 24 B 0 C 12 D 24 4 如果 1 a b c 9 成等比数列 那么 A b 3 ac 9 B b 3 ac 9 C b 3 ac 9 D b 3 ac 9 5 在等比数列 an 中 a3 3 a10 384 则公比 q 9 6 在 160 与 5 中间插入 4 个数 使它们同这两个数成等比数列 则这 4 个数依次为 7 设数列 an 是等差数列 bn an 已知 b1 b2 b3 b1 b2 b3 求数列 an 的通 1 2 21 8 1 8 项公式 二 能力提升 8 在等比数列 an 中 a1 1 公比 q 1 若 am a1a2a3a4a5 则 m 等于 A 9 B 10 C 11 D 12 9 已知 a b c d 成等比数列 且曲线 y x2 2x 3 的顶点是 b c 则 ad 等于 A 3 B 2 C 1 D 2 10 已知 6 a b 48 成等差数列 6 c d 48 成等比数列 则 a b c d 11 在四个正数中 前三个成等差数列 和为 48 后三个成等比数列 积为 8 000 求这四 个数 10 12 已知 an