2012高中数学 第15课时-分数指数幂（2）（教师版） 苏教版

用心 爱心 专心1 第十五课时第十五课时 分数指数幂 分数指数幂 2 2 学习导航学习导航 知识网络知识网络 学习要求学习要求 1 能熟练地进行分数指数幂与根式的互化 2 熟练地掌握有理指数幂的运算法则 并能进行运算和化简 3 会对根式 分数指数幂进行互化 4 培养学生用联系观点看问题 自学评价自学评价 1 正数的分数指数幂的意义 1 正数的正分数指数幂的意义是 m n a nm a 0 1am nNn 2 正数的负分数指数幂的意义 m n a 1 nm a 0 1am nNn 2 分数指数幂的运算性质 即 1 rs a a r s a 0 ar sQ 2 s r a rs a 0 ar sQ 3 r ab rr a b 0 0 abrQ 3 有理数指数幂的运算性质 对 无理数指数幂 指数幂同样适 用 4 的正分数指数幂等于 00 精典范例精典范例 例例 1 1 求值 1 2 1 2 100 2 3 8 3 4 3 2 9 3 4 1 81 解解 1 1 2 1 2 2 100 10 10 2 2 3 22 3 3 33 8 2 24 3 3 3 23 2 2 1 9 3 3 27 4 3 3 4 43 4 1 3 327 81 点评 解题的关键是利用分数指数幂的运算性 质 例例 2 2 用分数指数幂表示下列各式 0 a 1 2 3 2 aa 53 a a a a 分析 先将根式写成分数指数幂的形式 然后 进行运算 解解 1 115 2 22 222 aaa aaa 2 32 55 53 a a aa a 3 11313 22224 a aa aaa 点评 利用分数指数幂进行根式计算时 结果可 化为根式的形式或保留分数指数幂的形式 但 不能既有根式又有分数指数幂 例例 3 3 已知 a a 1 3 求下列各式的值 1 2 2 1 a 2 1 a 2 3 a 2 3 a 根式 分数指数幂 有理数指数幂 无理数指数幂 性质 运用 分数指数幂与方程 用心 爱心 专心2 解 1 因为 2 1 a 2 1 a 2 a1 2 a 1 3 2 1 所以 1 2 1 a 2 1 a 2 a 1 a 1 4 2 3 a 2 3 a 2 1 a 2 1 a 解解 1 1 3xx 11 2 22 23xx 11 22 5xx 2 33 22 xx 11 33 22 xx 11 1 22 1 xxxx 2 5 点评 要学会从整体上寻求已知条件与结论 的联系 指数的概念推广后 初中所学的 乘法公式和因式分解的变形技巧同样适用 追踪训练一追踪训练一 1 计算下列各式的值 式中字母都是正 数 1 xy2 2 1 x 2 1 y 3 1 2 1 xy 2 2 3 6 9 a 2 6 3 9 a 解 1 原式 3 1 x 3 2 y 6 1 x 6 1 y 2 1 x 2 1 y 2 原式 2 3 1 6 9 a 2 6 1 3 9 a a1 a1 a2 2 已知 求的 11 22 3xx 33 22 22 3 2 xx xx 值 解 11 2 22 9xx 又 11 7xx 11 2 49xx 22 47xx 又 3311 11 2222 1 18xxxxxx 原式 1831 4723 3 已知 求的值 2 21 x a 33xx xx aa aa 解 21 21 21 x a 33 22 12 21 xx xx xx aa aa aa 选修延伸选修延伸 一 一 分数指数幂与方程与方程 例 4 利用指数的运算法则 解下列方 程 1 43x 2 256 81 x 2 2x 2 6 2x 1 8 0 解 1 因为 43x 2 256 81 x 所以 26x 4 28 23 3x 所以 6x 4 11 3x 所以 x 9 7 2 因为 2x 2 6 2x 1 8 0 所以 4 2x 3 2x 8 0 所以 2x 8 所以 x 3 分析 利用分数指数幂的性质将方程两边转化 为同底的指数幂 解解 1 原方程可化为 1 1 3221 2 2 xx 3142 22 xx 3142xx 1x 原方程的解为 1x 2 原方程可化为 1 9 33800 9 xx 用心 爱心 专心3 80 380 9 x 2 33 x 2x 原方程的解为 2x 点评 将指数方程转化为一元一次或一元二 次方程是解题的关键 思维点拔 思维点拔 1 1 根式与分数指数幂运算要灵活地互化 根式与分数指数幂运算要灵活地互化 2 2 一般地在化简过程中 先将根式化为 一般地在化简过程中 先将根式化为 分数指数幂 然后利用同底运算性质进行分数指数幂 然后利用同底运算性质进行 运算运算 追踪训练二追踪训练二 1 化简 a a a 解 1 2 a a aa aa 733 824 a aaa