常微分方程试卷及答案

1 2010 20112010 2011 学年第学年第 二二 学期常微分方程考试学期常微分方程考试 ABAB 卷答案卷答案 理学 院 年级 信息与计算科学 专业 填空题 每题 4 分 共 20 分 1 形如 连续 的方程是 一阶线性微分 xQyxPy xQxP 方程 它的通解为 cdx dxxP exQ dxxP ey 2 形如的方程是 3 阶 齐次 齐次 还是 非齐次 常 系数0yy 的微分方程 它的特征方程为 3 10 3 形如的方程为 欧拉 方程 可通 1 11 11 1 0 nn nn nn nn d ydydy xa xaxa y dxdxdx 过变换把它转化成常系数方程 t xe 4 满足初始条件 0 1 的特解 2 1 0 y dxxdy xy 1 1ln 1 y x 5 5 微分方程的解存在且唯 0000 dy f x yy xy Rxxa yyb dx 满足 一的条件是 在 R 上连续且满足利普希茨条件 f x y 一 下列微分方程的解 每题 5 分 共 30 分 1 dx dy 2 1 yx 解 令 x y u 则 1 3 dx dy dx du 1 u arctgu x c dx du 2 1 u y arctg x y c 5 2 05324 3 xdyydxyxdyydxx 解 两边同乘以得 yx2 3 05324 352423 ydyxdxyxydyxdxyx 2 0 5324 yxdyxd 故方程的通解为 5cyxyx 5324 3 2 dx dy yx 解 令 则 p dx dy 2 pxy 两边对 x 求导 得 dx dp pp21 3 p p dx dp 2 1 解之得 cppx 2 1ln2 所以 4 cpppy 2 2 1ln2 且 y x 1 也是方程的解 但不是奇解 5 4 04 5 xx 解 特征方程04 35 有三重根 30 4 2 5 2 故通解为 5 54 2 3 2 2 2 1 ctctcececx tt 5 4523xxxt 解 特征方程有根0 32 450 1 23 1 5 齐线性方程的通解为 x 3 5 123 tt c ec ec t 又因为0 是特征根 故可以取特解行如代入原方程解得 2 xAtBt A B 4 14 25 2 5 故通解为 x 5 52 123 2 5 tt c ec ec tt 3 6 2 ln0 xyyy 初值条件 y 1 e 解 原方程可化为 1 lndyyy dxx 分离变量可得 3 ln dydx yyx 两边积分可得 4 ln ycx 将初值代入上式求得方程的解 5ln2yx 二 求下列方程 组 的通解 每题 10 分 共 30 分 1 求一曲线 使其任一点的切线在轴上的截距等于该切线的斜率 OY 解 设为所求曲线上的任一点 则在点的切线 在轴上的截距为 p x yplY 3 dy yx dx 由题意得 dy yxx dx 即 1 1 dy y dxx 也即 ydxxdydx 两边同除以 得 5 2 x 2 ydxxdydx xx 即 7 ln y ddx x 即 10lnycxxx 为方程的解 2 满足初值条件 2 43 xxy yxy 0 3 0 3 x y 解 方程组的特征值 2 12 5 1 对应特征值的特征向量应满足 1 5 1 2 u u u 4 1 1 2 42 0 42 u AE u u 对任意常数 取 得 40 2 u 1 1 2 u 对应特征值的特征向量应满足 2 1 1 2 v v v 1 2 2 22 0 44 v AE v v 对任意常数 取 得 60 v 1 1 1 v 所以基解矩阵为 8 5 5 2 tt tt ee t ee 5 1 0 5 11 3 33 2132 33 tt tt ee ttt ee 10 55 55 1211 3333 1211 3333 tttt tttt eeee eeee 3 3 5 5 2 4 tt tt ee ee 3 求方程 通过点 的第二次近似解 2 213 dy xy dx 1 0 解 令 于是 0 0 x 5 22 100 1 21 3 x xyxx dxxx 10 22345 201 1 1433 21 3 1525 x xyxx dxxxxxx 五 应用题 10 分 33 摩托艇以 5 米 秒的速度在静水运动 全速时停止了发动机 过了 20 秒钟后 艇的速度减至米 秒 确定发动机停止 2 分钟后艇的速度 假定水的阻力 1 3v 5 与艇的运动速度成正比例 解 又 由此 dv Fmam dt 1 Fk v 1 dv mk v dt 即 5 dv kv dt 其中 解之得 1 k k m ln vktc 又时 时 0t 5v 2t 3v 故得 13 ln 205 k ln5c 从而方程可化为 7 20 3 5 5 t v 当时 有 米 秒 82 60120t 120 20 3 20 5 0 23328 5 v 即为所求的确定发动机停止 2 分钟后艇的速度 10 六 证明题 10 分 1 试证 非齐次线性微分方程组的叠加原理 即 设分别是方程组 12 x tx t 1 tfxtAx 2 tfxtAx 的解 则是方程组 21 txtx 21 tftfxtAx 的解 证明 1 1 tfxtAx 2 2 tfxtAx 分别将代入 1 和 2 21 txtx 6 则 11 1 tfxtAx 5 2 2 tfxtAx 则 2121 2 1 tftftxtxtAxx 2121 21 tftftxtxtAtxtx 令 21 txtxx 即证 10 21 tftfxtAx 2010 20112010 2011 学年第学年第 二二 学期常微分方程考试学期常微分方程考试 B B 卷答案卷答案 理学 院 年级 信息与计算科学 专业 一 填空题 每题 4 分 共 20 分 1 是恰当方程的充要条件是 0 dyyxNdxyxM MN yx 其通解可用曲线积分表示为 M x y dxNM x y dx dyc y 2 方程 叫 克莱罗 方程 其通解是 yyxy 可微 其奇解是 ycxc 0 xp yxpp 3 形如的方程是 2 阶 非齐次 齐次 还是 非齐次 常系数的 2 4yyx 微分方程 它的特征方程的特征根为 2 2 4 若 是同一线性方程 的基解方阵 则它们间有关系 tt XtA dt dX tCtC 为可逆矩阵 5 5 微分方程的解存在且唯 0000 dy f x yy xy Rxxa yyb dx 满足 一的条件是 在 R 上连续且满足利普希茨条件 f x y 7 二 下列微分方程的解 每题 5 分 共 30 分 1 3 2 x y x y dx dy 解 令 1u x y 则 2 1 u x u dx du xu dx dy 即 2 1 u xdx du x 得到 22 x dx u du 故c xu 11 即 4 2 11 xx c y 另外也是方程的解 50 y 2 dx dy xysin 解 y 3 dx e xsin dx e cdx e c x e 2 1 x xxcossin c e 是原方程的解 5 x 2 1 xxcossin 3 y yy 1 3 2 设 3 t tyty 1 3 2 4dttdt t t t y dy dx 3 2 6 1 6 C t tx 2 2 1 6 8 解为 5 t ty Ct tX 1 3 2 1 6 2 2 4 2100yyy 解 特征方程有复数根 30102 2 1 1 3i 2 1 3i 故通解为 5tectecx tt 3sin3cos 21 5 0 xdyydx 解 原方程可化为 0dxy 故 5xyC 6 2 68 t xxxe 解 特征方程有根 2 4 1 2 680 1 2 故齐线性方程的通解为 x 3 24 12 tt c ec e 2 是特征方程的根 故代入原方程解得 A 4 2t xAte 1 4 故通解为 x 5 tt ecec 5 21 2 1 4 t e 三 求下列方程 组 的通解 每题 10 分 共 30 分 1 2 2 x yaya ye 解 特征方程有 2 重根 a 202 22 aa 当 a 1 时 齐线性方程的通解为 s tt tecec 21 1 是特征方程的 2 重根 故代入原方程解得 A t eAtx 2 2 1 通解为 s 6 2 21 2 1 ttecec tt 当 a 1 时 齐线性方程的通解为 s atat tecec 21 1 不是特征方程的根 故代入原方程解得 A t Aex 2 1 1 a 9 故通解为 s 10 atat tecec 21 t e a 2 1 1 2 求其基解矩阵 2 2 dx xy dt dy xy dt 解 det E A 0 得 3 1 3 2 3 对应于的特征向量为 u 0 1 32 1 对应于的特征向量为 v 5 2 32 1 0 u v 是对应于 的两个线性无关的特征向量 32 1 32 1 1 2 t 是一个基解矩阵 10 tt tt ee ee 33 33 32 32 3 求方程 通过点 的第二次近似解 2 dy xy dx 1 0 解 令 于是 0 0 x 5 22 100 1 11 22 x xyxx dxx 10 2235 201 1 111111 3042620 x xyxx dxxxxx 五 应用题 10 分 1 求一曲线 过点 1 1 其任一点的切线在轴上的截距等于 OY 2 a 解 设为所求曲线上的任一点 则在点的切线 在轴上的截距为 p x yplY 3 dy yx dx 由题意得 2 dy yxa dx 两边同除以 得 5 2 x 2 dydx yax 10 即 7 2