五年级上册数学培优奥数讲义-第17讲 不定方程

第17讲不定方程知识与方法1、不定方程，是指未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些限制的方程或方程组。2、解不定方程的一般方法有：①尝试法；②奇偶分析法；③尾数分析法（如5的倍数的个位只能是0或5）。④倍数分析法。⑤整除性分析法。初级挑战1下列方程，哪些的解是唯一的？哪些是不唯一的？不唯一的请找出至少两组的解。①②③思维点拨：我们已经学过只含有一个未知数的方程，题目中很容易得出①和②的解是唯一的。只有③中的方程含有两个未知数。所以③的解不是唯一的。可通过尝试法，先设定的值，再求出的值。答案：①②的解唯一，③的解不唯一，有：，……（答案不唯一）。能力探索1请找出下列方程的解,每个至少写两组。①②答案：①解：，（答案不唯一）。②解：，（答案不唯一）。初级挑战2若，且均为非零自然数，求的所有解。思维点拨：要求均为非零自然数，即取大于0的整数，可通过尝试法，从最小取值开始试起，注意不遗漏不重复。答案：解：，，。能力探索2若，且均为非零自然数，求的所有解。答案：尝试法得：，。中级挑战1若，且均为非零自然数，求的所有解。思维点拨：观察发现是偶数，40也是偶数，那么肯定也是偶数，即必须是偶数。那么只能为2或4。这就是奇偶分析法，大大缩小了取值范围，提高了解题速度。答案：解：，。能力探索3若，且均为非零自然数，求。答案：奇偶分析法，是偶数，27是奇数，那么肯定是奇数，即必须是奇数。那么只能为1或3。得：。中级挑战2已知、均为大于0的自然数，且，求、的值。思维点拨：尾数分析法：5的倍数末尾要么是0，要么是5，所以的末尾只有两种情况，而和是28，末尾是8，因此的末尾要么是8，要么是3，是偶数，所以只可能末尾是8。答案：解：。能力探索41、已知、为大于0的自然数，求满足的所有、的值。答案：尾数分析法。的个位是0或5，所以的个位是6或1，是偶数，个位不可能是1，那么的个位只能是6。那么＝3或8，当＝8时，＝0不符合要求，所以只有一组解：。2、已知、为自然数，求满足的所有、的值。答案：尾数分析法。的个位是0，所以的个位是5，那么＝5或15，所以解为：或聪明泉数学家朱世杰朱世杰（公元1300年前后），字汉卿，号松庭，寓居燕山（今北京附近），“以数学名家周游湖海二十余年”，“踵门而学者云集”(莫若、祖颐：《四元玉鉴》后序）。朱世杰数学代表作有《算学启蒙》（1299）和《四元玉鉴》（1303）。《算学启蒙》是一部通俗数学名著，曾流传海外，影响了朝鲜、日本数学的发展。《四元玉鉴》则是中国宋元数学高峰的又一个标志，其中最杰出的数学创造有“四元术”（多元高次方程列式与消元解法）、“垛积术”（高阶等差数列求和）与“招差术”（高次内插法）。拓展挑战已知、为非零自然数，求下列方程的解。①②③思维点拨：观察这三式，发现②式是①式左右两边同时缩小4倍而来，③式是①式左右两边同时扩大10倍而来。根据等式的性质，、的取值相同，因此求出一个即可。解得：，，。能力探索51、下列方程的解与相同的是（）A、B、C、D、答案： D2、求下列不定方程的解（）。（1）（2）答案：（1）化简得，解得：，，，，。（2）等式两边同时乘以10，得，等式两边再同时除以3，得，解得：。课堂小测：1、请写出方程的两组以上的解。答案：解：，。（答案不唯一）2、已知为自然数，求的解。答案：奇偶分析法，是偶数。解得：，，。3、已知为非零自然数，求的解。答案：尾数分析法，的个位是5或0。解得：，。4、求满足，且为自然数的解。答案：化简得：，解得：。课后作业1、若，且均为非零自然数，求。答