经济类复习资料

北京大学现代远程教育招生入学考试复习参考资料 第 1 页 共 138 页 北京大学现代远程教育招生入学考试 复习参考资料 经济类 北京大学网络教育学院编印 北京大学现代远程教育招生入学考试复习参考资料 第 2 页 共 138 页 目目 录录 高等数学 二 高等数学 二 1 会计学原会计学原 理理 50 英英 语语 90 北京大学现代远程教育招生入学考试复习参考资料 第 3 页 共 138 页 高等数学 二 高等数学 二 考试范围考试范围 极限和连续 一元函数微分学 一元函数积分学 多元函数微分学 概率论初 步 考试时间考试时间 90 分钟 考试方式考试方式 闭卷 笔试 试卷满分试卷满分 100 分 题型与分数分布题型与分数分布 一 单项选择题 每题 5 分 共 20 分 二 填空题 每题 5 分 共 20 分 三 计算题 每题 10 分 共 30 分 四 综合题 每题 15 分 共 30 分 第一章第一章 函数函数 函数是高等数学研究的对象 函数是高等数学研究的对象 1 1 基本初等函数包括基本初等函数包括 1 常数函数 是常数ccy 2 幂函数 Raxy a 3 指数函数 7 2 1 0 eeyaaay xx 4 对数函数xyaaxy a ln 1 0 log 5 三角函数 xyxyxyxyxyxycsc sec cot tan cos sin 6 反三角函数 xarcyxyxyxycot arctan arccos arcsin 2 2 要求会画基本初等函数图形 结合图形熟记性质 要求会画基本初等函数图形 结合图形熟记性质 例 1 1 北京大学现代远程教育招生入学考试复习参考资料 第 4 页 共 138 页 2 y x 0 xy y x0 x y 1 y x 0 2 xy y x 3 xy y x00 xy y x x ey xyln 1 10 1 1 2 xysin x y y x 0 2 xytan xycot y x 1 01 2 y x 2 2 xarcycot xyarctan 0 1 xyarccos xyarcsin y 1 北京大学现代远程教育招生入学考试复习参考资料 第 5 页 共 138 页 3 3 初等函数 由基本初等函数经过有限次地四则运算 乘方 开方或复合得到的函数称初等函数 由基本初等函数经过有限次地四则运算 乘方 开方或复合得到的函数称 为初等函数 为初等函数 4 4 非初等函数 隐函数 分段函数 非初等函数 隐函数 分段函数 第二章第二章 极限与连续极限与连续 一 极限的概念 一 极限的概念 1 1 数列极限 数列极限 定义在自然数集 N 上的函数 f n 称为数列 当时 如果 nAnf 常数 称数列 f n 收敛 或极限存在 否则称数列 f n 发散 或极限不存在 例 2 1 收敛 常数 n nf n n 1 0 1 lim 发散1 1 22 lim nnfn n 振荡无极限 即发散 n n n nf 2 1 1 2 1 1 lim 2 2 函数极限 函数极限 在自变量 x 的某一变化过程 0 x xxxx 中 如果 称函数 f x 极限存在 记作 00 xx xx 常数Axf Axf lim 否则称 f x 极限不存在 例 2 2 极限存在 0 1 lim 常数 x x 且即 xxx 振荡无极限x x sin lim 极限不存在 x x e lim 3 3 定理 定理设在有定义 则极限存在 xf 0000 xxxx lim 0 xf xx limlim 0 0 常数Axfxf xxxx 000 xxxxxx且即 例 2 3 2 1 1 1 1 limlim 1 2 1 x x x xx 例 2 4 不存在1 1lim lim 00 x x x x xx x x x lim 0 北京大学现代远程教育招生入学考试复习参考资料 第 6 页 共 138 页 y 1 01 x 2 y 1 x 0 1 二二 变量极限性质变量极限性质 1 1 数列 函数统称为变量 记作数列 函数统称为变量 记作 y y 2 2 变量极限性质变量极限性质 1 惟一性 如果变量极限存在 则极限值惟一 2 有界性 如果变量 y 以 A 为极限 则对任意给定的 总存在一个时刻 该时0 刻后 恒有 成立 Ay 3 单调有界数列必有极限 4 夹逼准则 若在同一过程中 变量有关系 且zyx zyx AyAzAx 则 三 变量极限的四则运算法则 三 变量极限的四则运算法则 如果在自变量的同一变化过程中则 lim lim 2211 AyAy 2121 lim AAyy 2121 limAAyy 11 limkAky 当时 0 2 A 2 1 2 1 lim A A y y 注意注意 有限个变量处于自变量同一变化过程中 各变量极限都存在 例 2 5 21 1 2 1 2 1 121 limlimlim2222 n nn nn n nn nnn 例 2 6 型有理分式极限 2 1 1 2 11 1 2 12 2 2 2 limlim x xx xx xx xx 北京大学现代远程教育招生入学考试复习参考资料 第 7 页 共 138 页 0 1 2 11 2 1 2 2limlim x xx xx x xx 2 2 2 11 1 2 1 12 limlim xx x x x xx 例 2 7 型极限 0 5 5 5 5 5 5 limlimlim nnnn nnnn nn nnn 四 无穷小量和无穷大量 四 无穷小量和无穷大量 1 1 定义 定义 以零为极限的变量和常数零统称为无穷小量 例 2 8 当时 都是无穷小量0 x11 1ln 1 tan xxex x 2 2 无穷小量性质 无穷小量性质 设在同一变化过程中 都是无穷小量 则 1 y 2 y 1 都是无穷小量 12121 是常量kkyyyyy 2 有界变量与无穷小量的乘积是无穷小量 例 2 9 0sin 1 lim x x x 3 3 定义 定义 设在某一变化过程中 都是无穷小量 如果 称与是 1 y 2 y1lim 2 1 y y 1 y 2 y 等价无穷小量 例 2 10 当时 0 x 1 arctan tan arcsin sinxexxxxxxxx x 2 2 1 cos1 1ln xxxx xx 1 1 0 例 2 11 用等价无穷小量因子替换求极限 2 1 22tan 1ln limlim 00 x x x x xx 4 4 定义 定义 在某一变化过程中 变量 y 如果对任意正数 M 总在一个时刻 在该时刻后 恒成立 则称 y 是无穷大量 My 例 2 12 当时 是无穷大量 1 x 1 1 x y 北京大学现代远程教育招生入学考试复习参考资料 第 8 页 共 138 页 5 5 无穷小量与无穷大量的关系 无穷小量与无穷大量的关系 1 如果变量 y 在某一变化过程中是无穷小量 且 则是无穷大量 0 y y 1 2 如果变量 y 在某一变化过程中是无穷大量 则是无穷小量 y 1 6 6 无穷大量是无界变量 但无界变量未必是无穷小量 无穷大量是无界变量 但无界变量未必是无穷小量 例 2 13 当是无界变量 0 4 0 8 却不是无穷 nnfy n 1 1 n 大量 五 两个重要极限 五 两个重要极限 1 1 sin 1 sin limlim 00 x x x x xx 2 e ex e x e n x x x x n n 1 1 0 1 1 1 1 1 1 lim lim lim lim 无穷小量 过程 例 2 14 xx n x n x n x n nn sin sin limlim 2 1 1 2sin 1 2 2 1 1 2sin 1 limlim 11 x x x x xx 例 2 15 求型未定式极限 1 2 2 2 1 1 1 1 limlim e nn n n n n 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 limlimlim e xxxxx x x x x x x 六 连续 六 连续 1 1 定义 定义 设在点及其左 右邻域有定义 如果 称 xf 0 x 0lim 0 xfxf xx 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 limlimlim e e e x x x x x x x x xx x x x x 北京大学现代远程教育招生入学考试复习参考资料 第 9 页 共 138 页 在点连续 如果在区间内每一点都连续 称在区间 xf 0 x xf ba xf ba 连续 2 2 定理 定理 在点在点连续连续 xf 0 x 0limlim 00 xfxfxf xxxx 例 2 16 在 x 0 连续 则 x xb a x x xf 1 sin sin 0 0 0 x x x 1 1 ba 3 3 如果如果在点在点连续 则极限连续 则极限 xf 0 x 0lim 0 xfxf xx 注意注意 当时 极限存在 在点未必连续 见例 2 3 0 xx lim 0 xf xx xf 0 x 七 间断点 七 间断点 如果如果 f x f x 在点在点有下列三种情况之一 则有下列三种情况之一 则是是 f x f x 的间断点 的间断点 0 x 0 x 1 点没有定义 0 xxxf 在 2 不存在 lim 0 xf xx 3 0lim 0 xfxf xx 例 2 17 在没有定义 是的间断点 x y 1 0 x0 x x y 1 极限不存在 是间断点 1 0 1 xf 0 0 0 x x x lim 0 xf x 0 x xf 是间断点 1 x xg 0 0 x x 0 1 0 0 lim 0 xgxg x xg 在其定义域内没有间断点 1 3 x x xh 八 在闭区间上连续函数的性质 八 在闭区间上连续函数的性质 1 1 有界性 有界性 如果 f x 在 a b 上连续 则 f x 在 a b 上有界 2 2 最大值 最小值定理 最大值 最小值定理 如果 f x 在 a b 上连续 则 f x 在 a b 上一定有最大值 最小 值 3 3 介值定理 介值定理 如果 f x 在 a b 上连续 M m 分别是 f x 在 a b 上的最大值 最小值 则 对介于 m 与 M 之间的任意数 C 至少存在一点 Cfba 使 北京大学现代远程教育招生入学考试复习参考资料 第 10 页 共 138 页 4 4 零点定理 零点定理 如果 f x 在 a b 上连续 且 f a 与 f b 异号 则至少存在一点 使 ba 0 f 例 2 18 证明方程在 1 与 2 之间至少有一个实根 013 5 xx 证 设 因为是多项式函数 在连续 所以在 xf13 5 xx xf xf 1 2 上连续 根据零点定理 至少有一个点使027 2 01 1 ff 2 1 即方程0 在 1 与 2 之间至少有一个实根 0 f xf 第三章第三章 导数与微分导数与微分 一 导数概念 一 导数概念 1 1 定义 定义 设 f x 在点及其左右邻域有定义 给以改变量 函数相应改变量 0 x 0 xx 如果当时 极限 00 xfxxfy 0 x x xfxxf x y xx 00 00 limlim 存在 则称极限值为 f x 在的导数 并称 f x 在可导 记作 0 x 0 x 0 0 0 xx xx y dx dy xf 若记 0 0 00 lim 0 xx xfxf xfxxx xx 则 2 2 左导数 左导数 0 0 0 lim 0 xx xfxf xf xx 右导数右导数 0 0 0 lim 0 xx xfxf xf xx 定理定理 000 xfxfxxxf 可导在 例 3 1 x x xxf 0 0 x x 北京大学现代远程教育招生入学考试复习参考资料 第 11 页 共 138 页 1 0 0 0 lim 0 x x f x 1 0 0 0 lim 0 x x f x 不存在 0 f 3 3 如果在 a b 内每一个点都可导 则是定义在 a b 上的函数 称为 xf x f 的导函数 简称导数 记作 xf x f dx dy y 4 4 表示曲线表示曲线在点在点的切线斜率 的切线斜率 0 x f xfy 00 xfx 切线方程为 000 xxxfxfy 法线方程为 1 0 0 0 xx xf xfy 5 5 可导和连续关系可导和连续关系 f x f x 在在点可导必连续 但连续未必可导 例点可导必连续 但连续未必可导 例 3 13 1 0 x 例 3 2 设 问 a b 为何值时 在处可导 axb xx xf sin 0 23 2 0 0 0 x x x xf0 x 分析分析 从题目要求入手 要求 a b 两个未知量 需要两个方程 已知可导 就有一个方程 可导必连续 得另一个方程 0 0 ff 0 limlim 00 fxfxf xx 解 0 23 2 00 limlim xxxf xx baxbxf xx sin limlim 00 0 0 f 由上得 0 b 2 0 0 23 0 2 0 lim x xx f x a x ax f x 0 0sin 0 lim 0 北京大学现代远程教育招生入学考试复习参考资料 第 12 页 共 138 页 由上得 2 a 二 基本初等函数导数公式 二 基本初等函数导数公式 1 2 0 是常数cc 1 aa axxRa 3 4 aaa xx ln 1 0 aa xx ee 5 6 ax x a ln 1 log 1 0 aa x x 1 ln 7 8 xxcos sin xxsin cos 9 10 x xx 2 2 cos 1 sec tan x xx 2 2 sin 1 csc cot 11 12 xxxtansec sec xxxcotcsc csc 13 14 2 1 1 arcsin x x 11 x 2 1 1 arccos x x 11 x 15 16 2 1 1 arctan x x 2 1 1 cot x xarc 例 3 3 那么 x xxy x 1 ln2 2 2 11 22ln2 xx xy x 三 导数四则运算法则 三 导数四则运算法则 设 xvvxuu 1 2 vuvu vuvuvu 3 k 是常数 4 当ukku 2 0 v vuvu v u xv 时 例 3 4 那么xxxysin3cos sin3 cos xxxy xxxxxcos3 coscos xxxx x cos3sincos 2 1 例 3 5 那么 x x xy cos sin tan 北京大学现代远程教育招生入学考试复习参考资料 第 13 页 共 138 页 x xxxx x x x 2 cos cossincos sin cos sin tan x xx xx 2 22 22 sec cos 1 cos sincos 四 复合函数求导法 四 复合函数求导法 设那么 xgfyxguufy 复合成与 xguf dx du du dy dx dy y 例 3 6 求 2 x ey y 解 那么 2 xuey u 2 22 2xuu xexexey 五 隐函数求导法 五 隐函数求导法 设方程 F x y 0 确定隐函数 求的方法是 方程两边对 x 求导 遇到 y xyy y 视 y 为中间变量 按复合函数求导法先对 y 求导 然后乘以 最后解出 y y 例 3 7 方程 确定隐函数 求yxe xy xyy 0 x dx dy dx dy 及 解 解出yyxye xy 1 1 1 xy xy xe ye y 将 x o 代入原方程得 y 1 将 x 0 y 1 代入得 y 0 0 x y 六 高阶导数 六 高阶导数 定义定义 如果的导数在 x 处可导 则称的导数为的 2 xf x f x f xf xf 阶导数 记作 y 2 2 dx yd x f 一般的 的 n 1 阶导数之导数定义为的 n 阶导数 记作 xfy xf 阶导数统称为高阶导数 n n nn dx yd xfy 2 n 例 3 8 求 01 2 2 axaxay 3 y 解 12 2axay 北京大学现代远程教育招生入学考试复习参考资料 第 14 页 共 138 页 2 2ay 0 y 例 3 9 yxey x 求 解 xxxxx exxeeexexy 1 xxxxx exexeexexy 2 1 1 1 例 3 10 求 1ln xy n y 解 1 1 1 1 x x y 2 1 1 xy 3 1 2 1 xy n n nn x n xny 1 1 1 1 1 2 1 1 七 微分 七 微分 1 1 定义 定义 设在点的邻域内有定义 在给改变量 函数相应的改变量 xfy 0 x 0 xx 如果可以表示为两项和y 0 xxxAy 0 x 其中无关 是当时 比高阶无穷小量 则称在可xxA 与 0 x 0 xx xf 0 x 微 称为的微分 记作 xxA 0 xfxxAdy 0 2 2 微分的几何意义 微分的几何意义 3 3 定理 定理 在点可微可导 且 xf 0 x 00 xfxA dxx 北京大学现代远程教育招生入学考试复习参考资料 第 15 页 共 138 页 4 4 微分算法 微分算法 在点在点的微分的微分 xfy 0 xdxxfdy 0 例 3 11 1 则 x efy dxeefdy xx 2 则 xf ey dxxfedy xf 例 3 12 求02 0 1 arctan 0 xxxydy 解 代入得 dx x dxxdy 2 1 1 arctan 02 0 1 0 xx01 0 dy 第四章第四章 导数应用导数应用 一 一 L HospitalL Hospital 法则法则 1 1 定理 定理 设函数在 x 的同一变化过程中满足以下三个条件 xgxf 1 0 lim 0 lim xgxf 2 存在 且 xgxf 0 x g 3 A xg xf lim 或 则 A xg xf xg xf lim lim 或 例 4 1 6 1 6 sin 3 cos1 sin sin limlimlimlim 0 2 0 3 0 3 0 x x L x x x xx x xx xxxx 例 4 2 0 2 2 1 1 ln limlimlim x x x L x x xxx 例 4 3 1 2 1 1 2 1 1 ln limlimlim 11 2 1 xxx x L x x xxx 注意 注意 1 洛比大法则只适用于型或型未定式函数求极限 0 0 2 数列极限即使是型或型未定式也不能用洛比大法则 因为对自然 lim ng nf n 0 0 数 n 不能求导数 北京大学现代远程教育招生入学考试复习参考资料 第 16 页 共 138 页 3 洛比大法则对某些题失效 例 4 4 振荡无极限 洛比大法则失效 x x L xx xx xx cos1 cos1 sin sin limlim 另解 1 01 01 sin 1 sin 1 sin sin limlim x x x x xx xx xx 2 2 型未定式求极限 型o 例 4 5 0 1 1 1 ln ln limlimlimlim 0 2 000 x x x L x x xx xxxx 例 4 6 1 1 1 1 1 11 limlimlim 000 xx x x x x x x x exe e L ex xe ex 2 1 2 lim 0 xx x x exe e L 二 函数单调性判定和函数极限 二 函数单调性判定和函数极限 1 1 定理 定理 设内可导 在 baxfy 1 如果处处有 则内单调递增 0 x f 在 baxf 2 如果处处有 则内单调减少 0 x f 在 baxf 注意 注意 只是内单调增加 减少 的充分条件 而非必要条0 x f 0 在 baxf 件 例如单调增加 但有孤立点 3 在xxf0 0 0 fx使 2 2 定义定义 设在点及其左 右邻域有定义 xf 0 x 1 如果对邻域内任一点 总有 称的一个极大值 0 xx 0 xfxf 0 xfxf是 称是极大值点 0 x 2 如果对邻域内任一点 总有 称的一个极小值 0 xx 0 xfxf 0 xfxf是 称是极小值点 0 x 极大值和极小值统称为极值 极大值点和极小值点统称为极值点 极大值和极小值统称为极值 极大值点和极小值点统称为极值点 注意注意 极值是局部概念 极值点指区间内点 北京大学现代远程教育招生入学考试复习参考资料 第 17 页 共 138 页 3 3 定理 极值必要条件 定理 极值必要条件 设在点取得极值 如果存在 则 xf 0 x x f 0 0 x f 即的驻点 0 xfx 是 4 4 定理 极值第一充分条件 定理 极值第一充分条件 设在点及其左 右邻域连续且在的去心邻 xfy 0 x 0 x 域可导 00000 xxxx 1 如果时 时 则是极 00 xxx 0 00 xxxxf0 x f xf 大值 是极大值点 0 x 2 如果时 时 则是极 00 xxx 0 00 xxxxf0 x f xf 小值 是极小值点 0 x 3 如果在与同号 则不是极值 不是极值点 00 xx 00 xx x f 0 xf 0 x 5 5 定理 极值第二充分条件 定理 极值第二充分条件 设点有 2 阶导数 且则 0 xxf在 0 0 00 xfxf 1 如果是极小值 0 00 xfxf则 2 如果是极大值 0 00 xfxf则 注意注意 时 定理失效 改用第一充分条件判断 0 0 x f 例 4 7 求函数的单调区间和极值 32 1 1 xxxf 解 定义域是 xf 令得驻点 15 1 1 2 xxxxf0 xf1 5 1 1 321 xxx 例 4 8 求的单调区间和极值 3 2 2 1 xxf 北京大学现代远程教育招生入学考试复习参考资料 第 18 页 共 138 页 解 定义域是 当时有 xf 2 x 3 23 2 x xf 例 4 9 证明 当 exex x 时 1 证 设单调增加 则有 0 1 xfxfxeexfexexf xx 时 当 exexffxf x 亦即即 0 0 1 三 函数最大值最小值及其应用 三 函数最大值最小值及其应用 1 如果函数在闭区间上连续 则一定有最大值和最小值 最大值和最小值 xfy ba 是全局概念 2 求函数在区间上的最大值和最小值的方法步骤 xfy ba 第一步 求内所有驻点和不可导点 baxfxf在找出 第二步 计算出所有驻点和不可导点处的函数值和 f a f b 第三步 将第二步求出的所有函数值加以比较 取最大和最小者 例 4 10 求在区间上的最大值和最小值 xxxfln 1 4 1 解 1 4 1 1 0 2 ln2 2 e xxf x x xf得驻点令 0 1 2ln 4 1 ff 所以取得最小值 在 x 1 取得最大值 4 1 xxf 在 3 3 两种特殊情况 两种特殊情况 1 如果上单调 则最大值和最小值在端点取得 baxf在 2 如果内的唯一驻点 且是极大 小 值点 则也是最大 小 0 baxfx在是 0 x 0 x 值点 北京大学现代远程教育招生入学考试复习参考资料 第 19 页 共 138 页 例 4 11 设某厂生产某种商品 x 单位时的总成本为 C x 200 5x 万元 销售总收入为 万元 问每批生产多少件商品才能使利润最大 2 01 010 xxxR 解 利润函数20001 0 5 2 xxxCxRxL 得唯一驻点 x 2500 02 0 5 xLxxL令 是极大值点 也是最大值点 所以每批生产 250250 002 0 250 xL 件获利润最大 最大利润为 万元 425 250 L 四 曲线的凹凸性 拐点 四 曲线的凹凸性 拐点 1 1 定义 定义 曲线 f x 上任意两点的弦总在弧之上 下 则称曲线是凹 21 p p 21p p 21p p 凸 的 如图 a b 2 2 定义定义 凹弧和凸弧的分界点称为曲线的拐点 3 3 曲线曲线 凹凸性判别法 凹凸性判别法 xfy Ix 若 则曲线是凹的 0 x f Ix xfy 若 则曲线是凸的 0 x f Ix xfy 4 4 曲线 曲线 拐点求法 拐点求法 xfy Zx 计算 求出方程 0 的根和不存在的点 对于每一个这样的点 x f x f x f 0 x 若在两侧异号 则是拐点 否则不是拐点 x f 0 x 000 xfxp 0 p 例 4 12 求曲线的凹凸区间和拐点 1ln 2 xy 北京大学现代远程教育招生入学考试复习参考资料 第 20 页 共 138 页 解 函数没有不存在点 1 0 1 1 2 1 2 22 2 2 x x x y x x yx 令 x f 拐点 2ln 1 2ln 1 五 曲线的水平渐近线与垂直渐近线 五 曲线的水平渐近线与垂直渐近线 1 1 定义 定义 如果曲线 C 上点 p 沿着曲线趋向无穷远时 p 到某条定直线 L 的距离趋于零 则 称 L 是 C 的渐近线 2 2 水平渐近线 水平渐近线 设 y f x 定义域是无穷区间 如果或 则直线 y b 是曲线bxf x lim bxf x lim y f x 的水平渐近线 例 4 13 因为xyarctan x 2 arctan 2 arctan limlim xx xx 所以都是的水平渐近线 2 yarctan y 3 3 设 设在在有定义 如果有定义 如果 xfy aaaa或或 lim xf ax 则直线则直线 x ax a 是曲线是曲线 y f x y f x 的垂直渐近线 的垂直渐近线 lim xf ax 例 4 14 由于xytan 2 x xx xx tan tan limlim 22 所以都是的垂直渐近线 2 xxytan 第五章第五章不定积分不定积分 一 一 原函数和不定积分概念原函数和不定积分概念 1 定义定义 设是定义在某区间上的已知函数 如果存在一个函数 F x 使 xf 在该区间成立 则称的一个原函数 xfxF xfxF是 例 5 1 对于已知函数就是一个原函数 其实 c 是任意 2 2 xxFxxf cx 2 常数 都是 2x 的原函数 北京大学现代远程教育招生入学考试复习参考资料 第 21 页 共 138 页 2 2 可以证明可以证明 如果在某区间上连续 则一定存在原函数 F x 要是的一个 xf xf 原函数 则 F x c c 为任意常数 就是的全部原函数 xf 3 3 定义定义 设 F x 是已知函数的一个原函数 称的全部原函数 F x c 为 xf xf 的不定积分 记作 xf cxFdxxf 其中 称 c 为积分常数 xfxF 4 4 不定积分 不定积分在几何上表示在在几何上表示在 x x 处切线斜率处切线斜率的积分曲线簇的积分曲线簇 y F x y F x dxxf xfxF为 C C 例 5 2 求在 x 处切线斜率 2x 且过点的曲线方程 5 2 解 将 x 2 y 5 代入得为所求 cxxdxy 2 21 1 2 xyc 二 二 不定积分的性质不定积分的性质 1 dxxfdxxfdxfdxxfdxxf dx d 2 cxFxdFcxFdxxF 或 3 dxxgdxxfdxxgxf 4 k 是非零常数 dxxfkdxxkf 例 5 3 ln ln xfdxxf 例 5 4 的一个原函数是 则的全部原函数是 xf x 2 x f c x 2ln2 三 基本积分公式 三 基本积分公式 1 2 cdx0 cx a dxx aa1 1 1 1 a 3 4 cxdx x ln 1 c a a dxa x x ln 1 0 aa 5 6 cedxe xx cxxdx cossin 7 8 cxxdx sincos cxxdxtansec2 北京大学现代远程教育招生入学考试复习参考资料 第 22 页 共 138 页 9 10 cxxdx cotcsc2cxxdxx sectansec 11 12 cxxdxxcsccotcsc cxarccxdx x cotarctan 1 1 2 13 cxcxdx x arccosarcsin 1 1 2 例 5 5 cxexdx x ex x x xx ln 3 1 2ln 21 2 32 四 第一换元法 凑微分 四 第一换元法 凑微分 1 1 原理 原理 令 xdxfdxxxf ux duuf cuF ufuF cxF 2 2 常用凑微分 常用凑微分 1 1 1 0 1 1 adx a dxxaxddxadax a dx aa 11 ln 1 2 x ddx x xddx x xdxdxxdxdxdedxe xx sincos cossin xdxddx x xdarcxddx x arccosarcsin 1 1 cotarctan 1 1 2 2 例 5 6 2 2 1 22 31 2 1 31dxxdxxx 31 31 3 1 2 1 2 2 1 2 xdx 31 2 xu 令 duu 2 1 6 1 cu 2 3 3 2 6 1 cx 2 3 2 31 9 1 北京大学现代远程教育招生入学考试复习参考资料 第 23 页 共 138 页 例 5 7 cxxd x dx x x xdxcoslncos cos 1 cos sin tan 五 第二换元法 五 第二换元法 1 原理 dtttfdxxf tx ctF ttftF cxF 1 例 5 8 求不定积分 dx x1 1 解 令tdtdxtxtx2 2 则 原式 cttdt t dt t t dt t t 1ln 2 1 1 12 1 11 2 1 2 cxx 1ln 2 例 5 9 求不定积分 dxx21 解 令则 sintx tdtdxttxcos cossin11 22 原式 dtttdt 2cos1 2 1 cos2 ctt 2sin 2 1 2 1 cxxx 1 arcsin 2 1 2 其中 ttttt 2 sin1sin2cossin22sin 2 2 常用三角函数换元常用三角函数换元 taxtaxxacossin 22 或令 taxtaxxacottan 22 或令 taxtaxaxcscsec 22 或令 六 分部积分法 六 分部积分法 1 1 设 设分部积分法为分部积分法为 xvvxuu vduuvudv 2 2 常用凑 常用凑dv 北京大学现代远程教育招生入学考试复习参考资料 第 24 页 共 138 页 xdxxdxx nn sincos xdxxdxx nn cossin xnxn dexdxex 1 arctan 1 1 arctan nn xdx n xdxx 1 ln 1 1 ln nn xdx n xdxx 例 5 10 xxdxdxxsincos xdxxxsinsin cxxx cossin 例 5 11 1 ln 2 1 lnln 2 1 ln 2 1 ln 22222 dx x xxxxdxxxxdxxdxx cxxx 22 2 1 ln 2 1 cx x 2 1 ln 2 2 七 简单有理函数积分 七 简单有理函数积分 公式公式 c a x axa dx arctan 1 22 0 a c xa xa axa dx ln 2 1 22 例 5 12 cxxd x dx x dx x x 1ln 2 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 22 2 2 22 例 5 13 c x x cxxdx xx dx xx dx xx1 ln1lnln 1 11 1 11 2 例 5 14 求 544 2 xx dx 解 41 2 2 2 544 22 xxxx 4 12 2 x 2 1 1 4 2 x 原式 cxxd xx dx 2 1 arctan 4 1 2 1 2 1 1 1 4 1 2 1 1 4 1 22 第六章第六章 定积分定积分 一 定积分的概念 一 定积分的概念 北京大学现代远程教育招生入学考试复习参考资料 第 25 页 共 138 页 1 定义定义 设函数 y f x 在区间上连续 用分点 ba bxxxxa n 210 将区间任意分成 n 个小区间 其长度为在每个小区 ba 1ii xx 2 1 nixi 间上任取一点 作乘积 并求和 1ii xx i ii xf n i ii xf 1 取 当时 如果上述和的极限存在 且与的 i xx max n0 x ba 分法及的取法无关 则称此极限值为函数 f x 在上的定积分 记作 i ba xfdxxf n ix b a 10 lim 并称 f x 在上可积 a 称为积分下限 b 称为积分上限 ba 2 2 定积分的几何意义定积分的几何意义 当时 表示曲边梯形面积 如图 0 xfdxxfS b a 3 3 理解定积分定义需要注意以下两点理解定积分定义需要注意以下两点 1 定积分是一个数值 他只与被积函数和积分区间有关 而与积分 xf ba 变量用什么字母表示无关 2 定义中设 a0 则 反之亦然 BPABP 例 8 7 甲 乙两人各自考上大学的概率分别为 70 80 则甲 乙两人同时考上大学的 概率是 A 75 B 56 C 50 D 94 答 B 例 8 8 甲 乙两人同时独立的向某一目标射击一次 已知他们各自击中目标的概率分别是 0 4 0 5 则目标被击中的概率为 a 0 9 b 0 7 c 0 5 d 0 2 解 设 A B 分别表示甲 乙击中目标 先求甲乙都未击中目标的概率 3 0 5 01 4 01 BPAPBAP 于是目标被击中的概率 P 1 0 3 0 7 选 b 六 随机变量 六 随机变量 取值带有随机性的变量称为随机变量 一般用表示 例 8 9 设袋中有 5 个球 其中 3 个黑球 编为 1 2 3 号 两个白球 编为 4 5 号 从中任取三个球 则 抽取到白球数 是一个随机变量 记为 显然只能取 0 1 2 这三个值 的取值与样本点之间的对应关系如下 北京大学现代远程教育招生入学考试复习参考资料 第 44 页 共 138 页 2 10 2 9 1 8 1 7 2 6 1 5 1 1 4 3 1 0 2 1 从上表可见 每一个样本点都唯一的对应一个实数值 但却可能对应好 0 x 几个样本点 若记事件 A 则 A 不是基本事件 如 0 x 22抽得的白球数小于 11抽得的白球数不小于 抽得的白球数为偶数 20 今后多用表示事件 完整记法表示这样一个事件 该事件包含 0 x 0 x 的是所有满足的样本点 更一般的 可以用实数轴上的某个实数集合 S 代替 0 x 0 x 即用 s 定义定义 称是一个随机变量 如果他在随机试验 E 中 随着实验结果的不同而随机的取各 种不同数值 而且对取每一个数值或某一范围内的数都有相应的概率 随机变量所可能取到的值是有限个或至多可列多个 这种随机变量称为离散型随机变 量 随机变量取值为某个区间 称为连续型随机变量 或 ba 七 随机变量的分布函数 七 随机变量的分布函数 定义定义 设是一个随机变量 x 是任意实数 函数 xPxF x 称为随机变量的分布函数 北京大学现代远程教育招生入学考试复习参考资料 第 45 页 共 138 页 由定义可知 aFbFbaP 分布函数是一种概率 对任意一个给定的 x 是一个随机事件 而就是这 x xF 一事件发生的概率 八 离散型随机变量及其概率分布 八 离散型随机变量及其概率分布 设离散型随机变量可能取到的值为 取到各个值的概率为 21n xxx 则称 kk pxP 2 1 nk 为随机变量的概率分布或分布列 根据概率定义 容易知道必须满足以下两式 k p 1 2 1 0nkpk 2 1 1 k k p 分布函数为 x k x k pxPxF 例 8 10 同时掷两枚骰子 观察它们出现的点数 求两枚骰子出现的最大点数的概率分布 解 所有可能取值为 1 2 3 4 5 6 利用古典概型的概率计算方法有 36 1 6 1 6 1 1 P 12 1 6 11 2 2 1 2 C P 36 5 6 12 3 2 1 2 C P 36 7 6 13 4 2 1 2 C P 4 1 6 14 5 2 1 2 C P 北京大学现代远程教育招生入学考试复习参考资料 第 46 页 共 138 页 36 11 6 15 6 2 1 2 C P 于是的分布为 或者 6 5 4 3 2 1 36 1 1 2 k k kP 例 8 11 袋中有 5 枚球 编号为 1 2 3 4 5 在其中任取三枚 以 x 表示取出的三枚球 中的最大号码 求随机变量 x 的概率分布 解 依题意随机变量 x 只能取值 3 4 5 而 10 11 3 3 5 c xP 10 3 4 3 5 2 3 c c xP 10 6 5 3 5 2 4 c c xP 所以 x 的概率分布为 10 6 10 3 10 1 概率 3 4 5X 九 随机变量的数字特征 九 随机变量的数字特征 例 8 12 为了了解不同地区间人们消费心理的差异 在甲 乙两市随机地抽取 100 户居民 调查他们当年的收入中储蓄所占的比例 假定得到的数据如下 两个城市居民储蓄率的平均数分别为 甲市 254 9353 6405 10 100 1 755 8 100 25 4 9 100 35 3 6 100 40 5 10 乙市 358 7305 7356 8 100 1 99 7 100 35 8 7 100 30 5 7 100 35 6 8 可见甲市居民的储蓄率更高 1 1 离散型随机变量的数学期望 离散型随机变量的数学期望 定义 设离散型随机变量的分布列是 如果级数 绝对收敛则称其为随机变量的数学期望或均值 记作 1i iip x EE或 北京大学现代远程教育招生入学考试复习参考资料 第 47 页 共 138 页 例 8 12 甲市数学期望 均值 755 8 E 乙市数学期望 均值 99 7 E 2 2 方差方差 数学期望反映了随机变量取值的平均值 例 8 12 虽然平均说来甲市居民更节俭 但甲市居 民却有一部分比所有的乙市居民更偏爱当期消费 为了反映随机变量的这种离散程度或集 中程度 引入方差概念 定义 若存在 则称他为随机变量的方差 简记为 并称为 2 EE D D 的标准差 按此定义 若是离散型随机变量 概率分布为 2 1 kpxP kk 则 1 2 k kk pExD 例 8 12 甲市的方差 43 3 D 乙市的方差 21 0 D 练习题练习题 1 1 袋内装有 5 个白球 三个黑球 从中任取两个球 计算取出的两个球都是白球的概率 解 组成试验的基本事件总数 事件 A 取到两个白球 基本事件总数 c n 2 35 c m 2 5 所以 357 0 14 5 2 8 2 5 c c n m AP 2 2 一批产品共 200 个 其中有 6 个废品 求 1 这批产品的废品率 2 任取 3 个恰 有一个废品的概率 3 任取 3 个 全非废品的概率 解 1 03 0 200 6 1 AP 2 0855 0 3 200 2 194 1 6 2 c cc AP 3 9122 0 3 200 3 194 3 C C AP 3 3 两封信随机的投入 I II III IV 号邮箱 求 II 号邮箱内恰有一封信的概率 解 设 II 号邮箱内恰有一封信为事件 A 两封信随机的投入四个邮筒 共有种等可能投 2 4 法 而组成事件 A 的不同投法只有种 所以 1 3 1 2c c 北京大学现代远程教育招生入学考试复习参考资料 第 48 页 共 138 页 8 3 4 2 1 3 1 2 cc n m AP 同样 设两个邮箱中各有一封信为事件 B 则 8 1 4 2 1 2 c n m BP 4 4 设 100 件产品中有 60 件一等品 30 件二等品 10 件废品 一二等品为合格品 求产 品合格率和废品率 解 设一二等品分别为事件 A B C 为合格品则 100 90 100 30 100 60 BPAPBAPCP 100 10 100 90 1 1 CPCP 5 5 50 件产品中有 46 件合格品 4 件废品 从中一次抽取 3 件 求其中有废品的概率 解 用 A 表示 取到三件中有废品 事件 则 7745 0 980 759 3 50 3 46 C C AP 2255 0 1 APAP 6 6 市场上供应的灯泡中 甲厂产品占 70 乙厂占 30 甲厂产品合格率 95 乙厂是 80 若用事件分别表示甲乙两厂产品 B 表示合格品 试写出有关事件概率 AA 解 70 AP 30 AP 95 ABP 80 ABP 进一步可得 5 ABP 20 ABP 7 7 全年级 100 名学生中 有男生 A 80 人 女生 20 人 来自北京的 B 20 人 其中 男生 12 人 女生 8 人 免修英语的 C 40 人中有 32 名男生 8 名女生 试写出 ACPBAPACPCPABPBAPABPBPAP 解 8 0 100 80 AP2 0 100 20 BP 15 0 80 12 ABP6 0 20 12 BAP 12 0 100 12 ABP4 0 100 40 CP 4 0 80 32 ACP15 0 80 12 BAP 32 0 100 32 ACP 专升本专升本 高等数学 二 高等数学 二 模拟试卷模拟试卷 北京大学现代远程教育招生入学考试复习参考资料 第 49 页 共 138 页 一 单项选择题一 单项选择题 每题 5 分 共计 20 分 1 设函数 在 x 0 处连续 则 a x x xf 3sin 0 0 x x a A 1 B 1 C 2 D 3 2 极限 x x x tdt tdt 0 0 0 sin lim A 1 B 0 C 1 D 2 3 设 则 f x cedxxf x 2 A B C D x e2 2 2 x xe 3 3 1 x e 2 x e 4 设函数 则 yxeZ xy2 2 1 y z A B C D 1 2 e1 e12 2 e12 e 二 填空题二 填空题 每题 5 分 共计 20 分 1 1 2 1 lim x x x 2 设函数 0 cos yey x 则 3 方程确定隐函数 y y x 则 dy 01 yxe y 4 两封信随机地投入标号为 1 2 3 4 的 4 个邮箱 则 1 2 号邮箱各有一封信的概率 三 计算题三 计算题 每题 10 分 共计 30 分 1 求极限 11 4sin 2 2 0 lim x x x 2 设函数 其中 f u 可导 求 2 sinxf ey y 3 计算不定积分 dx x xx 2 2 1 arctan 四 综合题四 综合题 每题 15 分 共计 30 分 1 求函数的单调区间 极值及此曲线的凹凸区间和拐点 x x y ln 北京大学现代远程教育招生入学考试复习参考资料 第 50 页 共 138 页 2 用定积分求由曲线 直线 y x 和 x 2 所围平面图形的面积 x y 1 参考答案参考答案 一一 单项选择题单项选择题 1 D 2 C 3 B 4 A 二二 填空题填空题 1 2 3 4 2 e1sindx xe e y y 1 1 8 1 三三 计算题计算题 1 解 11 11 11 4 11 4sin 22 22 0 2 2 0 limlim x