算术平方根的双重非负性的深度解析(发表于《初中数学教与学》).docx

算术平方根的双重非负性的深度解析 江苏海安紫石中学 黄本华 226600.算术平方根具有双重非负性。一是被开方数具有非负性，即。二是算术平方根本身具有非负性，即。算术平方根的双重非负性还有两个特征，一是兼容性，容易与其它知识点组合成有一定分值的综合题，而双重非负性往往是解题的切入点，更是解题的关键。二是隐含性，如果不仔细观察，认真分析，要么就无从下手要么造成多解或漏解。因此算术平方根的双重非负性是历年中考的热点。只有深度研究算术平方根的这两个非负性，我们解题时才能居高临下，游刃有余。一、确定字母的取值范围例1（中考题改编）已知实数满足，求的值分析：如何去绝对值？如何去根号？如何确定a的范围?分析的时候不断地给自己提一些小问题，就会逐渐地挖掘出此题的切入点！那就是隐含条件：被开方数。【解答】，【评注】不要求去求字母的取值范围，而又必须求字母的取值范围，这就是被开方数为非负数的隐含性，挖掘出这个隐含性，就是解题的关键。【变式训练】化简。【提示】貌似与例题风马牛不相及，实质相同。 二、确定最大值或最小值例2 （2017宁波）当x取时，的值最小，最小值是；当x取时，2的值最大，最大值是【分析】依据算术平方根的非负性可知当10+2x=0时，的值最小，当5x=0时，2的值最大【解答】当10+2x=0时，的值最小，解得x=5，此时的最小值为0当5x=0时，即x=5时，=0，此时2的值最大，最大值是2【点评】熟练掌握算术平方根的非负性是解本题的关键【变式】（2017 宁都）设a，b是不小于3的实数，则+|2|的最小值是 【提示】分别求出和|2|的最小值即可。三、求字母的值例3 （2016扶沟县）王老师给同学们布置了这样一道习题：一个数的算术平方根为2m6，它的平方根为（m2），求这个数小张的解法如下：依题意可知，2m6是m2或者是（m2）两数中的一个（1）当2m6=m2，解得m=4（2）（2m6）=（246）=2（3）这个数为4当2m6=（m2）时，解得m=（4） （2m6）=（26）=（5）这个数为综上可得，这个数为4或（6）王老师看后说，小张的解法是错误的你知道小张错在哪里吗？为什么？请予改正。【分析】小张的解法貌似很全面，错在哪里呢？仔细审题，发现2m6是算术平方根。由算术平方根的非负性质可知2m60，因此要对求得的m的值作出取舍【解答】2m6是某数的算术平方根，2m60解得：m3当m=不符合题意应舍去故答案为：这个数为4【点评】本题若直接给出这个题目：一个数的算术平方根为2m6，它的平方根为（m2），求这个数很多同学就会因不注意算术平方根的非负性而造成多解。【变式训练】（2016秋资中县月考）一天，杨老师给同学们布置了这样一道习题：一个数的算术平方根为m-6，它的平方根为，求这个数。例4 如果y=+3，试求2x+y的值【分析】观察到被开方数和互为相反数，而它们又必须都大于等于0，所以它们必须都为0。从而求出的值。【解答】由题意得，解得，所以，所以，【评注】：如果一条题目中出现的两个被开方数互为相反数，则这两个被开方数数都为0。即若题目中同时出现和，则。【变式训练】已知a、b为实数，且+2=b+4，则ab= 【提示】例5 已知：=0，求：代数式的值【分析】右边为0，左边分子是两个非负数的和，所以这两个非负数都必须为0同时必须注意分母的，既是被开方数，又在分母上，故，这样避免多解。【解答】解 =2【评注】根据几个非负数的和等于0，则每一个非负数都等于0是解决本题的关键而被开方数的非负性，则可以避免 避免多解。【变式训练】已知与|2x3|互为相反数求x+y的平方根【提示】互为相反数两数相加得0例6 (2016 南通)已知a，b为实数，且（b1）=0，求的值【分析】有边为0，而左边不是和的形式，怎么办？挖掘出隐含条件被开方数，可把等式变形为+（1b）=0，再根据几个非负数和的性质得到1+a=0，1b=0，解得a=1，b=1，于是问题迎刃而解【解答】 （b1）=0，+（1b）=0，1b0，1+a=0，1b=0，解得a=1，b=1，【评注】本题需同时考虑算术平方根的双重非负数的性质。算术平方根具有非负性，非负数之和等于0则各项都等于0这两个性质是解题的关键，而被开方数的非负性则是解决此题的突破口。例7 （原创）计算【分析】本题猛一瞅，无从下手。仔细观察，发现最后一项的被开方数是，这是一个非正数，而被开方数又必须是非负数，从而必有。从而迎刃而解。【解答】由题意得，又，原式= 【评注】题目中出现时，应当敏锐地发现【变式训练】（中考题改编）化简四、比较大小例8 （原创）比较与的大小。【分析】本题貌似无从下手，想分类讨论又感觉太繁。其实根据被开方数非负的性质，可以得到x的范围：。再由平方根的非负性得到，由可得。