高中数学-直线与方程

第三章第三章 直线与方程直线与方程 3 3 1 1 直线的倾斜角与斜率直线的倾斜角与斜率 3 1 1 倾斜角与斜率倾斜角与斜率 课时目标 1 理解直线的倾斜角和斜率的概念 2 掌握求直线斜率的两种方 法 3 了解在平面直角坐标系中确定一条直线的几何要素 1 倾斜角与斜率的概念 定义 表示 或记 法 倾 斜 角 当直线 l 与 x 轴 时 我们取 作为基准 x 轴 与直线 l 之间所成的角叫做直线 l 的倾斜角 当直线 l 与 x 轴平行 或重合时 我们规定它的倾斜角为 0 斜 率 直线 l 的倾斜角 90 的 k ta n 2 倾斜角与斜率的对应关系 图示 倾斜角 范围 0 0 90 90 180 斜率 范围 0大于 0 斜率不 存在 小于 0 一 选择题 1 对于下列命题 若 是直线 l 的倾斜角 则 0 180 若 k 是直线的斜率 则 k R 任一条直线都有倾斜角 但不一定有斜率 任一条直线都有斜率 但不一定有倾斜角 其中正确命题的个数是 A 1 B 2 C 3 D 4 2 斜率为 2 的直线经过点 A 3 5 B a 7 C 1 b 三点 则 a b 的值为 A a 4 b 0 B a 4 b 3 C a 4 b 3 D a 4 b 3 3 设直线 l 过坐标原点 它的倾斜角为 如果将 l 绕坐标原点按逆时针方向旋转 45 得到直线 l1 那么 l1的倾斜角为 A 45 B 135 C 135 D 当 0 135 时 倾斜角为 45 当 135 180 时 倾斜角为 135 4 直线 l 过原点 0 0 且不过第三象限 那么 l 的倾斜角 的取值范围是 A 0 90 B 90 180 C 90 180 或 0 D 90 135 5 若图中直线 l1 l2 l3的斜率分别为 k1 k2 k3 则 A k1 k2 k3 B k3 k1 k2 C k3 k2 k1 D k1 k30 B mn0 n 0 D m 0 nb c 0 则 的大小关系是 f a a f b b f c c 1 利用直线上两点确定直线的斜率 应从斜率存在 不存在两方面入手分类讨论 斜 率不存在的情况在解题中容易忽视 应引起注意 2 三点共线问题 1 已知三点 A B C 若直线 AB AC 的斜率相同 则三点共线 2 三点共线问题也可利用线段相等来求 若 AB BC AC 也可断定 A B C 三点共 线 3 斜率公式的几何意义 在解题过程中 要注意开发 数形 的转化功能 直线的倾 斜角与斜率反映了某一代数式的几何特征 利用这种特征来处理问题更直观形象 会起到 意想不到的效果 第三章第三章 直线与方程直线与方程 3 1 直线的倾斜角与斜率直线的倾斜角与斜率 3 1 1 倾斜角与斜率倾斜角与斜率 答案答案 知识梳理 1 相交 x 轴 正向 向上方向 正切值 2 90 作业设计 1 C 正确 2 C 由题意 得Error 即Error 解得 a 4 b 3 3 D 因为 0 180 显然 A B C 未分类讨论 均不全面 不合题意 通过画 图 如图所示 可知 当 0 135 时 倾斜角为 45 当 135 180 时 倾斜角为 45 180 135 4 C 倾斜角的取值范围为 0 180 直线过原点且不过第三象限 切勿忽略 x 轴 和 y 轴 5 D 由图可知 k10 k3 0 且 l2比 l3的倾斜角大 k1 k30 且 0 n 0 m n 1 n 7 30 或 150 或 8 0 3 3 3 3 9 20 200 解析 因为直线的倾斜角的范围是 0 180 所以 0 20 180 解之可得 20 f c c f b b f a a 解析 画出函数的草图如图 可视为过原点直线的斜率 f x x 3 1 2 两条直线平行与垂直的判定两条直线平行与垂直的判定 课时目标 1 能根据两条直线的斜率判定两条直线是否平行或垂直 2 能根据 两条直线平行或垂直的关系确定两条直线斜率的关系 1 两条直线平行与斜率的关系 1 对于两条不重合的直线 l1 l2 其斜率分别为 k1 k2 有 l1 l2 2 如果直线 l1 l2的斜率都不存在 并且 l1与 l2不重合 那么它们都与 垂直 故 l1 l2 2 两条直线垂直与斜率的关系 1 如果直线 l1 l2的斜率都存在 并且分别为 k1 k2 那么 l1 l2 2 如果两条直线 l1 l2中的一条斜率不存在 另一个斜率是零 那么 l1与 l2的位置关 系是 一 选择题 1 有以下几种说法 l1 l2不重合 若直线 l1 l2都有斜率且斜率相等 则 l1 l2 若直线 l1 l2 则它们的斜率互为负倒数 两条直线的倾斜角相等 则这两条直线平行 只有斜率相等的两条直线才一定平行 以上说法中正确的个数是 A 1 B 2 C 3 D 0 2 以 A 1 1 B 2 1 C 1 4 为顶点的三角形是 A 锐角三角形 B 钝角三角形 C 以 A 点为直角顶点的直角三角形 D 以 B 点为直角顶点的直角三角形 3 已知 A 1 2 B m 1 直线 AB 与直线 y 0 垂直 则 m 的值 A 2 B 1 C 0 D 1 4 已知 A m 3 B 2m m 4 C m 1 2 D 1 0 且直线 AB 与直线 CD 平行 则 m 的值为 A 1 B 0 C 0 或 2 D 0 或 1 5 若直线 l1 l2的倾斜角分别为 1 2 且 l1 l2 则有 A 1 2 90 B 2 1 90 C 2 1 90 D 1 2 180 6 顺次连接 A 4 3 B 2 5 C 6 3 D 3 0 所构成的图形是 A 平行四边形 B 直角梯形 C 等腰梯形 D 以上都不对 二 填空题 7 如果直线 l1的斜率为 a l1 l2 则直线 l2的斜率为 8 直线 l1 l2的斜率 k1 k2是关于 k 的方程 2k2 3k b 0 的两根 若 l1 l2 则 b 若 l1 l2 则 b 9 已知直线 l1的倾斜角为 60 直线 l2经过点 A 1 B 2 2 则直线 33 l1 l2的位置关系是 三 解答题 10 已知 ABC 三个顶点坐标分别为 A 2 4 B 6 6 C 0 6 求此三角形三边 的高所在直线的斜率 11 已知 ABC 的顶点坐标为 A 5 1 B 1 1 C 2 m 若 ABC 为直角三角形 试求 m 的值 能力提升 12 已知 ABC 的顶点 B 2 1 C 6 3 其垂心为 H 3 2 则其顶点 A 的坐标为 13 已知四边形 ABCD 的顶点 A m n B 5 1 C 4 2 D 2 2 求 m 和 n 的值 使四边形 ABCD 为直角梯形 判定两条直线是平行还是垂直要 三看 一看斜率是否存在 若两直线的斜率都不 存在 则两直线平行 若一条直线的斜率为 0 另一条直线的斜率不存在 则两直线垂直 斜率都存在时 二看斜率是否相等或斜率乘积是否为 1 两直线斜率相等时 三看两直线 是否重合 若不重合 则两直线平行 3 1 2 两条直线平行与垂直的判定两条直线平行与垂直的判定 答案答案 知识梳理 1 1 k1 k2 2 x 轴 2 1 k1k2 1 2 垂直 作业设计 1 B 正确 不正确 l1或 l2可能斜率不存在 2 C kAB kAC kAC kAB 1 AB AC 2 3 3 2 3 B 直线 AB 应与 x 轴垂直 A B 横坐标相同 4 D 当 AB 与 CD 斜率均不存在时 m 0 此时 AB CD 当 kAB kCD时 m 1 此时 AB CD 5 C 6 B kAB kDC kAD kBC kAD kAB 1 故构成的图形为直角梯形 7 或不存在 1 a 8 2 9 8 解析 若 l1 l2 则 k1k2 1 b 2 b 2 若 l1 l2 则 k1 k2 9 8b 0 b 9 8 9 平行或重合 解析 由题意可知直线 l1的斜率 k1 tan 60 3 直线 l2的斜率 k2 2 3 3 2 13 因为 k1 k2 所以 l1 l2或 l1 l2重合 10 解 由斜率公式可得 kAB 6 4 6 2 5 4 kBC 0 6 6 6 0 kAC 5 6 4 0 2 由 kBC 0 知直线 BC x 轴 BC 边上的高线与 x 轴垂直 其斜率不存在 设 AB AC 边上高线的斜率分别为 k1 k2 由 k1 kAB 1 k2 kAC 1 即 k1 1 k2 5 1 5 4 解得 k1 k2 4 5 1 5 BC 边上的高所在直线斜率不存在 AB 边上的高所在直线斜率为 4 5 AC 边上的高所在直线斜率为 1 5 11 解 kAB kAC 1 1 5 1 1 2 1 m 5 2 m 1 3 kBC m 1 m 1 2 1 若 AB AC 则有 1 1 2 m 1 3 所以 m 7 若 AB BC 则有 m 1 1 1 2 所以 m 3 若 AC BC 则有 m 1 1 m 1 3 所以 m 2 综上可知 所求 m 的值为 7 2 3 12 19 62 解析 设 A x y AC BH AB CH 且 kBH 1 5 kCH 1 3 Error 解得Error 13 解 四边形 ABCD 是直角梯形 有 2 种情形 1 AB CD AB AD 由图可知 A 2 1 2 AD BC AD AB Error Error Error 综上Error 或Error 3 3 2 2 直线的方程直线的方程 3 2 1 直线的点斜式方程直线的点斜式方程 课时目标 1 掌握坐标平面内确定一条直线的几何要素 2 会求直线的点斜式 方程与斜截式方程 3 了解斜截式与一次函数的关系 1 直线的点斜式方程和斜截式方程 名称已知条件示意图方程使用范围 点 斜 式 点 P x0 y0 和斜率 k 斜率 存在 斜 截 式 斜率 k 和在 y 轴上的截距 b 存在 斜率 2 对于直线 l1 y k1x b1 l2 y k2x b2 1 l1 l2 2 l1 l2 一 选择题 1 方程 y k x 2 表示 A 通过点 2 0 的所有直线 B 通过点 2 0 的所有直线 C 通过点 2 0 且不垂直于 x 轴的所有直线 D 通过点 2 0 且除去 x 轴的所有直线 2 已知直线的倾斜角为 60 在 y 轴上的截距为 2 则此直线方程为 A y x 2 B y x 2 33 C y x 2 D y x 2 33 3 直线 y kx b 通过第一 三 四象限 则有 A k 0 b 0 B k 0 b 0 C k0 D k 0 b 0 4 直线 y ax b 和 y bx a 在同一坐标系中的图形可能是 5 集合 A 直线的斜截式方程 B 一次函数的解析式 则集合 A B 间的关系 是 A A B B B A C A B D 以上都不对 6 直线 kx y 1 3k 0 当 k 变化时 所有的直线恒过定点 A 1 3 B 1 3 C 3 1 D 3 1 二 填空题 7 将直线 y 3x 绕原点逆时针旋转 90 再向右平移 1 个单位长度 所得到的直线为 8 已知一条直线经过点 P 1 2 且与直线 y 2x 3 平行 则该直线的点斜式方程是 9 下列四个结论 方程 k 与方程 y 2 k x 1 可表示同一直线 y 2 x 1 直线 l 过点 P x1 y1 倾斜角为 90 则其方程是 x x1 直线 l 过点 P x1 y1 斜率为 0 则其方程是 y y1 所有的直线都有点斜式和斜截式方程 正确的为 填序号 三 解答题 10 写出下列直线的点斜式方程 1 经过点 A 2 5 且与直线 y 2x 7 平行 2 经过点 C 1 1 且与 x 轴平行 11 已知 ABC 的三个顶点坐标分别是 A 5 0 B 3 3 C 0 2 求 BC 边上的 高所在的直线方程 能力提升 12 已知直线 l 的斜率为 且和两坐标轴围成三角形的面积为 3 求 l 的方程 1 6 13 等腰 ABC 的顶点 A 1 2 AC 的斜率为 点 B 3 2 求直线 AC BC 及 3 A 的平分线所在直线方程 1 已知直线 l 经过的一个点和直线斜率就可用点斜式写出直线的方程 用点斜式求直 线方程时 必须保证该直线斜率存在 而过点 P x0 y0 斜率不存在的直线方程为 x x0 直线的斜截式方程 y kx b 是点斜式的特例 2 求直线方程时常常使用待定系数法 即根据直线满足的一个条件 设出其点斜式方 程或斜截式方程 再根据另一条件确定待定常数的值 从而达到求出直线方程的目的 但 在求解时仍然需要讨论斜率不存在的情形 3 2 直线的方程直线的方程 3 2 1 直线的点斜式方程直线的点斜式方程 答案答案 知识梳理 1 y y0 k x x0 y kx b 2 1 k1 k2且 b1 b2 2 k1k2 1 作业设计 1 C 易验证直线通过点 2 0 又直线斜率存在 故直线不垂直于 x 轴 2 D 直线的倾斜角为 60 则其斜率为 3 利用斜截式直接写方程 3 B 4 D 5 B 一次函数 y kx b k 0 直线的斜截式方程 y kx b 中 k 可以是 0 所以 B A 6 C 直线 kx y 1 3k 0 变形为 y 1 k x 3 由直线的点斜式可得直线恒过定点 3 1 7 y x 1 3 1 3 解析 直线 y 3x 绕原点逆时针旋转 90 所得到的直线方程为 y x 再将该直线向 1 3 右平移 1 个单位得到的直线方程为 y x 1 即 y x 1 3 1 3 1 3 8 y 2 2 x 1 9 10 解 1 由题意知 直线的斜率为 2 所以其点斜式方程为 y 5 2 x 2 2 由题意知 直线的斜率 k tan 0 0 所以直线的点斜式方程为 y 1 0 即 y 1 11 解 设 BC 边上的高为 AD 则 BC AD kAD kBC 1 kAD 1 解得 kAD 2 3 0 3 3 5 BC 边上的高所在的直线方程为 y 0 x 5 3 5 即 y x 3 3 5 12 解 设直线 l 的方程为 y x b 1 6 则 x 0 时 y b y 0 时 x 6b 由已知可得 b 6b 3 1 2 即 6 b 2 6 b 1 故所求直线方程为 y x 1 或 y x 1 1 6 1 6 13 解 直线 AC 的方程 y x 2 33 AB x 轴 AC 的倾斜角为 60 BC 的倾斜角为 30 或 120 当 30 时 BC 方程为 y x 2 A 平分线倾斜角为 120 3 33 所在直线方程为 y x 2 33 当 120 时 BC 方程为 y x 2 3 A 平分线倾斜角为 30 33 所在直线方程为 y x 2 3 3 3 3 3 2 2 直线的两点式方程直线的两点式方程 课时目标 1 掌握直线方程的两点式 2 掌握直线方程的截距式 3 进一步巩 固截距的概念 1 直线方程的两点式和截距式 名称已知条件示意图方程使用范围 两 点 式 P1 x1 y1 P2 x2 y2 其中 x1 x2 y1 y2 y y1 y2 y1 x x1 x2 x1 斜率存在 且不为 0 截 距 式 在 x y 轴上的 截距分别为 a b 且 ab 0 斜率存在且不为 0 不过原点 2 线段的中点坐标公式 若点 P1 P2的坐标分别为 x1 y1 x2 y2 设 P x y 是线段 P1P2的中点 则 Error 一 选择题 1 下列说法正确的是 A 方程 k 表示过点 M x1 y1 且斜率为 k 的直线方程 y y1 x x1 B 在 x 轴 y 轴上的截距分别为 a b 的直线方程为 1 x a y b C 直线 y kx b 与 y 轴的交点到原点的距离为 b D 不与坐标轴平行或垂直的直线的方程一定可以写成两点式或斜截式 2 一条直线不与坐标轴平行或重合 则它的方程 A 可以写成两点式或截距式 B 可以写成两点式或斜截式或点斜式 C 可以写成点斜式或截距式 D 可以写成两点式或截距式或斜截式或点斜式 3 直线 1 在 y 轴上的截距是 x a2 y b2 A b B b2 C b2 D b 4 在 x y 轴上的截距分别是 3 4 的直线方程是 A 1 B 1 x 3 y 4 x 3 y 4 C 1 D 1 x 3 y 4 x 4 y 3 5 直线 1 与 1 在同一坐标系中的图象可能是 x m y n x n y m 6 过点 5 2 且在 x 轴上的截距 直线与 x 轴交点的横坐标 是在 y 轴上的截距的 2 倍 的直线方程是 A 2x y 12 0 B 2x y 12 0 或 2x 5y 0 C x 2y 1 0 D x 2y 9 0 或 2x 5y 0 二 填空题 7 已知点 A 1 2 B 3 1 则线段 AB 的垂直平分线的点斜式方式为 8 过点 P 6 2 且在 x 轴上的截距比在 y 轴上的截距大 1 的直线方程是 9 过点 P 1 3 的直线 l 分别与两坐标轴交于 A B 两点 若 P 为 AB 的中点 则直线 l 的截距式是 三 解答题 10 已知直线 l 的斜率为 6 且被两坐标轴所截得的线段长为 求直线 l 的方程 37 11 三角形 ABC 的三个顶点分别为 A 0 4 B 2 6 C 8 0 1 求边 AC 和 AB 所在直线的方程 2 求 AC 边上的中线 BD 所在直线的方程 3 求 AC 边上的中垂线所在直线的方程 能力提升 12 已知点 A 2 5 与点 B 4 7 点 P 在 y 轴上 若 PA PB 的值最小 则点 P 的 坐标是 13 已知直线 l 经过点 7 1 且在两坐标轴上的截距之和为零 求直线 l 的方程 1 直线方程的几种形式 都可以用来求直线的方程 但各有自己的限制条件 应用时 要全面考虑 1 点斜式应注意过 P x0 y0 且斜率不存在的情况 2 斜截式 要注意斜率不 存在的情况 3 两点式要考虑直线平行于 x 轴和垂直于 x 轴的情况 4 截距式要注意截距 都存在的条件 2 直线方程的几种特殊形式都有明显的几何意义 在求直线方程时 应抓住这些几何 特征 求直线方程 3 强调两个问题 1 截距并非距离 另外截距相等包括截距均为零的情况 但此时不能用截距式方程表 示 而应用 y kx 表示 不是每条直线都有横截距和纵截距 如直线 y 1 没有横截距 x 2 没有纵截距 2 方程 y y1 x x1 x1 x2 与 x1 x2 y1 y2 以及 y y1 y2 y1 x2 x1 y y1 y2 y1 x x1 x2 x1 x2 x1 x x1 y2 y1 代表的直线范围不同 想一想 为什么 3 2 2 直线的两点式方程直线的两点式方程 答案答案 知识梳理 1 1 x a y b 2 x1 x2 2 y1 y2 2 作业设计 1 A 2 B 3 B 令 x 0 得 y b2 4 A 5 B 两直线的方程分别化为斜截式 y x n n m y x m 易知两直线的斜率的符号相同 四个选项中仅有 B 选项的两直线的斜率 m n 符号相同 6 D 当 y 轴上截距 b 0 时 方程设为 y kx 将 5 2 代入得 y x 即 2x 5y 0 2 5 当 b 0 时 方程设为 1 求得 b 选 D x 2b y b 9 2 7 y 2 x 2 3 2 解析 kAB 由 k kAB 1 得 1 2 k 2 AB 的中点坐标为 2 3 2 点斜式方程为 y 2 x 2 3 2 8 1 或 y 1 x 3 y 2 x 2 解析 设直线方程的截距式为 1 则 1 解得 a 2 或 a 1 则直 x a 1 y a 6 a 1 2 a 线的方程是 1 或 1 即 1 或 y 1 x 2 1 y 2 x 1 1 y 1 x 3 y 2 x 2 9 1 x 2 y 6 解析 设 A m 0 B 0 n 由 P 1 3 是 AB 的中点可得 m 2 n 6 即 A B 的坐标分别为 2 0 0 6 则 l 的方程为 1 x 2 y 6 10 解 方法一 设所求直线 l 的方程为 y kx b k 6 方程为 y 6x b 令 x 0 y b 与 y 轴的交点为 0 b 令 y 0 x 与 x 轴的交点为 b 6 b 6 0 根据勾股定理得 2 b2 37 b 6 b 6 因此直线 l 的方程为 y 6x 6 方法二 设所求直线为 1 则与 x 轴 y 轴的交点分别为 a 0 0 b x a y b 由勾股定理知 a2 b2 37 又 k 6 Error b a 解此方程组可得Error 或Error 因此所求直线 l 的方程为 x 1 或 x 1 y 6 y 6 11 解 1 由截距式得 1 x 8 y 4 AC 所在直线方程为 x 2y 8 0 由两点式得 y 4 6 4 x 2 AB 所在直线方程为 x y 4 0 2 D 点坐标为 4 2 由两点式得 y 2 6 2 x 4 2 4 BD 所在直线方程为 2x y 10 0 3 由 kAC AC 边上的中垂线的斜率为 2 1 2 又 D 4 2 由点斜式得 y 2 2 x 4 AC 边上的中垂线所在直线方程为 2x y 6 0 12 0 1 解析 要使 PA PB 的值最小 先求点 A 关于 y 轴的对称点 A 2 5 连接 A B 直线 A B 与 y 轴的交点 P 即为所求点 13 解 当直线 l 经过原点时 直线 l 在两坐标轴上截距均等于 0 故直线 l 的斜率为 1 7 所求直线方程为 y x 1 7 即 x 7y 0 当直线 l 不过原点时 设其方程 1 x a y b 由题意可得 a b 0 又 l 经过点 7 1 有 1 7 a 1 b 由 得 a 6 b 6 则 l 的方程为 1 即 x y 6 0 x 6 y 6 故所求直线 l 的方程为 x 7y 0 或 x y 6 0 3 2 3 直线的一般式方程直线的一般式方程 课时目标 1 了解二元一次方程与直线的对应关系 2 掌握直线方程的一般 式 3 根据确定直线位置的几何要素 探索并掌握直线方程的几种形式之间的关系 1 关于 x y 的二元一次方程 其中 A B 叫做直 线的一般式方程 简称一般式 2 比较直线方程的五种形式 填空 形式方程局限 各常数的 几何意义 点斜式不能表示 k 不存在的直线 x0 y0 是直线上一定点 k 是斜率 斜截式不能表示 k 不存在的直线k 是斜率 b 是 y 轴上的截距 两点式 x1 x2 y1 y2 x1 y1 x2 y2 是直线上两个定点 截距式 不能表示与坐标轴平行及过原 点的直线 a 是 x 轴上的非零截距 b 是 y 轴上的非 零截距 一般式无 当 B 0 时 是斜率 是 y 轴上的 A B C B 截距 一 选择题 1 若方程 Ax By C 0 表示直线 则 A B 应满足的条件为 A A 0 B B 0 C A B 0 D A2 B2 0 2 直线 2m2 5m 2 x m2 4 y 5m 0 的倾斜角为 45 则 m 的值为 A 2 B 2 C 3 D 3 3 直线 x 2ay 1 0 与 a 1 x ay 1 0 平行 则 a 的值为 A B 或 0 3 2 3 2 C 0 D 2 或 0 4 直线 l 过点 1 2 且与直线 2x 3y 4 0 垂直 则 l 的方程是 A 3x 2y 1 0 B 3x 2y 7 0 C 2x 3y 5 0 D 2x 3y 8 0 5 直线 l1 ax y b 0 l2 bx y a 0 a 0 b 0 a b 在同一坐标系中的图形 大致是 6 直线 ax by c 0 ab 0 在两坐标轴上的截距相等 则 a b c 满足 A a b B a b 且 c 0 C a b 且 c 0 D a b 或 c 0 二 填空题 7 直线 x 2y 6 0 化为斜截式为 化为截距式为 8 已知方程 2m2 m 3 x m2 m y 4m 1 0 表示直线 则 m 的取值范围是 9 已知 A 0 1 点 B 在直线 l1 x y 0 上运动 当线段 AB 最短时 直线 AB 的一般 式方程为 三 解答题 10 根据下列条件分别写出直线的方程 并化为一般式方程 1 斜率为 且经过点 A 5 3 3 2 过点 B 3 0 且垂直于 x 轴 3 斜率为 4 在 y 轴上的截距为 2 4 在 y 轴上的截距为 3 且平行于 x 轴 5 经过 C 1 5 D 2 1 两点 6 在 x 轴 y 轴上截距分别是 3 1 11 已知直线 l1 m 3 x y 3m 4 0 l2 7x 5 m y 8 0 问当 m 为何值时 直线 l1与 l2平行 能力提升 12 将一张坐标纸折叠一次 使点 0 2 与点 4 0 重合 且点 7 3 与点 m n 重合 则 m n 的值为 A 8 B C 4 D 11 34 5 13 已知直线 l 5ax 5y a 3 0 1 求证 不论 a 为何值 直线 l 总经过第一象限 2 为使直线不经过第二象限 求 a 的取值范围 1 在求解直线的方程时 要由问题的条件 结论 灵活地选用公式 使问题的解答变 得简捷 2 直线方程的各种形式之间存在着内在的联系 它是直线在不同条件下的不同的表现 形式 要掌握好各种形式的适用范围和它们之间的互化 如把一般式 Ax By C 0 化为 截距式有两种方法 一是令 x 0 y 0 求得直线在 y 轴上的截距 B 和在 x 轴上的截距 A 二是移常项 得 Ax By C 两边除以 C C 0 再整理即可 3 根据两直线的一般式方程判定两直线垂直的方法 若一个斜率为零 另一个不存在则垂直 若两个都存在斜率 化成斜截式后则 k1k2 1 一般地 设 l1 A1x B1y C1 0 l2 A2x B2y C2 0 l1 l2 A1A2 B1B2 0 第二种方法可避免讨论 减小失误 3 2 3 直线的一般式方程直线的一般式方程 答案答案 知识梳理 1 Ax By C 0 不同时为 0 2 y y0 k x x0 y kx b y y1 y2 y1 x x1 x2 x1 1 Ax By C 0 x a y b 作业设计 1 D 2 D 由已知得 m2 4 0 且 1 2m2 5m 2 m2 4 解得 m 3 或 m 2 舍去 3 A 4 A 由题意知 直线 l 的斜率为 因此直线 l 的方程为 y 2 x 1 3 2 3 2 即 3x 2y 1 0 5 C 将 l1与 l2的方程化为斜截式得 y ax b y bx a 根据斜率和截距的符号可得 C 6 D 直线在两坐标轴上的截距相等可分为两种情形 1 截距等于 0 此时只要 c 0 即可 2 截距不等于 0 此时 c 0 直线在两坐标轴上的截距分别为 若相等 则 c a c b 有 即 a b c a c b 综合 1 2 可知 若 ax by c 0 ab 0 表示的直线在两坐标轴上的截距相等 则 a b 或 c 0 7 y x 3 1 1 2 x 6 y 3 8 m R 且 m 1 解析 由题意知 2m2 m 3 与 m2 m 不能同时为 0 由 2m2 m 3 0 得 m 1 且 m 3 2 由 m2 m 0 得 m 0 且 m 1 故 m 1 9 x y 1 0 解析 AB l1时 AB 最短 所以 AB 斜率为 k 1 方程为 y 1 x 即 x y 1 0 10 解 1 由点斜式方程得 y 3 x 5 3 即x y 3 5 0 33 2 x 3 即 x 3 0 3 y 4x 2 即 4x y 2 0 4 y 3 即 y 3 0 5 由两点式方程得 y 5 1 5 x 1 2 1 即 2x y 3 0 6 由截距式方程得 1 即 x 3y 3 0 x 3 y 1 11 解 当 m 5 时 l1 8x y 11 0 l2 7x 8 0 显然 l1与 l2不平行 同理 当 m 3 时 l1与 l2也不平行 当 m 5 且 m 3 时 l1 l2 Error m 2 m 为 2 时 直线 l1与 l2平行 12 B 点 0 2 与点 4 0 关于直线 y 1 2 x 2 对称 则点 7 3 与点 m n 也关于直 线 y 1 2 x 2 对称 则Error 解得Error 故 m n 34 5 13 1 证明 将直线 l 的方程整理为 y a x l 的斜率为 a 3 5 1 5 且过定点 A 1 5 3 5 而点 A 在第一象限 故 l 过第一象限 1 5 3 5 不论 a 为何值 直线 l 总经过第一象限 2 解 直线 OA 的斜率为 k 3 3 5 0 1 5 0 l 不经过第二象限 a 3 3 3 3 3 直线的交点坐标与距离公式直线的交点坐标与距离公式 3 3 1 两条直线的交点坐标两条直线的交点坐标 课时目标 1 掌握求两条直线交点的方法 2 掌握通过求方程组解的个数 判 定两直线位置关系的方法 3 通过本节的学习初步体会用代数方法研究几何问题的解析思 想 1 两条直线的交点 已知两直线 l1 A1x B1y C1 0 l2 A2x B2y C2 0 若两直线方程组成的方程组Error 有唯一解Error 则两直线 交点坐标为 2 方程组的解的组数与两直线的位置关系 方程组 的解 交点 两直线 位置关系 方程系数特征 无解两直线 交点平行 A1B2 A2B1 B1C2 B2C1 有唯一解 两条直线有 个交点 相交 A1B2 A2B1 有无数个解 两条直线有 个交点 重合 A1B2 A2B1 B2C1 B1C2 一 选择题 1 直线 l1 1 x y 2 与直线 l2 x 1 y 3 的位置关系是 22 A 平行 B 相交 C 垂直 D 重合 2 经过直线 2x y 4 0 与 x y 5 0 的交点 且垂直于直线 x 2y 0 的直线的方 程是 A 2x y 8 0 B 2x y 8 0 C 2x y 8 0 D 2x y 8 0 3 直线 ax 2y 8 0 4x 3y 10 和 2x y 10 相交于一点 则 a 的值为 A 1 B 1 C 2 D 2 4 两条直线 l1 2x 3y m 0 与 l2 x my 12 0 的交点在 y 轴上 那么 m 的值为 A 24 B 6 C 6 D 以上答案均不对 5 已知直线 l1 x m2y 6 0 l2 m 2 x 3my 2m 0 l1 l2 则 m 的值是 A m 3 B m 0 C m 0 或 m 3 D m 0 或 m 1 6 直线 l 与两直线 y 1 和 x y 7 0 分别交于 A B 两点 若线段 AB 的中点为 M 1 1 则直线 l 的斜率为 A B C D 3 2 2 3 3 2 2 3 二 填空题 7 若集合 x y x y 2 0 且 x 2y 4 0 x y y 3x b 则 b 8 已知直线 l 过直线 l1 3x 5y 10 0 和 l2 x y 1 0 的交点 且平行于 l3 x 2y 5 0 则直线 l 的方程是 9 当 a 取不同实数时 直线 2 a x a 1 y 3a 0 恒过一个定点 这个定点的坐标 为 三 解答题 10 求经过两直线 2x y 8 0 与 x 2y 1 0 的交点 且在 y 轴上的截距为 x 轴上 截距的两倍的直线 l 的方程 11 已知 ABC 的三边 BC CA AB 的中点分别是 D 2 3 E 3 1 F 1 2 先画出这个三角形 再求出三个顶点的坐标 能力提升 12 在 ABC 中 BC 边上的高所在直线的方程为 x 2y 1 0 A 的角平分线所在 直线的方程为 y 0 若点 B 的坐标为 1 2 求点 A 和点 C 的坐标 13 一束平行光线从原点 O 0 0 出发 经过直线 l 8x 6y 25 反射后通过点 P 4 3 求反射光线与直线 l 的交点坐标 1 过定点 x0 y0 的直线系方程 y y0 k x x0 是过定点 x0 y0 的直线系方程 但不含直线 x x0 A x x0 B y y0 0 是过定点 x0 y0 的一切直线方程 2 与直线 Ax By C 0 平行的直线系方程为 Ax By D 0 D C 与 y kx b 平 行的直线系方程为 y kx m m b 3 过两条直线交点的直线系方程 过两条直线 l1 A1x B1y C1 0 l2 A2x B2y C2 0 交点的直线系方程是 A1x B1y C1 A2x B2y C2 0 R 但此方程中不含 l2 一般形式是 m A1x B1y C1 n A2x B2y C2 0 m2 n2 0 是过 l1与 l2交点的所有直线方程 3 3 直线的交点坐标与距离公式直线的交点坐标与距离公式 3 3 1 两条直线的交点坐标两条直线的交点坐标 答案答案 知识梳理 1 相交 x0 y0 2 无 1 无数 作业设计 1 A 化成斜截式方程 斜率相等 截距不等 2 A 首先解得交点坐标为 1 6 再根据垂直关系得斜率为 2 可得方程 y 6 2 x 1 即 2x y 8 0 3 B 首先联立Error 解得交点坐标为 4 2 代入方程 ax 2y 8 0 得 a 1 4 C 2x 3y m 0 在 y 轴上的截距为 直线 x my 12 0 在 y 轴上的截距为 m 3 12 m 由 得 m 6 12 m m 3 5 D l1 l2 则 1 3m m 2 m2 解得 m 0 或 m 1 或 m 3 又当 m 3 时 l1与 l2重合 故 m 0 或 m 1 6 D 设直线 l 与直线 y 1 的交点为 A x1 1 直线 l 与直线 x y 7 0 的交点为 B x2 y2 因为 M 1 1 为 AB 的中点 所以 1 即 y2 3 代入直线 1 y2 2 x y 7 0 得 x2 4 因为点 B M 都在直线 l 上 所以 kl 故选 D 3 1 4 1 2 3 7 2 解析 首先解得方程组Error 的解为Error 代入直线 y 3x b 得 b 2 8 8x 16y 21 0 9 1 2 解析 直线方程可写成 a x y 3 2x y 0 则该直线系必过直线 x y 3 0 与直 线 2x y 0 的交点 即 1 2 10 解 1 2x y 8 0 在 x 轴 y 轴上的截距分别是 4 和 8 符合题意 2 当 l 的方程不是 2x y 8 0 时 设 l x 2y 1 2x y 8 0 即 1 2 x 2 y 1 8 0 据题意 1 2 0 2 0 令 x 0 得 y 令 y 0 得 x 1 8 2 1 8 1 2 2 解之得 此时 y x 1 8 2 1 8 1 2 1 8 2 3 所求直线方程为 2x y 8 0 或 y x 2 3 11 解 如图 过 D E F 分别作 EF FD DE 的平行线 作出这些平行线的交点 就是 ABC 的三个顶点 A B C 由已知得 直线 DE 的斜率 kDE 所以 kAB 1 3 3 2 4 5 4 5 因为直线 AB 过点 F 所以直线 AB 的方程为 y 2 x 1 即 4x 5y 14 0 4 5 由于直线 AC 经过点 E 3 1 且平行于 DF 同理可得直线 AC 的方程 5x y 14 0 联立 解得点 A 的坐标是 4 6 同样 可以求得点 B C 的坐标分别是 6 2 2 4 因此 ABC 的三个顶点是 A 4 6 B 6 2 C 2 4 12 解 如图所示 由已知 A 应是 BC 边上的高线所在直线与 A 的角平分线所在直线的交 点 由Error 得Error 故 A 1 0 又 A 的角平分线为 x 轴 故 kAC kAB 1 也可得 B 关于 y 0 的对称点 1 2 AC 方程为 y x 1 又 kBC 2 BC 的方程为 y 2 2 x 1 由Error 得Error 故 C 点坐标为 5 6 13 解 设原点关于 l 的对称点 A 的坐标为 a b 由直线 OA 与 l 垂直和线段 AO 的 中点在 l 上得 Error 解得Error A 的坐标为 4 3 反射光线的反向延长线过 A 4 3 又由反射光线过 P 4 3 两点纵坐标相等 故反射光线所在直线方程为 y 3 由方程组Error 解得Error 反射光线与直线 l 的交点坐标为 7 8 3 3 3 2 两点间的距离两点间的距离 课时目标 1 理解并掌握平面上两点之间的距离公式的推导方法 2 能熟练应 用两点间的距离公式解决有关问题 进一步体会解析法的思想 1 若平面上两点 P1 P2的坐标分别为 P1 x1 y1 P2 x2 y2 则 P1 P2两点间的距 离公式为 P1P2 特别地 原点 O 0 0 与任一点 P x y 的距离为 OP 2 用坐标法 解析法 解题的基本步骤可以概括为 第一步 第二步 第三步 一 选择题 1 已知点 A 3 4 和 B 0 b 且 AB 5 则 b 等于 A 0 或 8 B 0 或 8 C 0 或 6 D 0 或 6 2 以 A 1 5 B 5 1 C 9 9 为顶点的三角形是 A 等边三角形 B 等腰三角形 C 直角三角形 D 无法确定 3 设点 A 在 x 轴上 点 B 在 y 轴上 AB 的中点是 P 2 1 则 AB 等于 A 5 B 4 2 C 2 D 2 510 4 已知点 A 1 2 B 3 1 则到 A B 两点距离相等的点的坐标满足的条件是 A 4x 2y 5 B 4x 2y 5 C x 2y 5 D x 2y 5 5 已知 A 3 8 B 2 2 在 x 轴上有一点 M 使得 MA MB 最短 则点 M 的坐标 是 A 1 0 B 1 0 C D 22 5 0 0 22 5 6 设 A B 是 x 轴上两点 点 P 的横坐标为 2 且 PA PB 若直线 PA 的方程为 x y 1 0 则直线 PB 的方程为 A x y 5 0 B 2x y 1 0 C 2y x 4 0 D 2x y 7 0 二 填空题 7 已知点 A x 5 关于点 C 1 y 的对称点是 B 2 3 则点 P x y 到原点的距离 是 8 点 M 到 x 轴和到点 N 4 2 的距离都等于 10 则点 M 的坐标为 9 等腰 ABC 的顶点是 A 3 0 底边长 BC 4 BC 边的中点是 D 5 4 则此三角形 的腰长为 三 解答题 10 已知直线 l y 2x 6 和点 A 1 1 过点 A 作直线 l1与直线 l 相交于 B 点 且 AB 5 求直线 l1的方程 11 求证 三角形的中位线长度等于底边长度的一半 能力提升 12 求函数 y 的最小值 x2 8x 20 x2 1 13 求证 2 x2 y2x2 1 y 2 1 x 2 y2 1 x 2 1 y 22 1 坐标平面内两点间的距离公式 是解析几何中的最基本最重要的公式之一 利用它 可以求平面上任意两个已知点间的距离 反过来 已知两点间的距离也可以根据条件求其 中一个点的坐标 2 平面几何中与线段长有关的定理和重要结论 可以用解析法来证明 用解析法解题 时 由于平面图形的几何性质是不依赖于平面直角坐标系的建立而改变的 但不同的平面 直角坐标系会使计算有繁简之分 因此在建立直角坐标系时必须 避繁就简 3 3 2 两点间的距离两点间的距离 答案答案 知识梳理 1 x2 x1 2 y2 y1 2x2 y2 2 建立坐标系 用坐标表示有关的量 进行有关代数运算 把代数运算结果 翻译 成几何关系 作业设计 1 A 由 5 解得 b 0 或 8 3 2 4 b 2 2 B 3 C 设 A a 0 B 0 b 则 2 1 a 2 b 2 解得 a 4 b 2 AB 2 5 4 B 设到 A B 距离相等的点 P x y 则由 PA PB 得 4x 2y 5 5 B 如图 A 关于 x 轴对称点为 A 3 8 则 A B 与 x 轴的交点即为 M 求得 M 坐标为 1 0 6 A 由已知得 A 1 0 P 2 3 由 PA PB 得 B 5 0 由两点式得直线 PB 的 方程为 x y 5 0 7 17 解析 由题意知Error 解得Error d 42 1217 8 2 10 或 10 10 解析 设 M x y 则 y 10 x 4 2 y 2 2 解得Error 或Error 9 2 6 解析 BD BC 2 1 2 AD 2 在 Rt ADB 中 5 3 2 4 0 25 由勾股定理得腰长 AB 2 22 2 5 26 10 解 由于 B 在 l 上 可设 B 点坐标为 x0 2x0 6 由 AB 2 x0 1 2 2x0 7 2 25 化简得 x 6x0 5 0 解得 x0 1 或 5 2 0 当 x0 1 时 AB 方程为 x 1 当 x0 5 时 AB 方程为 3x 4y 1 0 综上 直线 l1的方程为 x 1 或 3x 4y 1 0 11 证明 如图所示 D E 分别为边 AC 和 BC 的中点 以 A 为原点 边 AB 所在直线为 x 轴建 立平面直角坐标系 设 A 0 0 B c 0 C m n 则 AB c 又由中点坐标公式 可得 D E m 2 n 2 c m 2 n 2 所以 DE c m 2 m 2 c 2 所以 DE AB 1 2 即三角形的中位线长度等于底边长度的一半 12 解 原式可化为 y x 4 2 0 2 2 x 0 2 0 1 2 考虑两点间的距离公式 如图所示 令 A 4 2 B 0 1 P x 0 则上述问题可转化为 在 x 轴上求一点 P x 0 使得 PA PB 最小 作点 A 4 2 关于 x 轴的对称点 A 4 2 由图可直观得出 PA PB PA PB A B 故 PA PB 的最小值为 A B 的长度 由两点间的距离公式可得 A B 5 42 2 1 2 所以函数 y 的最小值为 5 x2 8x 20 x2 1 13 证明 如图所示 设点 O 0 0 A x y B 1 0 C 1 1 D 0 1 则原不等式左边 OA AD AB AC OA AC OC AB AD BD 22 OA AD AB AC 2 当且仅当 A 是 OC 与 BD 的交点时等号成立 故原不 2 等式成立 3 3 3 点到直线的距离点到直线的距离 3 3 4 两条平行直线间的距离两条平行直线间的距离 课时目标 1 会应用点到直线的距离公式求点到直线的距离 2 掌握两条平行 直线间的距离公式并会应用 3 能综合应用平行与垂直的关系解决有关距离问题 点到直线的距离两条平行直线间的距离 定义 点到直线的垂 线段的长度 夹在两条平行直 线间 的长 图示 公式 或求法 点 P x0 y0 到直线 l Ax By C 0 的距离 d 两条平行直线 l1 Ax By C1 0 与 l2 Ax By C2 0 之间的距离 d 一 选择题 1 点 2 3 到直线 y 1 的距离为 A 1 B 1 C 0 D 2 2 原点到直线 3x 4y 26 0 的距离是 A B C D 26 7 7 26 5 24 5 27 5 3 点 P x y 在直线 x y 4 0 上 O 是原点 则 OP 的最小值是 A B 2 C D 2 1026 4 P Q 分别为 3x 4y 12 0 与 6x 8y 6 0 上任一点 则 PQ 的最小