第二章代数式与中考

第二章第二章 代数式与中考代数式与中考 中考要求及命题趋势中考要求及命题趋势 1 掌握整式的有关知识 包括代数式 同类项 单项式 多项式等 2 熟练地进行整式的四则运算 幂的运算性质以及乘法公式要熟练掌握 灵活运用 3 熟练运用提公因式法及公式法进行分解因式 4 了解分式的有关概念式的基本性质 5 熟练进行分式的加 减 乘 除 乘方的运算和应用 2010 年中考整式的有关知识及 整式的四则运算仍然会 以填空 选 择和解答题的形式出现 乘法公式 因式分解正逐步渗透到综合题 中去进 行考查 数与似的应用题 将是今后中考的一个热点 分式 的概念及 性质 运算仍是考查 的重点 特别注意 分式的应用题 即要 熟悉背景 材料 又要从实际问题中抽象出数学模型 应试对策应试对策 掌握整式 的有关概念及 运算法则 在运算过程中注意 运算顺序 掌 握运算规律 掌握乘法 公式并能灵活运用 在实际问题中 抽象的代数式 以及代数式的应用题值得重视 要掌握并灵活运用分式的基本性质 在通分 和约分 时 都要注意分解因式知识的应用 化解 求殖题 一要注意 整体思 想 二要注意解题技巧 对于分式的应用题 要能从实际问题中抽象出数学 模型 第一讲第一讲 整整 式式 回顾与思考回顾与思考 知识点知识点 代数式 代数式的值 整式 同类项 合并同类项 去括号与去括号法则 幂的运算法则 整式的加减乘除乘方运算法则 乘法公式 正整数指数幂 零指数幂 负整数指数幂 大纲要求大纲要求 1 了解代数式的概念 会列简单的代数式 理解代数式的值的概念 能正 确地求出代数式的值 2 理解整式 单项式 多项式的概念 会把多项式按字母的降幂 或升幂 排列 理解同类项的概念 会合并同类项 3 掌握同底数幂的乘法和除法 幂的乘方和积的乘方运算法则 并能熟练 地进行数字指数幂的运算 4 能熟练地运用乘法公式 平方差公式 完全平方公式及 x a x b x2 a b x ab 进行运算 5 掌握整式的加减乘除乘方运算 会进行整式的加减乘除乘方的简单混合 运算 考查重点考查重点 1 1 代数式的有关概念 代数式的有关概念 1 代数式 代数式是由运算符号 加 减 乘 除 乘方 开方 把数 或表示数的字母连结而成的式子 单独的一个数或者一个字母也是代数式 2 代数式的值 用数值代替代数式里的字母 计算后所得的结果 p 叫 做代数式的值 求代数式的值可以直接代入 计算 如果给出的代数式可以化简 要先 化简再求值 3 代数式的分类 2 2 整式的有关概念 整式的有关概念 1 单项式 只含有数与字母的积的代数式叫做单项式 对于给出的单项式 要注意分析它的系数是什么 含有哪些字母 各个 字母的指数分别是什么 2 多项式 几个单项式的和 叫做多项式 对于给出的多项式 要注意分析它是几次几项式 各项是什么 对各 项再像分析单项式那样来分析 3 多项式的降幂排列与升幂排列 把一个多项式技某一个字母的指数从大列小的顺序排列起来 叫做把这 个多项式按这个字母降幂排列 把 个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺斤排列起来 叫做把这 个多项式技这个字母升幂排列 给出一个多项式 要会根据要求对它进行降幂排列或升幂排列 4 同类项 所含字母相同 并且相同字母的指数也分别相同的项 叫做同类顷 要会判断给出的项是否同类项 知道同类项可以合并 即 其中的 X 可以代表单项式中的字母部分 代表其他式子 xbabxax 3 3 整式的运算 整式的运算 1 整式的加减 几个整式相加减 通常用括号把每一个整式括起来 再用加减号连接 整式加减的一般步骤是 i 如果遇到括号 按去括号法则先去括号 括号前是 十 号 把括 号和它前面的 号去掉 括号里各项都不变符号 括号前是 一 号 把括号和它前面的 一 号去掉 括号里各项都改变符号 ii 合并同类项 同类项的系数相加 所得的结果作为系数 字母和 字母的指数不变 2 整式的乘除 单项式相乘 除 把它们的系数 相同字母分别相乘 除 对于只在一个单项式 被除式 里含有的字母 则连同它的指数作为积 商 的一个因式相同字母相乘 除 要用到同底数幂的运算性质 0 是整数 是整数 nmaaaa nmaaa nmnm nmnm 多项式乘 除 以单项式 先把这个多项式的每一项乘 除 以这个单项式 再把所得的积 商 相加 多项式与多项式相乘 先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每 一项 再把所得的积相加 遇到特殊形式的多项式乘法 还可以直接算 2 3322 22 22 2 babababa bababa bababa abxbaxbxax 3 整式的乘方 单项式乘方 把系数乘方 作为结果的系数 再把乘方的次数与字母的 指数分别相乘所得的幂作为结果的因式 单项式的乘方要用到幂的乘方性质与积的乘方性质 是整数 是整数 nbaab nmaa nnn mnnm 多项式的乘方只涉及 222 2 2222 222 cabcabcbacba bababa 例题经典例题经典 代数式的有关概念代数式的有关概念 例 1 日照市 已知 1 b 0 0 a 1 那么在代数式 a b a b a b2 a2 b 中 对任意的a b 对应的代数式的值最大的是 A a b B a b C a b2 D a2 b 评析 本题一改将数值代人求值的面貌 要求学生有良好的数感 选 B 同类项的概念同类项的概念 例 1 若单项式 2am 2nbn 2m 2与 a5b7是同类项 求 nm的值 点评 考查同类项的概念 由同类项定义可得 解出即可 25 227 mn nm 例 2 05 宝应 一套住房的平面图如右图所示 其中卫生间 厨房的面积和 是 A 4xy 3xy 2xy xy 评析 本题是一道数形结合题 考查了平面图形的面积 的计算 合并同类项等知识 同时又隐含着对代数式的 理解 选 B 幂的运算性质幂的运算性质 例 1 1 am an m n 都是正整数 2 am an a 0 m n 都是正整数 且 m n 特别地 a0 1 a 0 a p a 0 p 是正 1 p a 整数 3 am n m n 都是正整数 4 ab n n 是正整数 5 平方差公式 a b a b 6 完全平方公式 a b 2 点评 能够熟练掌握公式进行运算 例 2 下列各式计算正确的是 A a5 2 a7 B 2x 2 c 4a3 2a2 8a6 D a8 a2 a6 x2 1 分析 考查学生对幂的运算性质及同类项法则的掌握情况 答案 D 例 3 下列各式中 运算正确的是 A a2a3 a6 B a 2b 2 a 2b 2 c a b O D baba ba 1 22 31 31 2 分析 考查学生对幂的运算性质 答案 B 例 4 泰州市 下列运算正确的是 A B 2x 3 2x3 532 aaa C a b a b a2 2ab b2 D 283 2 评析 本题意在考查学生幂的运算法则 整式的乘法 二次根式的运算等的 掌握情况 选 D 整式的化简与运算整式的化简与运算 例 5 计算 9xy x2y 3 1 2006 年江苏省 先化简 再求值 x y 2 x y x y 2x 其中 x 3 y 1 5 点评 本例题主要考查整式的综合运算 学生认真分析题目中的代数式结 构 灵活运用公式 才能使运算简便准确 第二讲第二讲 因式分解与分式因式分解与分式 回顾与思考回顾与思考 因式分解因式分解 知识点知识点 因式分解定义 提取公因式 应用公式法 分组分解法 二次三项式的 因式 十字相乘法 求根 因式分解一般步骤 大纲要求大纲要求 理解因式分解的概念 掌握提取公因式法 公式法 分组分解法等因式 分解方法 掌握利用二次方程求根公式分解二次二项式的方法 能把简单多 项式分解因式 考查重点与常见题型考查重点与常见题型 考查因式分解能力 在中考试题中 因式分解出现的频率很高 重点考 查的分式提取公因式 应用公式法 分组分解法及它们的综合运用 习题类 型以填空题为多 也有选择题和解答题 因式分解知识点 多项式的因式分解 就是把一个多项式化为几个整式的积 分解因式要 进行到每一个因式都不能再分解为止 分解因式的常用方法有 1 提公因式法 如多项式 cbamcmbmam 其中 m 叫做这个多项式各项的公因式 m 既可以是一个单项式 也可以是 一个多项式 2 运用公式法 即用 写出结果 2 2233 222 22 babababa bababa bababa 3 十字相乘法 对于二次项系数为 l 的二次三项式 寻找满足 ab q a b p 的 2 qpxx a b 如有 则对于一般的二次三项式 2 bxaxqpxx 寻找满足 a1a2 a c1c2 c a1c2 a2c1 b 的 0 2 acbxax a1 a2 c1 c2 如有 2211 2 cxacxacbxax 4 分组分解法 把各项适当分组 先使分解因式能分组进行 再使分解因 式在各组之间进行 分组时要用到添括号 括号前面是 号 括到括号里的各项都不变 符号 括号前面是 号 括到括号里的各项都改变符号 5 求根公式法 如果有两个根 X1 X2 那么 0 0 2 acbxax 21 2 xxxxacbxax 例题经典例题经典 掌握因式分解的概念及方法掌握因式分解的概念及方法 例 1 分解因式 x3 x2 2006 年绵阳市 x2 81 2005 年泉州市 x2 2x 1 a2 a 1 4 2006 年湖州市 a3 2a2 a 点评 运用提公因式法 公式法及两种方法的综合来解答即可 例 2 把式子 x2 y2 x y 分解因式的结果是 分析 考查运用提公因式法进行分解因式 答案 x y x y 1 例 3 分解因式 a2 4a 4 分析 考查运用公式法分解因式 答案 a 2 2 分分 式式 知识点 分式 分式的基本性质 最简分式 分式的运算 零指数 负整数 整 数 整数指数幂的运算 大纲要求 了解分式的概念 会确定使分式有意义的分式中字母的取值范围 掌握 分式的基本性质 会约分 通分 会进行简单的分式的加减乘除乘方的运算 掌握指数指数幂的运算 考查重点与常见题型 1 考查整数指数幂的运算 零运算 有关习题经常出现在选择题中 如 下列运算正确的是 A 40 1 B 2 1 C 3m n 2 9m n D a b 1 a 1 b 1 1 2 2 考查分式的化简求值 在中考题中 经常出现分式的计算就或化简求值 有关习题多为中档的解答题 注意解答有关习题时 要按照试题的要求 先 化简后求值 化简要认真仔细 如 化简并求值 2 其中 x cos30 y sin90 x x y 2 x3 y3 x2 xy y2 2x 2 x y 知识要点 1 分式的有关概念 设 A B 表示两个整式 如果 B 中含有字母 式子就叫做分式 注意 B A 分母 B 的值不能为零 否则分式没有意义 分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式 如果分子分母有公因式 要进行约分化简 2 分式的基本性质 M 为不等于零的整式 MB MA B A MB MA B A 3 分式的运算 分式的运算法则与分数的运算法则类似 异分母相加 先通分 bd bcad d c b a bc ad c d b a d c b a bd ac d c b a n n n b a b a 4 零指数 0 1 0 aa 5 负整数指数 0 1 为正整数pa a a p p 注意正整数幂的运算性质 nnn mnnm nmnm nmnm baab aa aaaa aaa 0 可以推广到整数指数幂 也就是上述等式中的 m n 可以是 O 或负整数 熟练掌握分式的概念 性质及运算熟练掌握分式的概念 性质及运算 例 4 1 若分式的值是零 则 x 2 3 3 x x 点评 分式值为 0 的条件是 有意义且分子为 0 2 同时使分式有意义 又使分式无意义的 x 的 2 5 68 x xx 2 2 3 1 9 xx x 取值范围是 A x 4 且 x 2 B x 4 或 x 2 C x 4 D x 2 3 如果把分式中的 x 和 y 都扩大 10 倍 那么分式的值 2xy x A 扩大 10 倍 B 缩小 10 倍 C 不变 D 扩大 2 倍 例 5 化简 的结果是 22 x x x x x x 2 4 分析 考查分式的混合运算 根据分式的性质和运算法则 答案 2 1 x 例 6 已知 a 求的值 32 1 aa aa a aa 2 22 12 1 21 分析 考查分式的四则运算 根据分式的性质和运算法则 分解因式进行化 简 答案 a 2 1 原式 a 1 3 3 例 7 已知 a 4 0 计算的值9 b 22 2 2 2 ba aba b aba 答案 由条件 得 a 4 0 且 b 9 0 a 4 b 9 原式 a2 b2 当 a 4 6 9 时 原式 16 81 例 8 计算 x y x y 的正确结果是 yx xy 4 yx xy 4 A y2 x2 B x2 y2 c x2 4y2 D 4x2 y2 分析 考查分式的通分及四则运算 答案 B 因式分解与分式化简综合应用因式分解与分式化简综合应用 例 1 2006 年常德市 先化简代数式 然后选取一 22 121 111 xx xxx 个使原式有意义的 x 的值代入求值 点评 注意代入的数值不能使原分式分母为零 否则无意义 例 2 05 河南 有一道题 先化简 再求值 4 1 4 4 2 2 22 xx x x x 其中 小玲做题时把 错抄成了 但她的3 x3 x3 x 计算结果也是正确的 请你解释这是怎么回事 点评 化简可发现结果是 因此无论还是其计算结4 2 x3 x3 x 果都是 7 可见现在的考试特别重视应用和理解 第三讲第三讲 数的开方与二次根式数的开方与二次根式 回顾与思考回顾与思考 知识点知识点 平方根 立方根 算术平方根 二次根式 二次根式性质 最简二次根式 同类二次根式 二次根式运算 分母有理化 大纲要求大纲要求 1 理解平方根 立方根 算术平方根的概念 会用根号表示数的平方根 立方根和算术平方根 会求实数的平方根 算术平方根和立方根 包括利用 计算器及查表 2 了解二次根式 最简二次根式 同类二次根式的概念 会辨别最简二 次根式和同类二次根式 掌握二次根式的性质 会化简简单的二次根式 能 根据指定字母的取值范围将二次根式化简 3 掌握二次根式的运算法则 能进行二次根式的加减乘除四则运算 会 进行简单的分母有理化 内容分析 1 二次根式的有关概念 1 二次根式 式子叫做二次根式 注意被开方数只能是正数或 O 0 aa 2 最简二次根式 被开方数所含因数是整数 因式是整式 不含能开得尽方的因数或因式 的二次根式 叫做最简二次根式 3 同类二次根式 化成最简二次根式后 被开方数相同的二次根式 叫做同类二次根式 2 二次根式的性质 0 0 0 0 0 0 0 2 2 ba b a b a babaab aa aa aa aaa 3 二次根式的运算 1 二次根式的加减 二次根式相加减 先把各个二次根式化成最简二次根式 再把同类三次 根式分别合并 2 三次根式的乘法 二次根式相乘 等于各个因式的被开方数的积的算术平方根 即 0 0 baabba