平面向量的线性运算.ppt

7 2平面向量的线性运算 复习回顾 1 向量 既有大小又有方向的量叫做向量 2 平行向量 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量 3 相等向量 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量 节引言 数能进行运算 因为有了运算而使数的威力无穷 与数的运算类比 向量是否也能进行运算呢 人们从向量的物理背景和数的运算中得到启发 引进了向量的运算 下面我们学习向量的线性运算 一 向量加法运算及其几何意义 向量加法运算及其几何意义 例如 某对象从A点走到B点 日常生活中遇到的向量加法问题 然后从B点走到C点 思考 这个人所走过的位移是多少 A B C 分析 由物理知识可以知道 从A点到B点然后到C点的合位移 就是从A点到C点的位移 向量加法运算及其几何意义 E O O E 思考 合力F与力F1 F2有怎样的关系 力F在以F1 F2为邻边的平行四边形的对角线上 并且大小等于平行四边形对角线的长 向量加法运算及其几何意义 E O O E 探究 橡皮条在力F1与F2的作用下 从E点伸长到了O点 同时橡皮条在力F的作用下也从E点伸长到了O点 F1 F2 F 力F对橡皮条产生的效果 与力F1和F2共同作用产生的效果相同 物理学中把力F叫做F1和F2的合力 向量加法运算及其几何意义 向量加法的定义 我们把求两个向量和的运算 叫做向量的加法 叫做的和 两个向量的和仍然是一个向量 向量加法运算及其几何意义 首尾相接 首尾连 向量加法的三角形法则 位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型 向量加法运算及其几何意义 向量加法的平行四边形法则 起点相同 连对角 力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型 向量加法运算及其几何意义 例1 如图 已知向量 求作向量 则 作法1 在平面内任取一点O 作 例题讲解 o A B o A B C 作法2 在平面内任取一点O 作 连结OC 则 向量加法运算及其几何意义 思考 如图 当在数轴上表示两个共线向量时 它们的加法与数的加法有什么关系 1 2 B C B C 向量加法运算及其几何意义 1 2 4 课堂练习 一 用三角形法则求向量的和 2 二 用平行四边形法则求向量的和 向量加法运算及其几何意义 数的加法满足交换律与结合律 即对任意a b R 有a b b a a b c a b c 任意向量的加法是否也满足交换律与结合律 探究 C A B D 向量加法运算及其几何意义 向量的加法满足交换律和结合律 结论 向量加法运算及其几何意义 例2 长江两岸之间没有大桥的地方 常常通过轮渡进行运输 一艘船从长江南岸A点出发 以5km h的速度向垂直于对岸的方向行驶 同时江水的速度为向东2km h 1 试用向量表示江水速度 船速以及船实际航行的速度 保留两个有效数字 2 求船实际航行的速度的大小和方向 用与江水速度间的夹角表示 精确到度 学以致用 向量加法运算及其几何意义 解 如图 设表示水流的速度 表示渡船的速度 表示渡船实际过江的速度 由平行四边形法则可以得到 5 4 答 船实际航行速度的大小约为5 4km h 方向与水的流速间的夹角约为680 分析 向量加法在实际生活中的应用 本例应解决的问题是向量模的大小及向量的方向 向量加法运算及其几何意义 变式 在静水中船速为20m min 水流速度为10m min 若船从岸边出发 垂直于水流航线到达对岸的 问船行进的方向是 向量表示静水流速 表示船行进方向 表示船实际行走路线 垂直于水流方向 所以 DAC即为所求 方向与水的流速间的夹角为120o 向量加法运算及其几何意义 课堂练习 A B C D E 1 根据图示填空 14 1 相反向量 规定 1 3 设互为相反向量 那么 二 向量的减法运算及其几何意义 记作 的相反向量仍是 2 向量的减法 2 设 D E 又 所以 你能利用我们学过的向量的加法法则作出吗 不借助向量的加法法则你能直接作出吗 3 几何意义 可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量 1 如果从的终点指向终点作向量 所得向量是什么呢 2 当 共线时 怎样作呢 A B O A B O 一般地 B A O 三角形法则 练习 已知向量 求作向量 例3 O B A C D 作法 在平面内任取一点O 则 作 注意 起点相同 连接终点 指向被减向量的终点 练习 已知向量 求作向量 1 2 3 4 例4 在ABCD中 你能用表示吗 D B A C 变式二本例中 当满足什么条件时 巩固练习 1 在中 则 2 如图 用表示下列向量 D B A C E B A C 学习 向量数乘运算 1 向量的数乘运算的定义 注意 比较两个向量时 主要看它们的长度和方向 三 向量数乘运算及其几何意义 1 根据定义 求作向量3 2a 和 6a a为非零向量 并进行比较 2 已知向量a b 求作向量2 a b 和2a 2b 并进行比较 向量的数乘运算的定义 你能说出向量数乘运算的几何意义吗 数乘向量的几何意义就是把向量沿的方向或反方向放大或缩短 若 当沿的方向放大了倍 当沿的方向缩短了倍 当 沿的反方向放大了倍 当沿的反方向缩短了倍 由其几何意义可以看出用数乘向量能解决几何中的相似问题 2 数乘向量的几何意义 3 向量的数乘运算满足如下运算律 向量的加 减 数乘运算统称为向量的线性运算 例1 计算下列各式 例4 若其中 是已知向量 求 分析 此题可把已知条件看作向量的方程 通过解方程组获得 解 记 3 得 得 概念辨析 线性运算练习 向量共线定理 思考 1 为什么要是非零向量 2 可以是零向量吗 归纳小结 1 一个概念 向量的加法2 两个法则 向量加法的三角形法则和平行四边形法则3 两条运算律 向量加法的交换