矩阵论20111021

3 求矩阵 52 21 40 21 4 2 01 50 02 的杜利特分解与克劳特分解 解 杜利特分解程序如下 function L U LU Doolittle A r c size A L eye r c U zeros r c for j 1 c for i 1 j U i j A i j for k 1 i 1 U i j U i j L i k U k j end end for i j 1 r L i j A i j for k 1 j 1 L i j L i j L i k U k j end L i j L i j U j j end end 测试数据 A 5 2 4 0 2 1 2 1 4 2 5 0 0 1 0 2 测试结果 L U LU Doolittle A L 1 0000 0 0 0 0 4000 1 0000 0 0 0 8000 2 0000 1 0000 0 0 5 0000 2 0000 1 0000 U 5 0000 2 0000 4 0000 0 0 0 2000 0 4000 1 0000 0 0 1 0000 2 0000 0 0 0 7 0000 克劳特分解程序如下 function L U LU Crout A r c size A L zeros r c U eye r c for i 1 r for j 1 i L i j A i j for k 1 j 1 L i j L i j L i k U k j end end for j i 1 c U i j A i j for k 1 i 1 U i j U i j L i k U k j end U i j U i j L i i end end 测试数据 A 5 2 4 0 2 1 2 1 4 2 5 0 0 1 0 2 测试结果 L U LU Crout A L 5 0000 0 0 0 2 0000 0 2000 0 0 4 0000 0 4000 1 0000 0 0 1 0000 2 0000 7 0000 U 1 0000 0 4000 0 8000 0 0 1 0000 2 0000 5 0000 0 0 1 0000 2 0000 0 0 0 1 0000 4 求对称正定矩阵求对称正定矩阵 52 4 2 1 2 4 25 的不带平方根的乔累斯基分解的不带平方根的乔累斯基分解 解 不带平方根乔累斯基分解程序如下 function L D LD Cholesky noSqrt A r c size A L zeros r c D zeros r c for i 1 r for j 1 i L i j A i j for k 1 j 1 L i j L i j L i k L j k L k k end end end for i 1 r D i i 1 L i i end 测试数据 A 5 2 4 2 1 2 4 2 5 测试结果 L D LD Cholesky noSqrt A L 5 0000 0 0 2 0000 0 2000 0 4 0000 0 4000 1 0000 D 0 2000 0 0 0 5 0000 0 0 0 1 0000 5 对下列矩阵进行对下列矩阵进行 LDU 分解分解 1 2 10 01 20 00 20 00 11 11 12 2 1 3 1 9 7 34 4 1 319 6 21 其中其中 L 为单位下三角矩阵 为单位下三角矩阵 D 为对角矩阵 为对角矩阵 U 为单位上三角矩阵为单位上三角矩阵 解 LDU 分解程序如下 function L D U LDU A r c size A L U LU Doolittle A D zeros r c for i 1 r D i i U i i U i i 1 if D i i 0 for j i 1 c U i j U i j D i i end end end 测试数据 1 A 1 0 2 0 0 1 0 0 2 0 1 1 0 0 1 1 测试结果 1 L D U LDU A L 1 0000 0 0 0 0 1 0000 0 0 2 0000 0 1 0000 0 0 0 0 2000 1 0000 D 1 0000 0 0 0 0 1 0000 0 0 0 0 5 0000 0 0 0 0 1 2000 U 1 0000 0 2 0000 0 0 1 0000 0 0 0 0 1 0000 0 2000 0 0 0 1 0000 测试数据 2 A 1 2 3 1 2 1 9 7 3 4 3 19 4 1 6 21 测试结果 2 L D U LDU A L 1 0000 0 0 0 2 0000 1 0000 0 0 3 0000 2 0000 1 0000 0 4 0000 1 8000 0 9500 1 0000 D 1 0000 0 0 0 0 5 0000 0 0 0 0 12 0000 0 0 0 0 2 3000 U 1 0000 2 0000 3 0000 1 0000 0 1 0000 0 6000 1 0000 0 0 1 0000 0 5000 0 0 0 1 0000 11 用豪斯霍尔德变换求矩阵用豪斯霍尔德变换求矩阵 041 111 032 的的 QR 分解分解 解 豪斯霍尔德变换程序如下 function Q R QR Householder A r c size A R A Q eye r for j 1 c 1 w R j r j w 1 1 w 1 1 norm w w w norm w H eye c H j r j c eye c j 1 2 w w R H R Q H Q end Q inv Q 测试数据 A 0 4 1 1 1 1 0 3 2 测试结果 Q R QR Householder A Q 0 0000 0 8000 0 6000 1 0000 0 0000 0 0000 0 0000 0 6000 0 8000 R 1 0000 1 0000 1 0000 0 0000 5 0000 2 0000 0 0000 0 0000 1 0000 15 用吉文斯变换求矩阵用吉文斯变换求矩阵 031 04 2 212 的的 QR 分解分解 解 吉文斯变换程序如下 function Q R QR Givens A r c size A R A Q eye r Rij eye r c for j 1 c for i j 1 r if R i j 0 turn j with i Rij eye r ajj sqrt R i j R i j R j j R j j c R j j ajj s R i j ajj Rij i i c Rij j j c Rij j i s Rij i j s R Rij R Q Rij Q end end end Q