用活勾股定理

用活勾股定理 江西万安县枫林中学 廖志辉 诸如 在直角三角形中 已知两边 求另外一边 的问题 学生早已 烂熟于心 然而 在两个或多个直角三角形中 应用勾股定理解题 学生 又感到极为辣手 为此 笔者在茶余饭后 对以下问题作了些探究 以期 抛砖引玉 一 证明勾股定理的逆定理 北师大版八年级下册课本 对勾股定理的逆定理的证明 只是留给学 生自己验证 许多资料给出的证明 大多是置条件 a2 b2 c2 而不顾 因此推理欠严谨 纯属循环论证 面对初二学生 我们既不能用高深的理论 也很难用上全等三角形的 方法予以证明 那么究竟采用什么方法 勾股定理 如图 在 ABC 中 若三个内角 A B C 对应的三边分别为 a b c 且 a2 b2 c2 求证 C 90 证明 过点 A 作 AD BC 垂足为 D 设 CD x BD y 则在直角三角形 ADC 中 AD2 b2 x2 在直角三角形 ADB 中 AD2 c2 y2 C 于是 b2 x2 c2 y2 D 结合 c2 b2 a2 A B 可得 y x a 而 y x a 解 可得 x 0 y a 这意味着什么 D 与 C 重合 所以 AC BC 即 C 90 二 用于几何证明 众所周知 用代数的方法解决几何问题 是解析几何的范畴 我们用 勾股定理把三边关系框定 仍类似于解析几何之法 用起来还挺方便 例如图 E 为正方形 ABCD 的 BC 边上一点 DCG 45 GF BC 垂足为 F 连接 AE 并在 CG 上取一点 G 使 EG AE 求证 AE EG 解析 常规的证明思路是作辅助线 如连接 AC 并延长 AC 至 M 使 CM CG 连接 EM 可以想象 没有几个学生会这样作答 倘使我们运用勾 股定理 则省去了作辅助线之麻烦 请看 设 CF GF m EC x BC a 则在 直角三角形 EGF 中 m x 2 m2 EG2 A D 在直角三角形 ABE 中 a2 a x 2 AE2 又由 EG AE 得 G m2 2mx x2 m2 a2 a2 2ax x2 化简得 m x a B E C F 即 EF AB 所以直角 ABE 直角 EFG 由此易证 AEG 90 三 用于探求未知世界 问题的提出 在三角形中 是否存在三边为连续整数 且面积也为整 数 显然存在 如边长为 3 4 5 还有吗 笔者探究了边长在 200 以内 的三角形 有且仅有 4 个 即 3 4 5 13 14 15 51 52 53 193 194 195 下面验证边长为 13 14 15 的三角形 面积为 84 如图 BC 13 AC 14 AB 15 过点 C 作 AB 边上的高 CD 设 AD x BD 15 x 解 在直角三角形 ADC 中 CD2 142 x2 在直角三角形 BDC 中 CD 132 15 x 2 于是 142 132 x2 15 x 2 C 解得 x 5 42 所以 CD 22 ADAC 22 5 42 14 5 56 所以 S ABC AB CD 2 1 15 2 1 5 56 84 A D B 依上述方法进行研究 笔者发现该问题等价于 有多少个正整数 k 可使 3 k k 2 为一个完全平方式