高二数学理科期末试卷

1 高二数学 上 期末考高二数学 上 期末考 一 选择题 本小题共 10 小题 每小题 5 分 共 50 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 1 不等式的解集是 032 2 xx A B C D 1 3 3 1 3 1 1 3 2 已知平面的法向量是 平面的法向量是 若 则的值是 2 3 1 4 2 A B C 6 D 10 3 6 10 3 3 已知满足 且 那么下列选项中一定成立的是 a b ccba 0ac A B C D abac 0c ba 22 cbab 0ac ac 4 已知是由正数组成的等比数列 表示的前项的和 若 则的值是 n a n S n an 1 3a 24 144a a 10 S A 511 B 1023 C 1533 D 3069 5 下列有关命题的说法正确的是 A 命题 若 2 1x 则1 x 的否命题为 若 2 1x 则1x B 1x 是 2 560 xx 的必要不充分条件 C 命题 xR 使得 2 10 xx 的否定是 xR 均有 2 10 xx D 命题 若xy 则sinsinxy 的逆否命题为真命题 6 设为双曲线的两个焦点 点在双曲线上且 则的面积是 21 F F1 4 2 2 y x P 0 21 90 PFF 21PF F A 1 B C 2 D 2 5 5 7 已知向量 且与互相垂直 则的值是 0 1 1 a 2 0 1 b bak ba2k A 1 B C D 5 1 5 3 5 7 8 若ABC 的内角 A B C所对的边 a b c满足 22 4abc 且 0 60C 则ab 的最小值为 A 2 3 3 B 4 3 3 C 4 3 D 84 3 9 若双曲线的右焦点为 F 若过 F 且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点 22 22 1 0 0 xy ab ab 60 则此双曲线离心率的取值范围是 e A B C D 2 1 2 1 2 2 10 若抛物线的焦点是 准线是 则经过点 4 4 且与 相切的圆共有 2 4yx FlFMl A 4 个 B 2 个 C 1 个 D 0 个 二 填空题 本大题共 5 小题 每小题 4 分 满分 20 分 请把答案填在答题纸的相应位置 2 11 等差数列中 若则 n a 345 12 aaa 71 aa 12 已知则的最小值是 1 10 220 x xy xy zxy 13 已知正方体中 为的中点 则异面直线与所成角的余弦值为 1111 DCBAABCD E 11D CAEBC 14 点P是抛物线xy4 2 上一动点 则点P到点 1 0 A的距离与P到直线1 x的距离和的最小值是 15 设 n a是公比为q的等比数列 其前n项积为 n T 并满足条件0 1 1 0 1 1 100 99 100991 a a aaa 给出下列 结论 1 10 q 2 1 198 T 3 1 10199 aa 4 使1 n T成立的最小自然数n等于199 其中正确的编号为 写出所有正确的编号 三 解答题 本大题共 6 小题 共 80 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 16 本小题满分 13 分 已知数列的前项和为 且是与 2 的等差中项 n an n S n a n S 求的值 求数列 n a的通项公式 12 a a 17 本小题满分 13 分 已知 命题 函数在上单调递减 命题 关于的不等0 1aa p x axf 0 qx 式对一切的恒成立 若为假命题 为真命题 求实数的取值范围 2 1 20 4 xax xR pq pq a 18 本小题满分 13 分 在 ABC 中 a b c 分别是角 A B C 的对边 且 c ab ba ca 1 求角 B 的大小 2 若最大边的边长为 且 求最小边长 ABC 7ACsin2sin 19 本小题满分 13 分 运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶 130 千米 50 x 100 单位 千米 小时 假设 汽油的价格是每升 2 元 而汽车每小时耗油 2 升 司机的工资是每小时 14 元 x2 360 1 求这次行车总费用y关于x的表达式 2 当x为何值时 这次行车的总费用最低 并求出最低费用的值 20 本小题满分 14 分 如图 在四棱锥 P ABCD 中 PD 底面 ABCD 底面 ABCD 是正方形 PD DC E F 分别为 AB PB 的中点 1 求证 EF CD 2 求 DB 与平面 DEF 所成角的正弦值 3 在平面 PAD 内求一点 G 使 GF 平面 PCB 并证明你的结论 21 本小题满分 14 分 已知椭圆的左 右焦点分别是 0 1 2 2 2 2 ba b y a x F1 c 0 F2 c 0 Q 是椭圆外的动点 满足点 P 是线段 F1Q 与该椭圆的交点 点 T 在线段 F2Q 2 1 aQF 上 并且满足 1 设为点 P 的横坐标 证明 0 0 22 TFTFPTxx a c aPF 1 2 求点 T 的轨迹 C 的方程 3 试问 在点 T 的轨迹上 是否存在点 M 使 F1MF2的 面积 S 若存在 求 F1MF2 的正切值 若不存在 请说明理由 2 b P F D C A E B 3 高二 上 期末联考数学试卷参考答案 理科 一 选择题 1 5 BCADD 6 10 ADBDB 二 填空题 11 8 12 3 13 14 15 1 3 4 3 2 2 三 解答题 16 2 分2 n S n 解 由已知得2a 由 得 4 分 6 分 1 22S 11 2aa 2 224S 2122 2aaaa 2 解 1 2 n S n 1 2a 得 9 分数列以 2 为首项 以 2 为公比的等比数列 1 2 nn SS n 1nn 1 n 1 n 2a2aa a a n a 11 分即 13 分 1 2 22 nn n a 17 解 为真 2 分 为真 得 又 p01a q014 2 a 2 1 2 1 a0 1aa 5 分因为为假命题 为真命题 所以命题一真一假 7 分 2 1 0 apq pq p q 1 当真假 9 分 2 当假真 无解 11 分pq1 2 1 2 1 10 a a a pq 2 1 0 1 a a 综上 的取值范围是 13 分a 1 1 2 18 解 由整理得 即 2 分 c ab ba ca baabcca 222 abcac 最长边为 2 1 22 cos 222 ac ac ac bca B B0 3 2 B 3 2 Bb 为最小边 由余弦定理得 解得 ACsin2sin ac2 a 2 1 2247 22 2 aaaa1 2 a 即最小边长为 1 1 a 19 解 1 行车所用时间为 t h y 2 2 x 50 100 130 x 130 x x2 360 14 130 x 所以 这次行车总费用y关于x的表达式是y x x 50 100 2340 x 13 18 2 y x 26 当且仅当 x 即x 18时 上述不等式中等号成立 2340 x 13 1810 2340 x 13 1810 当x 18时 这次行车的总费用最低 最低费用为 26元 1010 20 面 又底面 ABCD 是正方形 PD ABCD PDDA PDDC DADC 0 0 0 0 000000 22 2 0 0 2 2 2 DADCDPxyzADa aa a DA aB aaCaE aF a a a FPa 以 所在直线为轴 轴 轴建立空间直角坐标系 设 则 P F D C A E B 4 10000 22 aa EF DCaEFDC 0 0 0 2 2 22 0 0 0 0 22 3 1 2 1 1 2 1 cos 6 26 DEFnx y z a a aa x y zxyz n DF aa n DE x y zaaxy BD na xyznBD n aBD n DBDEF 2 设平面的法向量为 由 得 取则 与平面所成角的正弦 3 6 值为 2 0 222 0 0 0 22222 0 0 0 22222 0 0 2 aaa G xzGPADFGxz aaaaa FG CBxzaa xx aaaaa FG CPxza aa zz a GGAD 3 设 则平面 点坐标为 即点为的中点 解法二 1 证明 面 又是正方形 PD ABCD PDCD ABCD ADCD 面 PDADD CD PAD CDPA E F 分别为 AB PB 的中点 故 EFPAACDEF ADOEEBAEOEFOOBD 连结的中点 证法二 取 PDFOFBFPCDOECDAD 又 PDABCDFOABCD 底面 底面 FOCD 面 面 OEOFO CD OEF EF OEF CDEF 2 2 2 11 33 1112 2422 115 3 2242 B DEFF DEBDEFDEB DEB BDEFddFO a aFOaaEFAP a DFPBaDEaa VVSS S 2 设到平面的距离为 设底面边长为 则 6 3 6 3 sin 6 1 2 1 4 1 8 6 8 6 90 4 5 4 3 4 2 22 2222222 所成角的正弦值为与平面 则所成角与平面设 DEFDB DB d DEFDBadaada aDEFDEaaaDFEF SDEF o GAD 3 答 是的中点 PCHDHPDDCDHPC 方法一 取的中点 连结 5 BCPDCBCDHDHPCB 又平面 平面 1 2 DAGGFFHHFBCDGDGFH 取中点 连结 四边形为平行四边形 DHGFGFPCB 平面 ADGPGGBGF PGDBGAPGGBFPBGFPB GOFOABCDOGADFGADFGBCFGPBC 方法二 取中点 连结 又为中点 连结底面 平面 21 解 1 证法一 设点 P 的坐标为由 P在椭圆上 得 yx yx 2 2 2 2 2222 1 x a c a x a b bcxycxPF 由 所以 3 分0 acx a c aax知 1 x a c aPF 证法二 设点 P 的坐标为记则 yx 2211 rPFrPF 22 2 22 1 ycxrycxr 由 4 2 11 2 2 2 121 x a c arPFcxrrarr 得 2 解法一 设点 T 的坐标为 当时 点 0 和点 0 在轨迹上 yx0 PTaa 当 时 由 得 又 所以 T 为线段 F2Q 的中点 0 0 2 TFPT且0 2 TFPT 2 TFPT 2 PFPQ 在 QF1F2中 所以有综上所述 点 T 的轨迹 C 的方程是aQFOT 2 1 1 222 ayx 222 ayx 解法二 设点 T 的坐标为 当时 点 0 和点 0 在轨迹上 yx0 PTaa 当 时 由 得 0 0 2 TFPT且0 2 TFPT 2 TFPT 又 所以 T 为线段 F2Q 的中点 2 PFPQ 设点 Q 的坐标为 则yx 2 2 y y cx x 因此 2 2 yy cxx 由得 aQF2 1 4 222 aycx 6 将 代入 可得 222 ayx 综上所述 点 T 的轨迹 C 的方程是 7 分 222 ayx 3 解法一 C 上存在点 M 使 S 的充要条件是 00 y x 2 b 2 2 1 2 0 22 0 2 0 byc ayx 由 得 由 得 所以 当时 存在点 M 使 S ay 0 2 0 c b y c b a 2 2 b 当时 不存在满足条件的点 M 11 分 c b a 2 当时 c b a 2 002001 yxcMFyxcMF 由 2222 0 22 021 bcaycxMFMF 212121 cos MFFMFMFMFMF 得 2 2121 sin 2 1 bMFFMFMFS 2tan 21 MFF 解法二 C 上存在点 M 使 S 的充