长春市2020届高三质量监测数学文科(一)

长春市 2020 届高三质量监测 一 文科数学 一 选择题 本题共 12 小题 每小题 5 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符 合题目要求 的 1 复数的共轭复数对应的点在 2 iz z A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 2 已知集合 则 2 2 Ax xx 或或 2 30 Bx xx AB A B 或 C 或 D 或 3 x x x2 3 x x 0 x 3 x x 2 x 3 已知等差数列的前项和为 则 n an n S 5 15S 4 5a 9 S A B C D 45635481 4 已知条件 条件 则是的 1p x 2q x pq A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 5 2019 年是新中国成立七十周年 新中国成立以来 我国文化事业得到了充分发展 尤其是党的十八大 以来 文化事业发展更加迅速 下图是从 2013 年到 2018 年六年间我国公共图书馆业机构数 个 与对 应年份编号的散点图 为便于计算 将 2013 年编号为 1 2014 年编号为 2 2018 年编号为 6 把 每年的公共图书馆业机构个数作为因变量 把年份编号从 1 到 6 作为自变量进行回归分析 得到回归 直线 其相关指数 给出下列结论 其中正确的个数是 13 7433095 7yx 2 R0 9817 公共图书馆业机构数与年份的正相关性较强 公共图书馆业机构数平均每年增加 13 743 个 可预测 2019 年公共图书馆业机构数约为 3192 个 A 0 B 1 C 2 D 3 6 已知直线与圆相切 则0 xy 22 1 2xyb b A B C 或 D 3 13 1 5 2 7 已知 则 3 1 3 a 1 3 3b 1 3 log 3c A B C D abc cba cab bca 8 已知为直线 平面 则下列说法正确的是 a b c 则 则 ab ab 则 则 ab ab A B C D 9 函数的图象 部分图象如图所示 则其解析式为2sin yx 0 2 A B 2sin 2 6 f xx 2sin 6 f xx C D 2sin 4 6 f xx 2sin 6 f xx 10 中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴 一般情况下 折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成 设扇形的面积为 圆面中剩余部分的面积为 当与的比值为时 扇面看上去形状较为 1 S 2 S 1 S 2 S 51 2 美观 那么此时扇形的圆心角的弧度数为 A B C D 35 51 51 52 11 已知是抛物线的焦点 则过作倾斜角为的直线分别交抛物线于 在轴上F 2 4yx F60 A BAx 方 两点 则的值为 AF BF A B C D 3234 12 已知函数 若存在 使得成立 则实数的取 1 0 0 x ex f x xx 0 x R 00 1 1f xm x m 值范围为 A B C D 0 1 0 0 1 1 1 0 二 填空题 本题共 4 小题 每小题 5 分 13 已知 则 1 sincos 225 sin 14 设变量满足约束条件 则的最小值等于 x y 0 34 20 xy xy x 3zxy 15 三棱锥中 平面 则三棱锥PABC PAABCABAC 10PA 2 2ABAC 的外接球球的表面积为 PABC 16 已知 的内角的对边分别为 若 ABC A B C a b c mbc ab sin sinsin nCAB 且 则 若 的面积为 则 的周长的最小值为 mn A ABC3ABC 三 解答题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第 17 21 题为必考 题 每个试题 考生都必须作答 第 22 23 题为选考题 考生根据要求作答 一 必考题 共 60 分 17 本小题满分 12 分 已知数列中 设 n a 1 2a 1 1 22n nn aa 2 n n n a b 求证 数列是等差数列 n b 求数列的前项和 1 1 nn b b n n S 18 本小题满分 12 分 环保部门要对所有的新车模型进行广泛测试 以确定它的行车里程的等级 右表是对 100 辆新车模 型在一个耗油单位内行车里程 单位 公里 的测试结果 做出上述测试结果的频率分布直方图 并指出其 中位数落在哪一组 用分层抽样的方法从行车里程在区间 38 40 与 40 42 的新车模型中任取 5 辆 并从这 5 辆 中随机抽取 2 辆 求其中恰有一个新车模型行车里程在 40 42 内的概率 19 本小题满分 12 分 在三棱柱中 平面 平面 平面两两垂直 111 ABCABC ABC 1 ACC A 11 BCC B 求证 两两垂直 1 CA CB CC 若 求三棱锥的体积 1 CACBCCa 11 BABC 20 本小题满分 12 分 已知点若点满足 1 0 1 0 MN P x y 4PMPN 求点的轨迹方程 P 过点的直线 与 中曲线相交于两点 为坐标原点 求 面积 3 0 Q l A BOAOB 的最大值及此时直线 的方程 l 21 本小题满分 12 分 设函数 1 ln x f xx x 求函数的极值 f x 若时 不等式恒成立 求实数的取值范围 0 1 x 1 ln2 1 x x ax a 二 选考题 共 10 分 请考生在 22 23 题中任选一题作答 如果多做则按所做的第一题计分 22 本小题满分 10 分 选修 4 4 坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中 直线 的参数方程为 为参数 以坐标原点为极点 xOyl 2 1 2 2 2 2 xt yt tO 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 圆的极坐标方程为 xC 2 4cos3 求直线 的普通方程和圆的直角坐标方程 lC 直线 与圆交于两点 点 求的值 lC A B 1 2 P PAPB 23 本小题满分 10 分 选修 4 5 不等式选讲 已知函数 3 1 f xxx 解关于的不等式 x 1f xx 若函数的最大值为 设 且 求的最小值 f xM0 0ab 1 1 abM ab 长春市长春市 2020 届高三质量监测 一 届高三质量监测 一 数学 文科 试题参考答案及评分参考数学 文科 试题参考答案及评分参考 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 1 C 解析 则 其对应点为 在第三象限2iz z2i 2 1 2 B 解析 2 2 Ax xx 或或 2 30 0 3 Bx xxx xx 或或 或 AB 3 x x x2 3 B 解析 由得 5 15S 3 3a 4 5a 5 7a 95 963Sa 4 B 解析 则则是的必要不充分条件 1 2 x xx x pq 5 D 解析 由图知点散布在从左下角到右上角的区域内 所以为正相关 又趋近于 1 所 2 R0 9817 以相关性较强 故 正确 由回归方程知 正确 由回归方程 当时 得估计值为 3191 9 3192 7x 故 正确 6 C 解析 由圆心到切线的距离等于半径 得 22 1 2 11 b 1 2b 13bb 或或 7 C 解析 01 1 0abc cab 8 D 解析 正确 错误 错误 正确 9 A 解析 由 由即 2sin 0 1 6 11 2sin 02 12 2sin 2 6 yx 即为解析式 f x 10 A 解析 与所在扇形圆心角的比即为它们的面积比 设与所在扇形圆心角分别为 1 S 2 S 1 S 2 S 则 又 解得 51 2 2 35 11 C 解析 1cos60 p AF 1cos60 p BF 10 5 3 10 5 AF BF 12 D 解析 如图 直线过定点 为其斜率 满足题意 当时 0 1 1ym x 1 1 P m0m 0m 直线过原点时与函数相切 此时 也满足题意 1 x ye 1m 1m 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 16 题第一空 2 分 第二空 3 分 共 20 分 13 解析 平方得 24 25 1 sincos 225 24 2sincos 2225 24 sin 25 14 解析 画出可行域如图 变形为 过点 A 2 2 z 取得最大值8 3zxy 11 33 yxz 4 过点 C 2 2 取得最小值 8 15 解析 16 2222 2 16RPAABAC 16S 16 解析 由得 6 3 mn sin sinsin sin sinsin 0m nbc abCABbcCabAB 得 0bc cab ab 222 abcbc 222 1 cos 22 bca A bc 3 A 又所以 1 sin3 2 SbcA 4bc 22222 4abcbcbc 当且仅当时等号成立 22 42426abcbcbcbcbc 2bc 三 解答题 17 本小题满分本小题满分 12 分分 命题意图 本题考查数列的相关知识 试题解析 证明 当时 2n 11 1 1 2 1 222 nnnn nn nnn aaaa bb 所以是以为 首项 为 公差的等差数列 6 分 1 1b n b11 由 可知 所以 n bn 1 111 1 nn b bnn 所以 12 分 111111 11 22311 n S nnn 18 本小题满分本小题满分 12 分分 命题意图 本题考查概率与统计的相关知识 试题解析 由题意可画出频率分布直方图如图所示 由图可知 中位数在区间 6 分 36 38 由题意 设从中选取的车辆为 从中选取的车辆为 则从这 5 38 40 A B C 40 42 a b 辆车中抽取 2 辆的所有情况有 10 种 分别为 其中符合条件的 AB AC Aa Ab BC Ba Bb Ca Cb ab 有 6 种 所以所求事件的概率为 12 分 Aa Ab Ba Bb Ca Cb 3 5 19 本小题满分本小题满分 12 分分 命题意图 本题考查立体几何的相关知识 试题解析 证明 在内取一点 作 ABC P PDAC PEBC 因为平面平面 其交线为 所以平面 ABC 11 ACC AACPD 11 ACC A 1 PDCC 同理 所以平面 1 PECC 1 CC ABC 11 CCAC CCBC 同理 故两两垂直 6 分 ACBC 1 CC AC BC 由 可知 三棱锥的高为 11 ABCB 11 ACa 所以三棱锥的体积为 12 分 1 2 1 11 22 BCB SBC BBa 11 BABC 3 1 6 a 20 本小题满分本小题满分 12 分分 0 0 02 0 04 0 06 0 08 0 10 0 12 0 14 0 16 0 18 频率 组距 30 32 34 36 38 40 42 44 46 辆 命题意图 本小题考查圆锥曲线中的最值问题等知识 试题解析 解 由定义法可得 点的轨迹为椭圆且 P24a 1c 因此椭圆的方程为 4 分 22 1 43 xy 设直线 的方程为与椭圆交于点 联立直线l3xty 22 1 43 xy 11 A x y 22 B xy 与椭圆的方程消去可得x 即 22 34 6 330tyty 12 2 6 3 34 t yy t 12 2 3 34 y y t 面积可表示为AOB 2 121212 11 3 4 22 AOB SOQyyyyy y 2222 2222 16 3332 36 3 493431 2343423434 t ttt tttt 令 则 上式可化为 2 31tu 1u 2 66 3 3 3 u u u u 当且仅当 即时等号成立 3u 6 3 t 因此面积的最大值为 此时直线 的方程为 12 分 AOB 3l 6 3 3 xy 21 本小题满分本小题满分 12 分分 命题意图 本小题考查函数与导数的相关知识 试题解析 解 令 2 分 2 1 0 x f x x 1x x 0 1 1 1 fx 0 f x 极小值 无极大值 4 分 1 2f xf 极小值 II 由题意可知 则原不等式等价于 0a 2 1 ln0 1 a x x x 令 2 1 ln 01 1 a x g xxx x 2 2 24 1 1 xa x g x x x 当时 在上单调递减 01a 2 24 10 xa x 0g x g x 0 1 成立 1 0g xg 当时 使得当时 单调递1a 2 000 0 1 24 10 xxa x 0 0 xx 0g x g x 减 当时 单调递增 故当时 不成立 0 1 xx 0g x g x 0 1 xx 1 0g xg 综上所述 12 分 01a 22 本小题满分本小题满分 10 分分 命题意图 本小题主要考查极坐标与参数方程的相关知识 试题解析 解 直线 的普通方程为 l30 xy 圆的直角坐标方程为 5 分 C 22 430 xyx 联立直线 的参数方程与圆的直角坐标方程可得lC 化简可得 22 222 1 2 4 1 30 222 ttt 2 3 220tt 则 10 分 1 2 2PAPB