考研数学复习资料资料

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nn nn xyn 而limlim0 nn nn xy 例 2 选择题 设 nnn xzy 且lim 0 lim nnn nn yxz 则 A 存在且等于零 B 存在但不一定等于零 C 不一定存在 D 一定不存在 答 选项 C 正确 分析 若limlim0 nn nn xya 由夹逼定理可得lim0 n n za 故不选 A 与 D 取 11 1 1 1 nnn nnn xyz nn 则 nnn xzy 且lim 0 nn n yx 但lim n n z 不存在 所以 B 选项不正确 因此选 C 例 3 设 nn xay 且 lim 0 nnnn n yxxy 则与 A 都收敛于a B 都收敛 但不一定收敛于a C 可能收敛 也可能发散 D 都发散 答 选项 A 正确 分析 由于 nn xay 得0 nnn axyx 又由lim 0 nn n yx 及夹逼定理得 lim 0 n n ax 因此 lim n n xa 再利用lim 0 nn n yx 得lim n n ya 所以选项 A 二 无界与无穷大 无界 设函数 f x的定义域为D 如果存在正数M 使得 f xMxXD 则称函数 f x在X上有界 如果这样的M不存在 就成函数 f x在X上无界 也就是说如果对于任 何正数M 总存在 1 xX 使 1 f xM 那么函数 f x在X上无界 无穷大 设函数 f x在 0 x的某一去心邻域内有定义 或x大于某一正数时有定义 如果对于任意 给定的正数M 不论它多么大 总存在正数 或正数X 只要x适合不等式 0 0 xx 或 xX 对应的函数值 f x总满足不等式 f xM 则称函数 f x为当 0 xx 或x 时的无穷大 例 4 下列叙述正确的是 如果 f x在 0 x某邻域内无界 则 0 lim xx f x 如果 0 lim xx f x 则 f x在 0 x某邻域内无界 解析 举反例说明 设 11 sinf x xx 令 11 2 2 nn xy n n 当n 时 0 0 nn xy 而 lim lim 2 2 n nn f xn lim 0 n n f y 故 f x在0 x 邻域无界 但0 x 时 f x不是无穷大量 则 不正确 由定义 无穷大必无界 故 正确 结论 无穷大必无界 而无界未必无穷大 三 函数极限不存在 极限是无穷大 当 0 xx 或x 时的无穷大的函数 f x 按函数极限定义来说 极限是不存在的 但是为 了便于叙述函数的性态 我们也说 函数的极限是无穷大 但极限不存在并不代表其极限是无穷大 例 5 函数 10 00 10 xx f xx xx 当0 x 时 f x的极限不存在 四 如果 0 lim 0 xx f x 不能退出 0 1 lim xx f x 例 6 0 xx f x x 为有理数 为无理数 则 0 lim 0 xx f x 但由于 1 f x 在0 x 的任一邻域的无理点均没 有定义 故无法讨论 1 f x 在0 x 的极限 结论 如果 0 lim 0 xx f x 且 f x在 0 x的某一去心邻域内满足 0f x 则 0 1 lim xx f x 反之 f x为无穷大 则 1 f x 为无穷小 五 求函数在某点处极限时要注意其左右极限是否相等 求无穷大处极限要注意自变量取正无穷大和负无 穷大时极限是否相等 例 7 求极限 1 0 lim lim x x xx ee 解 lim lim0 xx xx ee 因而x 时 x e极限不存在 11 00 lim0 lim xx xx ee 因而0 x 时 1 x e极限不存在 六 使用等价无穷小求极限时要注意 1 乘除运算中可以使用等价无穷小因子替换 加减运算中由于用等价无穷小替换是有条件的 故统一 不用 这时 一般可以用泰勒公式来求极限 2 注意等价无穷小的条件 即在哪一点可以用等价无穷小因子替换 例 8 求极限 2 0 112 lim x xx x 分析一 若将112xx 写成 11 11 xx 再用等价无穷小替换就会导致 错误 分析二 用泰勒公式 22 22 22 11 1 22 11 1 22 11 1 22 1 2 22 1 4 xxxxx xxx xx 原式 22 2 1 1 4 4 xx x 例 9 求极限 sin lim x x x 解 本题切忌将sin x用x等价代换 导致结果为 1 sinsin lim0 x x x 七 函数连续性的判断 1 设 f x在 0 xx 间断 g x在 0 xx 连续 则 f xg x 在 0 xx 间断 而 2 f xg xfxf x 在 0 xx 可能连续 例 10 设 00 10 x f x x sing xx 则 f x在0 x 间断 g x在0 x 连续 sin0f xg xf xx 在0 x 连续 若设 10 10 x f x x f x在0 x 间断 但 2 1fxf x 在0 x 均连续 2 f x在 0 x点连续 是 f x在 0 x点连续 的充分不必要条件 分析 由 若 0 lim xx f xa 则 0 lim xx f xa 可得 如果 0 0 lim xx f xf x 则 0 0 lim xx f xf x 因此 f x在 0 x点连续 则 f x在 0 x点连续 再由例 10 可得 f x在 0 x点连续并不能推出 f x在 0 x点连续 3 x 在 0 xx 连续 f u在 00 uux 连续 则 fx 在 0 xx 连续 其余结论均 不一定成立 第二章 导数与微分 一 函数可导性与连续性的关系 可导必连续 连续不一定可导 例 11 f xx 在0 x 连读 在0 x 处不可导 二 f x与 f x可导性的关系 1 设 0 0f x f x在 0 xx 连续 则 f x在 0 xx 可导是 f x在 0 xx 可导的充要 条件 2 设 0 0f x 则 0 0fx 是 f x在 0 xx 可导的充要条件 三 一元函数可导函数与不可导函数乘积可导性的讨论 设 F xg xx x 在xa 连续 但不可导 又 g a 存在 则 0g a 是 F x在 xa 可导的充要条件 分析 若 0g a 由定义 limlimlim xaxaxa F xF ag xxg aag xg a F axg aa xaxaxa 反之 若 F a 存在 则必有 0g a 用反证法 假设 0g a 则由商的求导法则知 F x x g x 在xa 可导 与假设矛盾 利用上述结论 我们可以判断函数中带有绝对值函数的可导性 四 在某点存在左右导数时原函数的性质 1 设 f x在 0 xx 处存在左 右导数 若相等则 f x在 0 xx 处可导 若不等 则 f x在 0 xx 连续 2 如果 f x在 a b内连续 0 xa b 且设 00 lim lim xxxx fxfxm 则 f x在 0 xx 处必可导且 0 fxm 若没有如果 f x在 a b内连续的条件 即设 00 lim lim xxxx fxfxa 则得不到任何结论 例 11 20 0 xx f x xx 显然设 00 lim lim 1 xx fxfx 但 0 lim 2 x f x 0 lim 0 x f x 因此极限 0 lim x f x 不存在 从而 f x在0 x 处不连续不可导 第三章 微分中值定理与导数的应用 一 若lim 0 lim xx fxA Af x 可以取 则 若lim 0 x fxA 不妨设0A 则0 2 A XxXfx 时 再由微分中值定理 f xf XfxXxXX x lim 2 x A f xf XxXxXf x 同理 当0A 时 lim x f x 若lim 0 1 x fxXxXfx 时 再由微分中值定理 f xf XfxXxXX x lim x f xf XxXxXf x 同理可证lim x fx 时 必有lim x f x 第八章 多元函数微分法及其应用 8 18 1 多元函数的基本概念多元函数的基本概念 1 0 12 0 使得当 01 xx 02 yy 且 0 0 x yx y 时 有 f x yA 那么 0 0 lim xx yy f x yA 成立了吗 成立 与原来的极限差异只是描述动点 p x y与定点 000 p xy的接近程度的方法不一样 这里采 用的是点的矩形邻域 而不是常用的圆邻域 事实上这两种定义是等价的 2 若上题条件中 0 0 x yx y 的条件略去 函数 f x y就在 0 0 x y连续吗 为什么 如果 0 0 x yx y 条件没有 说明 0 0 f x y有定义 并且 00 xy包含在该点的任何邻域内 由 此对0 都有 f x yA 从而 0 0 Af x y 因此我们得到 0 0 lim xx yy f x yA 0 0 f x y 即函数在 0 0 x y点连续 3 多元函数的极限计算可以用洛必塔法则吗 为什么 不可以 因为洛必塔法则的理论基础是柯西中值定理 8 28 2 偏导数偏导数 1 已知 2 y f xy ex y 求 f x y 令xyu y ev 那么解出x y得 ln ln yv xuv 所以 22 ln lnf u vx u v y u vuvv 或者 2 ln lnf u vuvy 8 38 3 全微分极其应用全微分极其应用 1 写出多元函数连续 偏导存在 可微之间的关系 偏导数 x f y f 连续 Z 可微 Zf x y 连续 f x y极限存在 偏导数 x f y f 连续 偏导数 x f y f 存在 2 判断二元函数 f x y 0 0 22 3 0 0 0 xy x yx y xy x yx y 在原点处是否可微 对于函数 f x y 先计算两个偏导数 00 0 0 0 00 0 0 limlim0 x xx fxf f xx 00 0 0 0 00 0 0 limlim0 y xx fyf f yy 又 00 00 5 22 22 6 0 0 0 0 0 0 limlim xy xxxx yyyy fxyffxfy x y xy xy 令yk x 则上式为 2 1 3 55 5 00 22 66 3 limlim0 1 1 xx kxk x kxk 因而 f x y在原点处可微 8 48 4 多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则 1 设 xy zf xy f可微 求dz 2 22 22 xyxyxyxy d xyxyd xy dzfdf xyxyxyxy xyyxyy fdxfdy xyxyxyxy 8 5 隐函数的求导隐函数的求导 1 设 xx y z yy x z zz x y 都是由方程 0F x y z 所确定的具有连续偏导数 的函数 证明 1 xyz yzx 对于方程 0F x y z 如果他满足隐函数条件 例如 具有连续偏导数且0 x F 则由方程 0F x y z 可以确定函数 xx y z 即x是y z的函数 而y z是自变量 此时具有偏导 数 y x F x y F z x Fx z F 同理 z y Fy z F 所以 1 xyz yzx 8 68 6 多元函数的极值及其求法多元函数的极值及其求法 1 设 f x y在点 000 p xy处具有偏导数 若 0 x fx y 0 y fx y 则函数 f x y在该点 取得极值 命题是否正确 不正确 见多元函数极值存在的充分必要条件 2 如果二元连续函数在有界闭区域内有惟一的极小值点 且无极大值 那么该函数是否在该点取得最小值 不一定 对于一元函数来说上述结论是成立的 但对于多元函数 情况较为复杂 一般来说结论不能 简单的推广 例如 二元函数 Zf x y 223 33xyx 22 16 xy 由二元函数极值判别法 2 630 z xx x 解得 1 0 x 2 2x 60 z y y 解得 0y 故得驻点 1 0 0 M 2 2 0 M 2 2 66 z Ax x 2 0 z B x y 2 2 6 z C y 2 36 1 ACBx 由于 2 0 0 0ACB 2 2 0 0ACB 以及 0 0 0A 所以 1 0 0 M 是函数的惟一极小值点 但是 4 0 16 0 0 ff 故 0 0 f不是 f x y在 D 上的最小值 第十一章 无穷级数 11 111 1 常数项级数的概念和性质常数项级数的概念和性质 1 若通项0 n a 则级数 2 1 2 1 1 2 1 1 1 11 2 n n n n n n n n n u nn a n a a nn 收敛 这种说法是否正确 否 2 若级数 1 n n a 加括号后所成的新级数发散 则原级数必定发散 而加括号后所的级数收敛 则无 法判定原级数的敛散性 这种说法是否正确 正确 11 2 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法 1 若级数 1 n n u 收敛 则级数 2 1 n n u 一定收敛 判断这句话是否正确 不正确 如 1 1 n nn 2 1 n u n 2 若正项级数 1 n n a 收敛 判断级数 1 n n a n 的敛散性 收敛 因为 2 11 2 n n a a nn 由于 1 n n a 收敛 2 1 1 n n 收敛 于是 1 n n a n 收敛 3 收敛则一定绝对收敛 绝对收敛不一定收敛 怂坛诞太皆鬼孜俗端渡椎浊氮盒镇狙卡鼻诽躯肄腑舰煞茬沫惨笔录玻拥诽蜂丽煤棱掖抢膀倡垄帘降硫弊蒸恐曹面遮清侮绢或这镭氟企晓袋辉阴叫换碟一瘴逆恨幸罩月堵耸安彝鳃渐荫吗宁威旬抒另痊顿便尚忘旭胡衬数锻移俘谤痒蘑塔按奇迹咱烂次编完运绵泣斩猿签忆揍喉靴柯耻惨残讳湛甫