05平面图形的几何性质

第五章 平面图形的几何性质 研究杆件的应力与变形，研究失效问题以及强度、刚度、稳定问题，都要涉及到与截面图形的几何形状和尺寸有关的量。 这些量统称为几何量，包括：形心、静矩、惯性矩、惯性半径、极惯性矩、惯性积、主轴等。 为什么要研究截面图形的几何性质 ; ; ; m a 矩和形心 o x y 一、静矩 dA x y 截面对 y , x 轴的静矩为 ： Ay x Ax 负，也可能等于零 。 x y o dA x y yx c x y y x 截面的形心 C 的坐标公式为： 若 ,0,0 cc 若已知 ,0,0 二 , 组合截面 由几个简单图形组成的截面称为组合截面 截面各组成部分对于某一轴的静矩之代数和，就等于该 截面对于同一轴的静矩。 其中： 第 第 )( 1性矩和惯性半径 o y z A dA y z A y A z 矩 图形对 矩 单位： 4m（ 1）惯 性 矩恒 0； （ 2） ,2 2所以 ,zy 惯性半径 （单位： ） 矩 o y z A dA y z AP 图形对 矩 单位： 4m 讨论 （ 1） 222 AP A (22 2 I 惯性积 dA x y y x x、 如果 x 轴（或 是对称轴， 则惯性积 0 y y y x x -x xC yC yC 、平行移轴公式 ： , yI 平行移轴公式 已知： a y b , d)( 2 解： A C d)2( 22 A C 22cc 2 2 ,yI 2dA x y a b C xC yC yC 理： 例 计算图示图形对其形心轴 C x y 15 104020 单位： ： y 2 21221115402010201540452010(I 21 I C x y 15 104020 单位： cm y 2 124015 32xI)421 )(444a 2)015 C x y 15 104020 单位： cm y 2 I 21 I 122010 31yI)4)4421 121540 32yI)4s i nc o ss i nc o 惯性矩和惯性积的转轴公式 dA x y y x x1 y1 x1 转轴公式 主惯性轴 , 1111, 解： yI d)s i nc o s( 21 A d)co ss i i s( 2222 x A ss i i s 2222 d)s i nc o s( 21 A d)co ss i i s( 2222 c o ss o s 22 2s i o 22c o ; 22c o o s 22 2s i o 2c o i 同理： 主惯性轴和主惯性矩 0)2c o i 00 2s i o x y x1 y1 0 22)2(210200 0 x0 0 对应的旋转轴为 ， 22m i nm 2(2x y 0 x0 面图形对 性矩 为 00 I 、000)2c i 00 的惯性积 为 )2c o 00 0 x y 0 x0 面图形对 性积 为零， 00 I 和称 为 主轴 ，称 为主惯性矩 。 使惯性积为零的坐标轴称为 主轴 。平面图形对主轴的惯性矩称为 主惯性矩 。 主轴过形心时，称其为形心主轴。平面图形对形心主轴之惯性矩，称为形心主惯性矩。 22形心主惯性轴和形心主惯性矩 0 求图形形心主惯性矩的方法： (1)建立坐标系 (2)计算面积和面积矩 (3)求形心位置 (4)建立形心坐标系；求： 5)求形心主轴方向 0 : (6)求形心主惯性矩 i nm a x )2(222如果图形有对称轴，则对称轴就是形心主惯性轴。 例 确定图示图形的形心主惯性轴的位置，并求形心主惯性矩。 C x y 180 40360180 20 40解：由反对称性可知形心在反对称点 1 8 0401 8 012 401 8 0212 4 0 020 233xI)07 5 81 0 0401 8 012 1 8 040212 204 0 0 233