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变与不变多变归一 探旋转相似型的解法 大唐镇中蔡培杰 1 概念提出 旋转和相似是初中数学图形变换的重要内容 两个知识点看似毫无关联 但它们会同时出现在数学综合试题中 对于此类题型我们不妨叫作 旋转相似型 2 学生解此类题的困惑 图形在变 旋转角度在变 对应点之间的连线段长在变等等 旋转中的变化元素成了解题的 绊脚石 3 探寻解决方法 寻求变化规律 以不变应万变 对应点的轨迹具有共性 二 三 应用 求对应点连线比值 求对应点连线长 应用 求两组对应点连线夹角求两组对应点连线交点的轨迹 应用 求点的运动轨迹长 求运动点的轨迹的解析式 存在两组四点共圆 存在双重相似 一 4 旋转相似中的存在双重相似 基本图形 如图 AOB COD 且点A 点B的对应点分别是点C 点D 则可证 AOC BOD 相似旋转型中由对应点连线段及所对旋转角组成的两个三角形也相似 5 旋转相似中存在双重相似的应用 例1 如图4 ABC与 DEF均为等边三角形 O为BC EF的中点 则AD BE的值为 变式 旋转相似中对应点连线段的比值不变 可证 AOD BOE AD BE AO BO 6 23 12分 2013 绍兴 在 ABC中 CAB 90 AD BC于点D 点E为AB的中点 EC与AD交于点G 点F在BC上 1 如图1 AC AB 1 2 EF CB 求证 EF CD 2 如图2 AC AB 1 EF CE 求EF EG的值 旋转相似中存在双重相似的应用 H 作EH AB 可证 HEF AEG EF GE HE AE HE BE 7 旋转相似中存在双重相似的应用 例2 已知 ABC中 C 90 AB 9 把 ABC绕着点C旋转 使得点A落在点A 点B落在点B 若点A 在边AB上 则点B B 的距离 简析 由题可知AA BB 是旋转中的对应点连线段 ACA BCB 分别为所对旋转角 所以 ACA BCB 可知AA BB AC BC 6 3 5 所以要先求AA 的长 求对应点连线段的长 C 8 旋转相似中的存在两组四点共圆 M 例 如图 ADC GDF A C的对应点分别是G F 当 GDF绕点D旋转时 直线AG CF交于点M 则可证M A D C四点共圆和M D F G四点共圆 证M A D C四点共圆 由双重相似可知 ADG CDF AGD CFD AMC AGD 1 2 CFD 1 2 180 GDF 180 ADC AMC ADC 180 得证 证M D F G四点共圆 连DM 由MADC四点共圆可知 DMC DAC 又 DAC DGF DMC DGF 得证 1 2 9 Rt ADC Rt GDF ADC GDF 90 求 AMC的度数 1 2 旋转相似中存在两组四点共圆的应用 2015学年上学期期末第16题 如图 ABC EFG均是边长为4的等边三角形 点D是边BC EF的中点 直线AG FC相交于点M 当 EFG绕点D旋转时 AMC 线段BM长的最大值是 10 旋转相似中两个点的运动轨迹有共性 常见的 一个图形绕一定点旋转时 则图像上任一点都在作圆弧运动 11 旋转相似中两个点的运动轨迹有共性 四边形ABCD AEFG都是正方形 点E为BC边上一点 求证 点G一定落在直线CD上 像这样的点E在作直线运动的旋转相似变换中 则其他的对应点也都沿着各自的一条直线运动 若AB BC 2 试描述点F的运动轨迹 12 几点建议 1 基本模型牢记于心 以不变应万变 2 重视带领学生探究模型的重现过程 3 变式训练中体会模型的应用价值 4