小学几何问题的典型解法

几何图形的十大解法 几何图形的十大解法 30 例 例 体会 体会 注重积累 勤动笔 注重积累 勤动笔 在平时的教学中 无论看到的 听到的 想到的 捕捉到的 灵感的一刹那都及时记下 并附上自己的一些想法和体会 虚心好学 勤动口 虚心好学 勤动口 无论是老教师还是青年教师 本 校教师还是外校 外地老师 能者都是我的老师 学生也 是我的老师 我的一些巧解有的就来自于学生 在与老师 学生的互动中提高自己的解题能力 善于总结 勤动脑 善于总结 勤动脑 在备课时 经常分析学生解题中 的一些想法和方法 找到学生最容易接受 理解的方法 同时我尽可能掌握本题的不同解法 以获得答案较为简洁 的方法和策略 说明 说明 1 首先要以扎实的几何基础知识为铺垫 才能提升灵 活解题的技能技巧 2 以下十种解法是不全面的 更谈不上是最好的 唯 有在实践中不断摸索 总结 找到适合自己的解题方法 才能不断创新 追求是永无止境的 一 一 分割法分割法 例 例 将两个相等的长方形重合在一起 求组合图形将两个相等的长方形重合在一起 求组合图形 的的 面积 面积 单位 厘米 单位 厘米 2 2 解 将图形分割成两个全等的梯形 7 7S 组 7 2 7 2 2 2 24 平方厘米 例 例 下列两个正方形边长分别为下列两个正方形边长分别为 8 8 厘米和厘米和 5 5 厘米 厘米 求阴影部分面积 求阴影部分面积 解 将图形分割成 3 个三角形 S 5 5 2 5 8 2 8 5 5 2 12 5 20 7 5 38 平方厘米 例 例 左图中两个正方形的边长分别为左图中两个正方形的边长分别为 8 8 厘米和厘米和 6 6 厘米 厘米 求阴影部分面积 求阴影部分面积 解 将阴影部分分割成两个三角形 S 阴 8 8 6 2 8 6 2 56 24 80 平方厘米 二 二 添辅助线添辅助线 例 例 已知正方形边长已知正方形边长 4 4 厘米 厘米 A A B B C C D D 是正方形边上的中点 是正方形边上的中点 P P 是任意一点 求阴影部分面积 是任意一点 求阴影部分面积 C 解 从 P 点向 4 个定点添辅助线 由此看出 阴影部 分 面积和空白部分面积相等 P S S 阴阴 4 4 2 8 4 4 2 8 平方厘米 D B A 例 例 将下图平行四边形分成三角形和梯形两部分 它们面积相差将下图平行四边形分成三角形和梯形两部分 它们面积相差 40 平方厘米 平行四边形底平方厘米 平行四边形底 20 4 厘米 高厘米 高 8 厘米 梯形下底是多厘米 梯形下底是多 少厘米 少厘米 解 因为添一条辅助线平行于三角形一条边 发现 40 平方厘米是一个平行四边形 所以梯形下底 40 8 5 厘米 例 例 平行四边形的面积是平行四边形的面积是 48 平方厘米 平方厘米 BC 分别是分别是 A 这个平行四边形相邻两条边的中点 连接这个平行四边形相邻两条边的中点 连接 A B B B C C 得到得到 4 4 个三角形 求阴影部分的面积 个三角形 求阴影部分的面积 C 解 如图连接平行四边形各条边上的中点 可以 看出空白部分占了整个平行四边形的八分之五 阴影部分占了八分之三 S 阴 48 8 3 18 平方厘米 三 三 倍比法倍比法 例 例 A B 已知 已知 OC 2AOOC 2AO S SABOABO 2 2 求梯形 求梯形 ABCDABCD O 的面积 的面积 解 因为 OC 2AO 所以 SBOC 2 2 4 D C SDOC 4 2 8 SABCD 2 4 2 8 18 例 例 7 5 已知 已知 S S 阴阴 8 75 8 75 求下图梯形的面积 求下图梯形的面积 解 因为 7 5 2 5 3 倍 所以 S 空 3S 阴 S 8 75 3 1 35 2 5 例 例 A 下图下图 AB 是是 AD 的的 3 倍 倍 AC 是是 AE 的的 5 倍 倍 D E 那么三角形那么三角形 ABC 的面积是三角形的面积是三角形 ADE 的多的多 少少 倍 倍 B C 解 设三角形 ABE 面积为 1 个单位 则 SABE 1 3 3 SABC 3 5 15 15 3 5 所以三角形 ABC 的面积是三角形 ADE 的 5 倍 四 四 割补平移割补平移 例 例 A B 已知 已知 S S 阴阴 20 20 EFEF 为中位线为中位线 E F 求梯形求梯形 ABCDABCD 的面积 的面积 D C 解 沿着中位线分割平移 将原图转 化 成一个平行四边形 从图中看出 阴 影 部分面积是平行四边形面积一半的一 半 SABCD 20 2 2 80 例 例 10 求左图面积 单位 厘米 求左图面积 单位 厘米 5 解 1 S 组 S 平行四边形 10 5 5 5 100 平方厘米 10 10 解 2 S 组 S 平行四边形 S 长方形 5 5 10 10 5 100 平方厘米 10 例 例 把一个长方形的长和宽分别增加把一个长方形的长和宽分别增加 2 2 a 2 厘米 面积增加厘米 面积增加 24 平方厘米 平方厘米 b 求原长方形的周长 求原长方形的周长 2 2 解 C 24 2 2 2 2 20 厘米 五 五 等量代换等量代换 例 例 B 已知 已知 ABAB 平行于平行于 ECEC 求阴影部分面积 求阴影部分面积 A O C 解 因为 AB AC 所以 S AOE S BOC 8 则 S 阴 0 5S 10 8 2 40 E 10 D 单位 m 例 例 下图两个正方形边长分别是下图两个正方形边长分别是 6 6 分米 分米 4 4 分米 求阴影部分面分米 求阴影部分面 积 积 解 因为 S1 S2 S3 S2 6 4 2 4 1 所以 S1 S3 3 2 则 S 阴 6 6 2 18 平方分米 例 例 已知三角形已知三角形 ABCABC 的面积等于三角形的面积等于三角形 AEDAED 的面积 形状大小都的面积 形状大小都 相同 相同 它们重叠在一起 比较三角形 它们重叠在一起 比较三角形 BDFBDF 和三角形和三角形 CEFCEF 的面的面 积大小 积大小 C C A A 三角形 DBF 大 B 三角形 CEF 大 D C C 两个三角形一样大 D 无法比较 B F 因为 S 等量减 S 等量 等差不变 E 六 六 等腰直角三角形等腰直角三角形 例 例 已知长方形周长为已知长方形周长为 2222 厘米 长厘米 长 7 7 厘米 求厘米 求 阴影部分面积 阴影部分面积 45 解 b 22 2 7 4 厘米 S 阴 7 7 4 4 2 20 平方厘 米 或 S 阴 7 4 4 4 2 20 平方厘米 例 例 已知下列两个等腰直角三角形 直角边分别已知下列两个等腰直角三角形 直角边分别 是是 10 厘米和厘米和 6 厘米 求阴影部分的面积 厘米 求阴影部分的面积 解 10 6 4 厘米 6 4 2 厘米 2 S 阴 6 2 4 2 16 厘米 例 例 下图长方形长下图长方形长 9 厘米 宽厘米 宽 6 厘米 求阴影部分厘米 求阴影部分 A B 面积 面积 45 解 三角形 BCE 是等腰三角形 F FD ED 9 6 3 厘米 E D C S 阴 9 3 6 2 36 平方厘米 或 S 阴 9 9 2 3 3 2 36 平方厘米 七 扩倍 缩倍法扩倍 缩倍法 例 例 如图 正方形面积是如图 正方形面积是 3232 平方厘米 直角三角平方厘米 直角三角 形形 中的短直角边是长直角边的四分之一 三角形中的短直角边是长直角边的四分之一 三角形 a 面积是多少平方厘米 面积是多少平方厘米 b 解 将正方形面积扩大 2 倍为 64 平方厘米 64 8 8 则 a 8 厘米 b 8 4 2 厘米 那么 S 8 2 2 8 平方厘米 还原缩倍 所求三角形面积 8 2 4 平方厘米 例 例 求左下图的面积 单位 米 求左下图的面积 单位 米 3030 解 将原图扩大两倍成长方形 求出长方 3030 形的面积后再缩小两倍 就是原图形面积 40 S 40 30 30 2 1050 平方米 例 例 左图中每个小方格都是面积为左图中每个小方格都是面积为 3 3 平方厘米的平方厘米的 正方形 求阴影部分面积 正方形 求阴影部分面积 解 先将 3 平方厘米缩小 3 倍 成 1 平方厘米 面积是 1 平方厘米的正方形边长是 1 厘米 将图形分割成两个三角形 S 3 2 2 3 1 2 4 5 平方厘米 再将 4 5 扩大 3 倍 S 阴 4 5 3 13 5 平方厘 米 八 八 代数法代数法 例 例 图中三角形甲的面积比乙的面积少图中三角形甲的面积比乙的面积少 8 8 平方厘米平方厘米 AB 8cm CE 6cmAB 8cm CE 6cm 求三角形甲和三角形乙的面积各是多少 求三角形甲和三角形乙的面积各是多少 A 甲甲 D 解 设 AD 长为 Xcm 再设 DF 长为 ycm 8 乙乙 F 8X 8 8 6 X 2 4y 2 8 6 8 y 2 B C 6 E X 4 y 3 2 S 甲 4 3 2 2 6 4 c S 乙 6 4 8 14 4 c 例 例 B 左图所示 左图所示 AF 12AF 12 ED 10ED 10 BE 8BE 8 CF 6CF 6 单位 厘 单位 厘 米 米 C 求四边形求四边形 ABCDABCD 的面积是多少平方厘米 的面积是多少平方厘米 A E F D 解 AE FD 2 厘米 设 FD 长 X 厘米 则 AE 长 X 2 厘米 SABCD 8 X 2 2 6X 2 8 6 10 X 2 4X 8 3X 70 7X 78 平方厘米 例 例 左图是一个等腰三角形 它的腰长是左图是一个等腰三角形 它的腰长是 2020 厘米 厘米 面积是面积是 144144 平方厘米 在底边上任取一点向两平方厘米 在底边上任取一点向两 腰腰 2020 2020 作垂线 得作垂线 得 a a 和和 b b 求 求 a ba b 的和 的和 a b 解 过顶点连接 a b 的交点 20b 2 20a 2 144 10a 10b 144 a b 14 4 九 九 看外高看外高 例 例 下图两个正方形的边长分别是下图两个正方形的边长分别是 6 6 厘米和厘米和 3 3 厘米 厘米 求阴影部分的面积 求阴影部分的面积 解 从左上角向右下角添条辅助线 将 S 阴看 成两个钝角三角形 钝角三角形有两条 外高 S 阴 S S 3 6 3 2 3 6 2 22 5 平方厘米 例 例 下图长方形长下图长方形长 1010 厘米 宽厘米 宽 7 7 厘米 求阴影部分面厘米 求阴影部分面 积 积 解 阴影部分是一个平行四边形 与底边 2 厘米 2 对应的高是 10 厘米 S 阴 10 2 20 平方厘米 例 例 A A D D F F 正方形正方形 ABCDABCD 的边长是的边长是 1818 厘米 厘米 CE 2DECE 2DE E E 1 1 求三角形 求三角形 CEFCEF 的面积 的面积 B B C C 2 2 求 求 DFDF 的长度 的长度 解 BCF 是一个钝角三角形 EFC 也是一个钝角三角形 EC 18 2 1 2 12 厘米 1 SCEF 18 18 2 12 18 2 54 平方厘米 2 DF 54 2 12 9 厘米 十 概念法概念法 例 例 一个直角三角形 三条边分别为一个直角三角形 三条边分别为 4 4 厘米 厘米 6 6 厘米和厘米和 7 7 厘米 求厘米 求 它的面积 它的面积 解 因为三角形两条直角边之和大于第三边 两边之差小于第 三条边 所以这个三角形的两条直角边分别为 4 厘米和 6 厘米 S 4 6 2 12 平方厘米 例 例 用用 4 4 个直角边分别是个直角边分别是 3 3 厘米 厘米 4 4 厘米和厘米和 5 5 厘米的直角三角形拼厘米的直角三角形拼 成一个菱形 这个菱形的周长和面积各是多少 成一个菱形 这个菱形的周长和面积各是多少 解 因为菱形的两条对角线互相垂直 所以斜边 5 厘米只能作 为 菱形的边长 C 5 4 20 厘米 S 4 3 2 4 24 平方厘米 例 例 一个平行四边形两条边分别是一个平行四边形两条边分别是 5 5 厘米和厘米和 3 3 厘米 其中一条高为厘米 其中一条高为 4 24 2 求这个平行四边形的面积 求这个平行四边形的面积 解 因为在平行四边形中 高是一组对边间的距离 必定小于 另一组对边的长度 所以高 4 2 厘米所对应的底只能是 3 厘米的边 S 3 4 2 12 6 平方厘米 记住 永远不要对父母说这十句话 记住 永远不要对父母说这十句话 1 好了 好了 知道 真啰嗦 可怜天下父母心 父母的 啰嗦 其实是一种幸福 2 有事吗 没事 那挂了啊 父母打电话 也许只想说说话 我们能否明白他们的用意 不要匆忙挂了电话 3 说了你也不懂 别问了 他们只是想和我们说说话 4 跟你说了多少次不要你做 做又做不好 一些他们已经力不能及的事 我们因为关心而制止 但不要这样让他们觉得自己很无用 5 你们那一套 早就过时了 父母的建议 也许不能起到作用 可我们是否能换一种回应的方式 6 叫你别收拾我的房间 你看 东西找都找不到 自己的房间还是自己收拾好 不收拾 也不要拂了老人的好意 7 我要吃什么我知道 别夹了 盼着我们回家的父母总想把所有关心融在特意做的菜里 我们默默领情就好 8 说了别吃这些剩菜了 怎么老不听啊 他们一辈子的节约习惯 很难改 让他们每次尽量少做点菜就好 9 我自己有分寸 不要老说了 烦不烦 他们只是担心你吃亏 10 这些东西说了不