复变函数总复习资料.ppt

1 复数的基本概念和运算1 复数 z x iy或z x yi 注意 1 2个复数不能比较大小 2 当且仅当实部 虚部分别相等时复数才相等 2 2 复数的表示直角坐标 z x iy复平面与直角坐标平面上的点一一对应向量表示模幅角三角表示 指数表示 z 0时辐角不确定 3 辐角主值公式 4 3 复数运算加法 减法 乘法 除法 运算法则 z1 z2 z2 z1z1z2 z2z1z1 z2 z3 z1 z2 z3z1 z2z3 z1z2 z3z1 z2 z3 z1z2 z1z3 5 乘积 z1 r1 cosq1 isinq1 z2 r2 cosq2 isinq2 z1z2 r1r2 cos q1 q2 isin q1 q2 于是 z1z2 z1 z2 Arg z1z2 Argz1 Argz2 模相乘 辐角相加 商 模相除 辐角相减 幂 根 注意根的多值性 6 区域 平面点集D称为区域 必须满足下列两个条件 1 D是一个开集 2 D是连通的 不连通 单连通域 区域B中任做一条简单闭曲线 曲线内部总属于B 称B为单连通区域 多连通域 不满足单连通域条件的区域 单连通域 多连通域 区域的概念 7 复变函数w f z z x iy w u x y iv x y 单值函数 z的一个值对应一个w值 多值函数 z的一个值对应两个或以上w值 反函数 z g w 复变函数的极限 连续性 可导 解析性的判定 8 1 极限 定理一 设f z u x y iv x y A u0 iv0 z0 x0 iy0 条 定理二 9 2 连续性 复平面内 下列各式连续 项 10 3 导数 定义在区域D内 称可导 11 z0点 区域D 4 解析 使分母为零的点是它的奇点 12 重要定理 函数解析的条件柯西 黎曼 Cauchy Riemann 方程 13 14 初等函数 15 多值 性质 16 乘幂 17 幂函数 幂函数的解析性 各分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的 各分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的 18 4 三角函数 19 第三章复变函数的积分 习题3 8 1 20 习题3 7 8 3 9 1 21 三 积分的性质 复积分与实变函数的定积分有类似的性质 估值不等式 22 1 调和函数的定义 四 解析函数与调和函数的关系 2 解析函数和调和函数的关系 定理 任何在区域D内解析的函数 它的实部和虚部都是D内的调和函数 即有 23 3 共轭调和函数 区域D内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数 4 偏积分法和不定积分法求解析函数 简单了解即可 如果已知一个调和函数u 利用柯西 黎曼方程求得它的共轭调和函数v 从而构成一个解析函数u vi的方法称为偏积分法 24 一 复数项级数的一些基本概念1 复数列收敛的充要条件 同时收敛 2 复级数 收敛的充要条件 同时收敛 3 复级数绝对收敛 绝对收敛的充要条件 同时绝对收敛 第四章级数 25 收敛范围为圆域 圆内绝对收敛 圆外发散 圆上不定 1 收敛定理 阿贝尔Abel定理 如果级数在收敛 那么对满足的z 级数必绝对收敛 如果在级数发散 那么对满足的z 级数必发散 二 幂级数 幂级数的收敛半径的情况有三种 1 对所有的正实数都收敛 级数在复平面内处处绝对收敛 2 对所有的正实数除z 0外都发散 级数在复平面内除原点外处处发散 例如 级数 3 既存在使级数发散的正实数 也存在使级数收敛的正实数 级数在收敛圆内处处绝对收敛 26 2 收敛半径求法 如果 3 性质 和函数在收敛圆内 解析 可逐项求导 可逐项积分 习题4 6 27 4 幂级数的运算和性质 1 幂级数的有理运算 2 幂级数的代换 复合 运算 说明 此代换运算常应用于将函数展开成幂级数 习题4 11 28 答案 在收敛圆周上是收敛还是发散 不能作出一般的结论 要对具体级数进行具体分析 答案 问题2 幂级数在收敛圆周上的敛散性如何 有关幂级数的两个关键问题 29 三 泰勒级数 定理 在以为中心的圆域内解析的函数f z 可以在该圆域内展开成的幂级数 泰勒级数展开式求法 直接法 间接法 30 常见函数的泰勒展开式 31 四 洛朗级数 洛朗级数展开式求法 1 直接法2 间接法 在计算闭路积分中的应用 令n 1 得 或 习题4 16 2 32 第五章留数 33 零点与极点 零点定义 f z 0的点 习题5 1 1 2 4 34 1 2 利用留数求积分 3