第三节 Taylor中值定理

1 第三节 Taylor 中值定理 Taylor 1685 1731 英国 18 世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的 英国数学家泰勒 Brook Taylor 于 1685 年 8 月 18 日在米德尔塞克斯的埃德蒙顿出生 1709 年后 移居伦敦 获法学硕士学位 他在 1712 年当选为英 国皇家学会会员 并于两年后获法学博士学位 同 年 即 1714 年 出任英国皇家学会秘书 四年后因 健康理由辞退职务 1717 年 他以泰勒定理求解了 数值方程 最后在 1731 年 12 月 29 日于伦敦逝世 泰勒的主要著作是 1715 年出版的 正的和反的增量 方法 书内以下列形式陈述出他已于 1712 年 7 月 给其老师梅钦 数学家 天文学家 信中首先提出 的著名定理 泰勒定理 式内 v 为独立变量的增 量 及 为流数 他假定 z 随时间均匀变化 则 为 2 常数 上述公式以现代形式表示则为 这公式是从 格雷戈里 牛顿插值公式发展而成的 当 x 0 时便 称作麦克劳林定理 1772 年 拉格朗日强调了此 公式之重要性 而且称之为微分学基本定理 但泰 勒于证明当中并没有考虑级数的收敛性 因而使证 明不严谨 这工作直至十九世纪二十年代才由柯 西完成 泰勒定理开创了有限差分理论 使任何单变量 函数都可展成幂级数 同时亦使泰勒成了有限差分 理论的奠基者 泰勒于书中还讨论了微积分对一系 列物理问题之应用 其中以有关弦的横向振动之结 果尤为重要 他透过求解方程 导出了基本频率公 式 开创了研究弦振问题之先河 此外 此书还包括 了他于数学上之其他创造性工作 如论述常微分方 程的奇异解 曲率问题之研究等 1715 年 他出版了另一名著 线性透视论 更 发表了再版的 线性透视原理 1719 他以极严密 之形式展开其线性透 视学体系 其中最突出之贡 献是提出和使用 没影点 概念 这对摄影测量制 图学之发展有一定影响 另外 还撰有哲学遗作 发 表于 1793 年 3 一一 引引入入 常用近似公式 充分小 xe x 1xx sin x 将复杂函数用简单的一次多项式函数来近似表示 这 是一个进步 当然这种近似表示式还比较粗糙 尤其 当较大时 x 上述近似表达式至少可以在如下两个方面进行 改进 1 提高近似程度 其可能的办法是提高多项式的次数 2 任何一种近似 应告诉它的误差 否则会让使用者 心中不安 将上述思想进一步数学化 对复杂函数 想找多项式函数近似 xf xpn 表示它 当然我们希望尽可能多的反映出 xpn 的性态 如 xf 1 在某点处的函数值与导数值 2 形式如何确定 xpn 3 与的误差 xpn xf xpxfxR nn 二 做法二 做法 4 1 多项式函数的构造形式 xpn 设函数在含点的某邻域内具有直到 xf 0 x 阶的导数 所求的多项式为1 n n nn xxaxxaxxaaxp 0 2 02010 1 其中都是待定常数 为了使与在n aa 0 xpn xf 含点的某邻域内尽可能地接近 要求0 x 0 xpn 0 xp n 0 xp n 0 xf 0 xf 0 xf 0 xp n n 0 xf n 由于 n nn xxaxxaxxaaxp 0 2 02010 00 xpa n 1 0021 2 n nn xxnaxxaaxp 01 xpa n 2 0 2 xp a n 0 n xp a n n n 于是按要求 00 xfa 01 xfa 2 0 2 xf a 5 所以有 0 n xf a n n 2 0 0 000 2 xx xf xxxfxfxpn 2 n n xx n xf 0 0 2 式称为在点的 Taylor 多项式 xf 0 x 2 Taylor 中值定理 Taylor 公式 设函数在含点的某邻域内具有直到 xf 0 x 阶的导数 则对内任一异于点的点 1 n ba 0 xx 都有 2 0 0 000 2 xx xf xxxfxfxf 0 0 xRxx n xf n n n 其中 介于和之间 1 0 1 1 n n n xx n f xR 0 xx 称为 Lagrange 型余项 1 0 1 1 n n n xx n f xR 若令 则 0 0 xx x 00 xxx 10 证明 记和反复应用 xpxfxR nn 1 0 n xx 6 柯西中值定理 关于 Taylor 中值定理的几点说明 1 有时不需要明确的表达式 只用 xRn xRn 表示 称为 Peano 余项 0 n xx 2 当时 Taylor 中值定理即为 Lagrange 中值定0 n 理 3 时 Taylor 公式称为 Maclaurin 1698 0 0 x 1746 公式 4 Taylor 公式中 Lagrange 型余项内含的既和有 x 关 也和有关 n 5 带 Lagrange 型余项的 Taylor 公式要求有 xf 阶导数 而带 Peano 型余项的 Taylor 公式仅要求1 n 有阶导数即可 xfn 6 若 则余项估计式为 Mxf n 1 1 0 1 0 1 1 1 nn n n xx n M xx n f xR 可用于分析精确度 求函数展开项数等 三 基本初等函数的三 基本初等函数的 Maclaurin 公式公式 1 1 2 1 2 1 n xn x x n e n xx xe 10 7 2 12 1 5 3 sin 12 1253 k k k x k xxx xx 3 4 2 1cos 42 xx x 4 1ln x 5 1 x 四 Taylor 中值定理的应用 题型一 求在某点的展开式 xf 例 1 按的幂展开多项式 1 x43 5 234 xxxx 例 2 求的阶 Maclaurin 公式 x xf 1 1 n 题型二 利用 Taylor 公式或 Maclaurin 公式求极限 例 3 求极限 xx xxex x sin cos lim 0 例 4 21ln 2 cos lim 2 2 0 2 xxx ex x x 例 5 sin 1 cos2 lim 2 0 xxx xx x 8 例 6 xx eex xx x sin 1 2 1 lim 2 0 例 7 x xx x 1 1lnlim 2 例 8 求的值 使是的高 ba xxbxaxe x 22 3 x 阶无穷小 题型三 利用 Taylor 公式证明等式 例 9 设在上连续 在内有二阶连续 xf ba ba 导数 证明 至少存在一点 使 ba 4 2 2 2 f ab af ba fbf 例 10 设在上具三阶连续导数 且 xf 1 1 证明 至少存在一点 0 1 f1 1 f0 0 f 使 1 1 3 f 例 11 设 2 2 xf h xhfxfhxf 且 证明 hxf n h n n 10 0 1 xf n 1 1 lim 0 n h 9 题型四 利用 Taylor 公式证明不等式 例 12 设在区间内存在 且 证I xfMxf 明 对有 Ihxx 00 M